Goldbach probléma

A Goldbach- probléma ( Goldbach- sejtés , Euler- probléma , Goldbach-bináris probléma ) egy olyan állítás, amely szerint bármely páros szám , 4-től kezdve, két prímszám összegeként ábrázolható . Nyitott matematikai probléma - 2022-ig az  állítás nem bizonyított. A Riemann-hipotézissel együtt a 8. számú Hilbert-problémalistában szerepel .

A hipotézis gyengébb változatát - a Goldbach-féle hármas problémát , amely szerint bármely 7-től kezdődő páratlan szám ábrázolható három prímszám összegeként - igazolta 2013 -ban Harald Gelfgott perui matematikus . A bináris Goldbach-probléma érvényességéből nyilvánvalóan következik a hármas: ha minden 4-től kezdődő páros szám két prímszám összege, akkor minden páros számhoz hozzáadva 3-at, megkaphatjuk az összes páratlant. 7-től kezdődő számok.

Történelem

1742- ben Christian Goldbach matematikus levelet küldött Leonhard Eulernek , amelyben a következő sejtést tette: minden 5-nél nagyobb páratlan szám három prímszám összegeként ábrázolható.

Euler érdeklődni kezdett a probléma iránt, és erősebb hipotézist állított fel: minden kettőnél nagyobb páros szám két prímszám összegeként ábrázolható.

Az első állítást hármas Goldbach-problémának , a másodikat bináris Goldbach-feladatnak (vagy Euler-feladatnak ) nevezzük.

Waring 1770 - ben egy, a Goldbach-féle hármas problémához hasonló hipotézist fogalmazott meg, de gyengébb formában : minden páratlan szám prímszám vagy három prím összege.

Ternary Goldbach probléma

1923- ban Hardy és Littlewood matematikusok kimutatták, hogy ha a Riemann-hipotézis bizonyos általánosítása igaz, akkor a Goldbach-probléma minden kellően nagy páratlan számra igaz.

1937 -ben Vinogradov a Riemann-hipotézis érvényességétől független bizonyítást mutatott be, azaz bebizonyította, hogy bármely kellően nagy páratlan szám ábrázolható három prím összegeként. Maga Vinogradov nem adott kifejezett becslést erre a „kellően nagy számra”, de tanítványa, Konsztantyin Borozdin bebizonyította, hogy az alsó korlát nem haladja meg a 3 3 15 ≈ 3,25×10 6 846 168 ≈ 10 6 846 168 értéket . Vagyis ez a szám közel 7 millió számjegyet tartalmaz, ami lehetetlenné teszi az összes kisebb szám közvetlen ellenőrzését .

Ezt követően Vinogradov eredményét sokszorosan javították, mígnem 1989 -ben Wang és Chen csökkentette [2] az 1043000,5 értékre≈1043000≈ 3,33339 ×11,503eealsó korlátot

1997 -ben Desuiers , Effinger , te Riehl és Zinoviev kimutatta [3] , hogy az általánosított Riemann-hipotézis magában foglalja a Goldbach-féle hármas probléma érvényességét. 10 20 - nál nagyobb számokra igazolták az állítás érvényességét, míg a kisebb számokra vonatkozó állítás érvényessége könnyen megállapítható számítógépen.

2013 - ban végül Harald Gelfgott [4] [5] [6] [7] bizonyította be a hármas Goldbach-sejtést .

Bináris Goldbach probléma

A bináris Goldbach-probléma még mindig messze van a megoldástól.

Vinogradov 1937 - ben és Theodor Estermann 1938 -ban kimutatta, hogy szinte minden páros szám ábrázolható két prímszám összegeként. Ezt az eredményt 1975 - ben némileg javította Hugh Montgomery és Bob Vaughan .  Megmutatták, hogy vannak olyan pozitív c és C állandók, amelyeknél az N -nél nem nagyobb páros számok száma , amelyeket nem lehet két prímszám összegeként ábrázolni, nem haladja meg a -t .  

1930- ban Shnirelman bebizonyította, hogy bármely egész szám legfeljebb 800 000 prím összegeként ábrázolható [8] . Ezt az eredményt sokszor javították, így 1995-ben Olivier Ramaret bebizonyította, hogy bármely páros szám legfeljebb 6 prímszám összege.

A (2013-ban bebizonyított) hármas Goldbach-sejtés érvényességéből az következik, hogy bármely páros szám legfeljebb 4 prímszám összege.

