Másfél vonalas forma

A szeszkvilineáris forma a bilineáris forma fogalmának általánosítása . A szeszkvilineáris forma általában egy vektortér két vektorának f(x, y) függvénye egy olyan mező felett , amelynek értékei ebben a mezőben vannak, ha minden fix és féllineáris függvény függvényében lineáris . funkció minden rögzített . A féllinearitás követelménye azt jelenti, hogy a következő feltételek teljesülnek: [1] $V$ $\mathbb {C}$ $x$ $y$ $y$ $x$ $y$

$f(x,y_{1}+y_{2})=f(x,y_{1})+f(x,y_{2})\ \ \forall x,y_{i}\in V ,$
$f(x,\alpha y)={\overline {\alpha }}f(x,y)\ \ \forall x,y\in V,\ \alpha \in \mathbb {C} .$

Így bizonyos formák természetesen felmerülnek a fizika alkalmazásában.

Van egy általánosítás arra az esetre, amikor a vektorteret egy tetszőleges mező felett tekintjük , akkor a komplex konjugációt a mező tetszőleges rögzített automorfizmusával helyettesítjük. A projektív geometriában néha még nagyobb általánosítást is figyelembe vesznek, amikor vektortér helyett egy tetszőleges test feletti modult használnak . $K$

Érvelésrendi konvenciók

A preambulumban megadott definíció az első argumentumban lineáris, a másodikban pedig féllineáris. Ezt a konvenciót gyakran használják a matematikai irodalomban. Érdemes azonban megjegyezni, hogy a fizikai irodalomban gyakrabban használják az első argumentumban szereplő szemlinearitást [2] , ez az egyetértés a Dirac által a kvantummechanikában bevezetett bra és ket elnevezésekből ered .

Komplex vektortérben

Egy komplex vektortérben való leképezést szeszkvilineárisnak nevezzük, ha: $\varphi :V\times V\to \mathbb {C}$ $V$

{\begin{aligned}&\varphi (x+y,z+w)=\varphi (x,z)+\varphi (x,w)+\varphi (y,z)+\varphi (y) ,w)\\&\varphi (ax,by)=a{\overline {b}}\,\varphi (x,y)\end{aligned}}

mindenkinek és mindenkinek Itt olyan számot kell érteni, amely összetett konjugált egy számhoz $x,y,z,w\in V$ $a,b\in \mathbb {C} .$ $\overline {b}$ $b.$

Az összetett szesquilineáris forma összetett bilineáris leképezésnek is tekinthető

V × V ¯ → C , {\displaystyle V\times {\overline {V}}\to \mathbb {C} ,}

V\times {\overline {V}}\to \mathbb {C} ,

ahol az összetett konjugált vektortér a térhez

{\overline {V))

V.

Rögzített térkép esetén a leképezés lineáris függvény -on , azaz a duális tér eleme . Hasonlóképpen, a rögzített leképezés egy antilineáris funkció $w\in V$ $z\mapsto \varphi (z,w)$ $V$ $V^*$ $w\mapsto \varphi (z,w)$ $z$ $V.$

Bármely összetett szeszkvilineáris forma esetében a második formát a következő képlettel tekinthetjük: $\varphi$ $\psi$

ψ ( w , z ) = φ ( z , w ) ¯ . {\displaystyle \psi (w,z)={\overline {\varphi (z,w))).}

\psi (w,z)={\overline {\varphi (z,w))).

Általános esetben, és más lesz, és mátrixaik hermitikus konjugátumok . Ha az alakzatok egyeznek, akkor azt mondják, hogy hermitikus . Hasonlóképpen, ha ellentétesek egymással, akkor azt mondják, hogy ferde-hermitikus .

\psi

\varphi

\varphi

\varphi

Mátrix ábrázolás

Legyen véges dimenziós komplex vektortér, akkor tetszőleges

alapra a szeszkvilineáris forma egy mátrix segítségével ábrázolható a következő képlet szerint:

V

{\displaystyle \left\{e_{i}\right\}_{i))

\varphi

\Phi

φ ( w , z ) = φ ( ∑ én w én e én , ∑ j z j e j ) = ∑ én ∑ j w én z j ¯ φ ( e én , e j ) = w T Φ z ¯ . {\displaystyle \varphi (w,z)=\varphi \left(\sum _{i}w_{i}e_{i},\sum _{j}z_{j}e_{j}\right)=\ sum _{i}\sum _{j}w_{i}{\overline {z_{j}}}\varphi \left(e_{i},e_{j}\right)=w^{\mathrm {T } }\Phi {\overline {z}}.}

\varphi (w,z)=\varphi \left(\sum _{i}w_{i}e_{i},\sum _{j}z_{j}e_{j}\right)=\ sum _{i}\sum _{j}w_{i}{\overline {z_{j}}}\varphi \left(e_{i},e_{j}\right)=w^{\mathrm {T } }\Phi {\overline {z}}.

A mátrix elemeit a feltétel határozza meg

\Phi

\Phi _{ij}:=\varphi \left(e_{i},e_{j}\right).

Hermitiánus formák

A hermitikus forma (szintén szeszkvilináris szimmetrikus forma ) egy szeszkvilinális forma egy összetett térben , $h:V\times V\to \mathbb {C}$ $V$

h ( w , z ) = h ( z , w ) ¯ . {\displaystyle h(w,z)={\overline {h(z,w))).}

h(w,z)={\overline {h(z,w))).

Egy ilyen forma (a bilineáris esethez hasonlóan definiált ) pozitív meghatározottsága esetén hermitikus skalárszorzatról beszélünk . A standard Hermitian terméket a képlet adja meg

⟨ w , z ⟩ = ∑ én = egy n w én z ¯ én . {\displaystyle \langle w,z\rangle =\sum _{i=1}^{n}w_{i}{\overline {z}}_{i}.}

\langle w,z\rangle =\sum _{i=1}^{n}w_{i}{\overline {z}}_{i}.

