A háromszögek hasonlóságának jelei

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. április 13-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 3 szerkesztést igényelnek .

Hasonló háromszögek az euklideszi geometriában olyan háromszögek , amelyek szögei rendre egyenlőek, oldalai pedig arányosak . Hasonló figurákról van szó .

Ez a cikk a hasonló háromszögek tulajdonságait tárgyalja az euklideszi geometriában . Néhány állítás nem igaz a nem euklideszi geometriákra .

A háromszögek hasonlóságának jelei

A háromszögek hasonlósági kritériumai olyan geometriai jellemzők, amelyek lehetővé teszik két háromszög hasonlóságának megállapítását anélkül , hogy a definíció összes elemét felhasználnánk.

Első jel

Ha egy háromszög két szöge egy másik háromszög két szögével egyenlő, akkor a háromszögek hasonlóak.

vagyis: $\háromszög ABC \sim \háromszög A_1 B_1 C_1 \Balra nyíl \angle A = \angle A_1,\ \angle B= \angle B_1.$

Adott: és $\háromszög ABC$ $\háromszög A_1 B_1 C_1,\ \angle A = \angle A_1,\ \angle B = \angle B_1.$

Bizonyít: $\háromszög ABC \sim \háromszög A_1 B_1 C_1.$

Bizonyíték A Háromszög szögek tételéből arra következtethetünk, hogy a háromszögek minden szöge egyenlő. Helyezze el őket úgy, hogy a szög átfedje a szöget . Az általánosított Thalész-tételből (hasonlóság nélkül bebizonyítható, lásd például Sharygin vagy Pogorelov 7-9 geometriai tankönyvét) . Hasonlóképpen igazolható, hogy a többi megfelelő oldal aránya egyenlő, ami azt jelenti, hogy a háromszögek definíció szerint hasonlóak stb.

\angle BAC

{\displaystyle \angle B_{1}A_{1}C_{1))

{\displaystyle AC/A_{1}C_{1}=BC/B_{1}C_{1))

A hasonlóság első jelének következményei

Ha az eredeti háromszög három oldala páronként párhuzamos (kétszer ellentétes vagy merőleges) egy másik háromszög három oldalával, akkor ez a két háromszög hasonló . Ennek a következménynek az alkalmazására vonatkozó példákért lásd az alábbi szakaszokat: "Példák hasonló háromszögekre" és "A kapcsolódó háromszögek oldalainak párhuzamosságának (anti-parallelizmus) tulajdonságai."
A kétszeresen antipárhuzamos oldalak a következőket jelentik. Például egy adott hegyesszögű háromszög oldalai ellentétesek annak az derékszögű háromszögnek a megfelelő oldalaival, amelyekhez képest fekszenek. Ilyen esetben egy derékszögű derékszögű (kétszeres derékszögű) megfelelő oldalai kétszer ellentétesek az eredeti háromszög megfelelő oldalaival , azaz éppen párhuzamosak. Ezért például egy derékszögű háromszög és az eredeti háromszög hasonló a párhuzamos oldalú háromszögekhez.

A második jel

Ha egy háromszög két oldala arányos egy másik háromszög két oldalával, és az oldalak közötti szögek egyenlőek, akkor az ilyen háromszögek hasonlóak.

Adott: és $\háromszög ABC$ $\háromszög A_1 B_1 C_1,\ \angle A = \angle A_1,\ \frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}.$

Bizonyít: $\háromszög ABC \sim \háromszög A_1 B_1 C_1.$

Bizonyíték

1) Tekintsük , amelyben és $\háromszög ABC_2$ $\angle BAC_2=\angle A_1$ $\angle ABC_2=\angle B_1:$

\háromszög ABC_2\sim \háromszög A_1 B_1 C_1

( első jel )

\Rightarrow\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC_2}{A_1C_1}.

2) Feltétel szerint:

\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}\Rightarrow AC=AC_2 \Rightarrow \triangle ABC = \háromszög ABC_2

( első jel ) ( első jel ).