1966- ban Chen Jingrun bebizonyította , hogy bármely kellően nagy páros szám vagy két prímszám összegeként, vagy egy prímszám és egy félprím összegeként (két prímszám szorzataként) ábrázolható. Például 100 = 23 + 7 11.

2012 áprilisa óta a Goldbach-féle bináris sejtést [9] minden olyan páros számra tesztelték , amelyek nem haladják meg a 4×10 18 -at .

Ha Goldbach bináris hipotézise téves, akkor van egy algoritmus , amely előbb-utóbb észleli a megsértését.

A bináris Goldbach-sejtés újrafogalmazható valamely speciális alak 4. fokú diofantusi egyenletének feloldhatatlanságára vonatkozó állításként [10] [11] .

A kultúrában

1992-ben megjelent Apostolos Doxiadis „ ötletregénye” „ Petros bácsi és a Goldbach-probléma ” , és rendkívüli népszerűségnek örvendett . Promóciós célból Faber és Faber egymillió dollárt ígért minden olvasónak, aki a forgalomba hozatalt követő két éven belül meg tudja oldani a problémát. A regényt több tucat nyelvre lefordították, 2002-ben jelent meg orosz fordítása [12] .

A Goldbach-probléma fontos cselekménypont a 2007-es Trap Farm című filmben és Lewis 2006-os pilotjában .

Jegyzetek

  1. ↑ Correspondance mathématique et physique de quelques célèbres géomètres du XVIIIème siècle (1. sáv), St.-Pétersbourg 1843, S. 125-129 Archiválva : 2019. július 1. a Wayback Machine -nél
  2. ↑ JR Chen és TZ Wang, A furcsa Goldbach-problémáról, Acta Mathematica Sinica 32 (1989), 702-718. Addendum 34 (1991) 143-144.
  3. ↑ Jean-Marc Deshouillers archiválva 2012. október 25-én a Wayback Machine -nél , Gove Effinger Archiválva 2012. október 1-én a Wayback Machine -nél , Herman te Riele Archiválva : 2012. március 29-én a Wayback Machine -nél , Dmitrii Zinoviev Archivált A Wayback Machine - nél 29. augusztus fejezze be Vinogradov 3 prímszámú tételét a Riemann-hipotézis alapján , Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society, Vol. 3, pp. 99-104. 1997.
  4. ↑ Terence Tao – Google+ – Mozgalmas nap az analitikus számelméletben; Harald Helfgott…  (angol) . Letöltve: 2013. június 10. Az eredetiből archiválva : 2017. március 22.
  5. ↑ A Goldbach-tétel főbb ívei Archiválva : 2013. július 29., a Wayback Machine , HA Helfgott // arxiv 1305.2897
  6. ↑ Goldbach-variációk archiválva 2013. december 16-án a Wayback Machine -nál // SciAm blogok, Evelyn Lamb, 2013. május 15.
  7. ↑ Two Proofs Spark a Prime Week for Number Theory Archivált : 2013. június 23. a Wayback Machine -nél // Tudomány, 2013. május 24.: Vol. 340 sz. 6135 p. 913 doi:10.1126/tudomány.340.6135.913
  8. ↑ R. Courant, G. Robbins Mi a matematika? Archivált : 2014. január 11., a Wayback Machine  - 3rd ed., rev. és további — M.: MTSNMO, 2001.
  9. ↑ Weisstein, Eric W. Goldbach sejtés  a Wolfram MathWorld weboldalán .
  10. ↑ Jurij Matijasevics. Hilbert tizedik problémája: Mit tettek és mit kell tenni Archiválva : 2010. június 13. a Wayback Machine -nél .
  11. ↑ Matiyasevics Yu. V. Hilbert tizedik problémája . – Nauka, 1993. […] újrafogalmazhatjuk a Goldbach-sejtést úgy, hogy a diofantusz-egyenlet a paraméter minden értékére nézve megoldható
  12. ↑ Petros bácsi és a Goldbach probléma ( Archiválva 2017. szeptember 14-én a Wayback Machine -nél ) az Ozon honlapján.

Irodalom

Linkek

  Ugrás a Wikidata elemre  Szótárak és enciklopédiák
Bibliográfiai katalógusokban
 Hipotézisek prímszámokról _
Hipotézisek