A vektortér és a rajta definiált hermiti forma párját

hermitikus térnek , pozitívan meghatározott esetben pedig komplex Hilbert-térnek nevezzük . Ha tetszőleges alapon Hermitiánus formát írunk, akkor Hermitiánus mátrixot kapunk .

{\megjelenítési stílus (V,h)}

Ha ugyanarra a vektorra alkalmazzuk a Hermitian formát

| z | h = h ( z , z ) {\displaystyle |z|_{h}=h(z,z)}

|z|_{h}=h(z,z)

mindig valós szám . Kimutatható, hogy egy komplex szeszkvilineáris forma akkor és csak akkor hermitikus, ha a megfelelő másodfokú forma mindenre valós.

z\in V.

Ferde-hermitikus formák

A ferde- hermiti forma egy szeszkvilinális forma egy összetett téren úgy, hogy $s:V\times V\to \mathbb {C}$ $V$

s ( w , z ) = − s ( z , w ) ¯ . {\displaystyle s(w,z)=-{\overline {s(z,w))).}

s(w,z)=-{\overline {s(z,w))).

Minden ferde-hermiti forma ábrázolható Hermitiánus szorozva -val .

én

Ha tetszőleges alapon írunk egy ferde-hermitiánus formát, akkor egy ferde-hermitiánus (anti-hermitiánus) mátrixot kapunk .

Ha ugyanarra a vektorra alkalmazzuk a ferde-hermitikus formát

| z | s = s ( z , z ) {\displaystyle |z|_{s}=s(z,z)}

|z|_{s}=s(z,z)

mindig pusztán képzeletbeli szám .

Az osztógyűrű fölött

A szesquilineáris forma fogalma tetszőleges osztásgyűrűre általánosítható. Kommutatív esetben ez az integritás tartománya, nem kommutatív esetben a speciális esetet használják leggyakrabban, amikor a gyűrű egy ferde mező . Kommutatív esetben a következőkben minden antiautomorfizmust egyszerűen automorfizmusnak tekinthetünk, mivel ezek a fogalmak a kommutatív gyűrűkre egybeesnek.

Definíció

Legyen egy osztásgyűrű, és legyen ennek a gyűrűnek egy rögzített

antiautomorfizmusa . Ekkor a bal oldali -sesquilinear forma egy bilineáris leképezés , amely bármelyik modulra és a következő skalárokra érvényes :

K

\sigma

\sigma

K

M

\varphi \colon M\times M\to K

x,y

M

\alpha ,\beta

K

\varphi (x\alpha ,y\beta )=\alpha \,\varphi (x,y)\,\sigma (\beta ).

Ortogonális kiegészítés

Egy adott szeszkvilineáris formánál a modulon és a modul

almodulján az ortogonális komplementer

\varphi

M

W

M

W

W^{\perp }=\{\mathbf {v} \in M\mid \varphi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=0,\ \forall \mathbf {w} \in W\}.

Hasonlóképpen, egy elemet ortogonálisnak mondunk egy elemre az alakhoz képest, ha . Ezt , vagy egyszerűen jelöli , ha a forma egyértelmű a szövegkörnyezetből. Ez az összefüggés nem feltétlenül szimmetrikus , vagyis nem következik a -ból . Ha az alábbiak mindegyikére vonatkozik , akkor a formát reflexívnek nevezzük . $x \-ben M$ $y\in M$ $\varphi$ $\varphi (x,y)=0$ $x\perp _{\varphi }y$ $x\perp y$ $x\perp y$ $y\perp x$ $x,y$ $x\perp y$ $y\perp x$

Példa

Legyen egy háromdimenziós vektortér egy véges mező felett , ahol egy prímszám hatványa . Legyen két vektor és a szabványos alap koordinátáival és . Ekkor a leképezés a következő képlettel definiálható: $V$ $F=\operátornév {GF} (q^{2})$ $q$ $x$ $y$ $(x_1,x_2,x_3)$ ${\displaystyle y_{1},y_{2},y_{3))$ $\varphi$

\varphi (x,y)=x_{1}y_{1}{}^{q}+x_{2}y_{2}{}^{q}+x_{3}y_{3}{ }^{q}.

A leképezés egy automorfizmus , amely egy involúció . A leképezés szeszkvilineáris forma . Ez a forma hermitikus, és a szabványos alapban ennek az alaknak megfelelő mátrix egyszerűen az identitásmátrix . ${\displaystyle \sigma :t\mapsto t^{q))$ $F$ $\varphi$ $\sigma$ ${\displaystyle M_{\varphi ))$

Lásd még

Jegyzetek

↑ Shafarevich I. R., Remizov A. O. Lineáris algebra és geometria. - ch. VI, 6.3. — M.: Fizmatlit, 2009.
↑ 1. megjegyzés: Anthony Knapp Basic Algebra (2007) p. 255 Archiválva : 2021. október 31. a Wayback Machine -nél

Irodalom

Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Lineáris algebra és geometria, Fizmatlit, Moszkva, 2009.
Dembowski, Peter (1968), Finite geometries , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , Band 44, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 3-540-61786-8 , < https://archive.org/details/finitegeometries00000degeometries >
Gruenberg, KW & Weir, AJ (1977), Linear Geometry (2. kiadás), Springer, ISBN 0-387-90227-9
Jacobson, Nathan J. (2009), Basic Algebra I (2. kiadás), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1

Külső erőforrások

Hazewinkel, Michiel, szerk. (2001), Sesquilinear forma , Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4