\jobbra nyíl \szög B=\szög ABC_2 \jobbra nyíl \háromszög ABC \sim \háromszög A_1 B_1 C_1

A harmadik jel

Ha az egyik háromszög három oldala arányos egy másik háromszög három oldalával, akkor a háromszögek hasonlóak.

Adott : és = = . $\háromszög ABC$ ${\displaystyle \triangle A_{1}B_{1}C_{1},{\frac {AB}{A_{1}B_{1))))$ $\frac{AC}{A_1C_1}$ $\frac{BC}{B_1C_1}$

Bizonyítsd be : $\háromszög ABC \sim \háromszög A_1 B_1 C_1.$

Bizonyíték

1) Tekintsük , amelyben és $\háromszög ABC_2$ $\angle BAC_2=\angle A_1$ $\angle ABC_2=\angle B_1:$

\háromszög ABC_2\sim \háromszög A_1 B_1 C_1

( első jel )

\Rightarrow\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC_2}{A_1C_1}.

2) Feltétel szerint:

\frac{AB}{A_1B_1}

= = AC=AC 2 , BC=BC 2 => ∆ABC = ∆ABC 2 ( harmadik jellemző ); ∆ABC 2 ∆A 1 B 1 C 1 => .

\frac{AC}{A_1C_1}

{\frac {BC}{B_{1}C_{1))}\Rightarrow \

\sim

{\displaystyle \triangle ABC\sim \triangle A_{1}B_{1}C_{1))

Derékszögű háromszögek hasonlóságának jelei

Hegyesszögben – lásd az első jelet ;
Két lábon - lásd a második jelet ;
A lábon és a hypotenuson – lásd a harmadik jelet .

Hasonló háromszögek tulajdonságai

A hasonló háromszögek területének aránya megegyezik a hasonlósági együttható négyzetével
A felezők , mediánok , magasságok és középmerőlegesek kerületének és hosszának aránya megegyezik a hasonlósági együtthatóval.

Példák hasonló háromszögekre

A következő típusú háromszögek hasonlóak:

A komplementer háromszög és az antikomplementer háromszög hasonló; oldaluk párhuzamos.
Az ABC háromszög hasonló a kiegészítő háromszögéhez ; megfelelő oldalaik párhuzamosak és 2:1 arányban állnak egymással.
Az ABC háromszög hasonló az antikomplementer háromszögéhez ; megfelelő oldalaik párhuzamosak és 1:2 arányban állnak egymással.
Az eredeti háromszög az ortoháromszöghez képest három külső felezőszögből álló háromszög [1] . $\Delta ABC$
Egy merőleges háromszög és egy érintő háromszög hasonló (Zetel, 1. következtetés, 66. §, 81. o.).
Az ortoháromszög és az eredeti háromszög derékszöge hasonló.
A három külső felezőszögű háromszög három külső felezőszögű háromszöge és az eredeti háromszög hasonló.
Hagyjuk az adott háromszögbe írt kör érintkezési pontjait szakaszokkal összekötni, ekkor a Gergonne-háromszöget kapjuk , és a kapott háromszögbe berajzoljuk a magasságokat. Ebben az esetben a magasságok alapjait összekötő vonalak párhuzamosak az eredeti háromszög oldalaival. Ezért a Gergonne -háromszög derékszöge és az eredeti háromszög hasonló.
A kapcsolódó háromszögek fenti hasonlósági tulajdonságai a kapcsolódó háromszögek oldalainak az alábbiakban felsorolt párhuzamossági tulajdonságainak a következményei .
Tétel : a kerületi-cevian háromszög hasonló a szubdermálishoz [2] . Az itt használt definíciók:
- A háromszöget, amelynek csúcsai a csúcsokon és egy adott ponton áthúzott egyenesek második metszéspontjaiban vannak, körülírt körrel, kerületi-cevian háromszögnek nevezzük .
- Azt a háromszöget, amelynek csúcsai egy adott pont vetületei az oldalakra, ennek a pontnak a bőr alatti vagy pedálos háromszögének nevezzük .

A kapcsolódó háromszögek oldalainak párhuzamosságának (anti-parallelizmusának) tulajdonságai

A komplementer háromszög , az antikomplementer háromszög és az eredeti háromszög megfelelő oldalai páronként párhuzamosak.
Egy adott hegyesszögű háromszög oldalai ellentétesek annak a derékszögű háromszögnek a megfelelő oldalaival, amelyekhez képest fekszenek.
A tangenciális háromszög oldalai ellentétesek az adott háromszög megfelelő szemközti oldalaival (a kör érintőinek antiparallelizmusa miatt).
Egy érintőleges háromszög oldalai párhuzamosak egy derékszögű háromszög megfelelő oldalaival .
Hagyjuk az adott háromszögbe írt kör érintkezési pontjait szakaszokkal összekötni, ekkor a Gergonne-háromszöget kapjuk , és a kapott háromszögbe berajzoljuk a magasságokat. Ebben az esetben a magasságok alapjait összekötő vonalak párhuzamosak az eredeti háromszög oldalaival. Ezért a Gergonne -háromszög derékszöge és az eredeti háromszög hasonló.

Hasonlóság derékszögű háromszögben

Azok a háromszögek, amelyekbe a derékszögből csökkentett magasság felosztja a derékszögű háromszöget, hasonlóak az első kritériumban szereplő teljes háromszöghöz , ami azt jelenti:

A derékszögű háromszög magassága, leengedve a hipotenuzusra, megegyezik a lábak hipotenuszon lévő vetületeinek geometriai átlagával ,
A láb egyenlő a befogónyílás geometriai átlagával és ennek a lábnak a hipotenuszra való vetületével.

Kapcsolódó definíciók

A hasonlósági együttható a k szám, amely egyenlő a hasonló háromszögek hasonló oldalainak arányával.
A hasonló háromszögek hasonló oldalai az egyenlő szögekkel ellentétes oldalak.

Lásd még

Jegyzetek

↑ Starikov V. N. Geometriai kutatás // A Globus tudományos folyóirat publikációinak gyűjteménye az V. nemzetközi tudományos-gyakorlati konferencia "Achievements and Problems of Modern Science" anyagai alapján, Szentpétervár: cikkgyűjtemény (standard szintű, akadémiai szint). S-P.: Globus tudományos folyóirat , 2016. S. 99-100
↑ Geometriai feladatrendszer, R. K. Gordin. 6480. feladat . Letöltve: 2016. április 26. Az eredetiből archiválva : 2016. március 4.. (határozatlan)

Irodalom

Geometry 7-9 / L. S. Atanasyan et al. - 12. kiadás. - M.: Felvilágosodás, 2002. - 384 p.:
Zetel S.I. Új háromszöggeometria. Útmutató tanároknak. 2. kiadás. M.: Uchpedgiz, 1962. 153 p.

Linkek

Háromszög
A háromszögek típusai	Négyszögletes Egyenlő szárú Egyenlő oldalú Egyenlőszárú téglalap alakú
Csodálatos vonalak egy háromszögben	Középső Magasság Felezővonal Középmerőleges középső vonal Beírt és körülírt körök Simson egyenes Euler vonal Simediana Cheviana
A háromszög figyelemre méltó pontjai	Orthocenter Centroid Incenter Brocard pont Vecten pont Pont Gergonne Lemoine pont Miquel pont Nagel pont Napóleon rámutat Torricelli pontjai Kilenc pontos kör középpontja Spieker Center Háromszögközpontok enciklopédiája
Alaptételek	háromszög egyenlőtlenség A háromszögek hasonlóságának jelei Háromszögek megoldása Háromszög külső szög tétel Szögösszeg háromszög tétele Pitagorasz tétel Koszinusz tétel Szinusztétel A vetítési tétel Heron képlete
További tételek	Van Obel tétele Menelaosz tétele Reuschle (Terkema) tétel Stewart tétele Érintőtétel Kotangens tétel Ceva tétele Mollweide képletek
Általánosítások	gömb alakú háromszög hiperbolikus háromszög Simplex