Végeselem módszer

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. március 5-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 9 szerkesztést igényelnek .

A végeselemes módszer ( FEM ) egy numerikus módszer parciális differenciálegyenletek , valamint integrálegyenletek megoldására , amelyek az alkalmazott fizika problémáinak megoldása során merülnek fel . A módszert széles körben használják szilárd mechanika , hőátadás, hidrodinamika , elektrodinamika és topológiai optimalizálás problémák megoldására.

Módszerötlet

A módszer lényege a nevében rejlik. Azt a területet, ahol a differenciálegyenletek megoldását keresik, véges számú altartományra (elemre) osztjuk. Mindegyik elemben tetszőlegesen meg van választva a közelítő függvény típusa . A legegyszerűbb esetben ez egy elsőfokú polinom . Az elemén kívül a közelítő függvény nullával egyenlő. Az elemek határain (csomópontokon) lévő függvényértékek a probléma megoldását jelentik, és nem ismertek előre. A közelítő függvények együtthatóit általában abból a feltételből keresik, hogy a szomszédos függvények értékei egyenlők legyenek az elemek közötti határokon (csomópontokon). Ezután ezeket az együtthatókat az elemek csomópontjaiban lévő függvények értékével fejezzük ki. Lineáris algebrai egyenletrendszert állítunk össze . Az egyenletek száma megegyezik azon csomópontok ismeretlen értékeinek számával, amelyeken az eredeti rendszer megoldását keresik, egyenesen arányos az elemek számával, és csak a számítógép képességei korlátozzák. Mivel mindegyik elem korlátozott számú szomszédos elemhez kapcsolódik, a lineáris algebrai egyenletrendszer ritka alakja van , ami nagyban leegyszerűsíti a megoldását.

Ha mátrixban beszélünk, az úgynevezett merevségi mátrixokat (vagy a Dirichlet-mátrixot) és a tömegeket gyűjtjük össze . Továbbá ezekre a mátrixokra peremfeltételek vonatkoznak (például Neumann-feltételek mellett semmi nem változik a mátrixokban, Dirichlet-feltételek esetén pedig a peremcsomópontoknak megfelelő sorok és oszlopok törlődnek a mátrixokból, mivel a peremfeltételek, a megoldás megfelelő összetevőinek értéke ismert). Ezután lineáris egyenletrendszert állítunk össze , és az ismert módszerek valamelyikével megoldjuk.

A számítási matematika szempontjából a végeselem-módszer gondolata az, hogy egy variációs probléma funkcionális minimalizálása függvények halmazán történik, amelyek mindegyike a saját aldomainjében van definiálva.

A módszert széles körben alkalmazták szerkezetek tervezésében, valamint például a talaj mozgásmodelleinek modellezésében. Külföldön a módszert szinte azonnal alkalmazni kezdték mindenhol, Oroszországban pedig csak a 2000-es években váltotta fel a variációs-különbség, véges-különbség és egyéb módszereket. .

A módszer hiányosságai között érdemes megemlíteni a rácsméretnek a végeredményre gyakorolt hatását.

A módszer illusztrációja egy egydimenziós példán

Legyen szükség a következő egydimenziós differenciálegyenlet megoldására a P1 egydimenziós térben, hogy megtaláljuk a függvényt a 0-tól 1-ig terjedő intervallumon. A tartomány határain a függvény értéke 0: $u$ $u$

{\mbox{ P1 }}:{\begin{cases}u''(x)=f(x){\mbox{ in }}(0,1),\\u(0)=u(1)= 0,\end{cases}}

ahol ismert függvény, ismeretlen függvénye . második származéka -nak . A probléma végeselemes módszerrel történő megoldása 2 szakaszra oszlik: $f$ $u$ $x$ $te''$ $u$ $x$

Fogalmazzuk újra a határérték problémát úgynevezett gyenge (variációs) formába. Ebben a szakaszban szinte nincs szükség számításokra.
A második szakaszban a gyenge formát véges szegmensekre-elemekre bontjuk.

Ezt követően felmerül a probléma egy olyan lineáris algebrai egyenletrendszer megtalálása, amelynek megoldása megközelíti a kívánt függvényt.

Ha van megoldás, akkor bármely olyan sima függvényre , amely teljesíti a peremfeltételeket az és pontokban , felírhatjuk a következő kifejezést: $u$ $v$ $v=0$ $x=0$ $x=1$

(egy) $\int _{0}^{1}f(x)v(x)\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}u''(x)v(x) \,\mathrm {d} x.$

A részenkénti integráció segítségével az (1) kifejezést a következő alakra alakítjuk:

(2) ${\textstyle {\begin{aligned}\int _{0}^{1}f(x)v(x)\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}u''( x)v(x)\,\mathrm {d} x\\=u'(x)v(x){\bigg |}_{0}^{1}-\int _{0}^{1} u'(x)v'(x)\,\mathrm {d} x\\=-\int _{0}^{1}u'(x)v'(x)\,\mathrm {d} x =-\phi(u,v).\end{igazított}}}$

Azt a tényt figyelembe véve szerezték meg, hogy . $v(0)=v(1)=0$

Osszuk ketté azt a területet, ahol a megoldást keresik

u\in H_{0}^{1}

oly módon, hogy

\forall v\in H_{0}^{1},\;-\phi (u,v)=\int _{0}^{1}f(x)v(x)\mathrm {d }x

véges intervallumokra, és egy új szóközt kapunk : $V$

(3) olyan, hogy

u\in V

\forall v\in V,\;-\phi (u,v)=\int _{0}^{1}f(x)v(x)\mathrm {d} x

ahol a tér darabonkénti tartománya . Az alap kiválasztásának számos módja van . Alapfüggvénynek úgy választunk, hogy egyenesekkel (elsőfokú polinomokkal) ábrázoljuk őket: $V$ $H_{0}^{1}$ $V$ $v_{{k}}$

v_{k}(x)={\begin{cases}{x-x_{k-1} \over x_{k}\,-x_{k-1}}&{\mbox{, }} x\in [x_{k-1},x_{k}],\\{x_{k+1}\,-x \over x_{k+1}\,-x_{k))&{\mbox {, }}x\in [x_{k},x_{k+1}],\\0&{\mbox{, }}x\not \in [x_{k-1},x_{k+1} ]\end{cases}}

számára (ebben a példában ) $k=1,\lpontok,n-1$ $n=5$

Ha most a kívánt közelítő megoldást mint , a függvényt pedig a következővel közelítjük meg , akkor (3) segítségével a következő egyenletrendszert kaphatjuk a kívánt egyenletekre : $u(x)=\sum _{{k=1}}^{{n-1}}u_{k}v_{k}(x)$ $f(x)$ $f(x)=\összeg _{{k=0}}^{n}f_{k}v_{k}(x)$ $u_{k}$

-\sum _{k=1}^{n-1}u_{k}\phi (v_{k},v_{j})=\sum _{k=0}^{n}f_{ k}\int v_{k}v_{j}\mathrm {d} x

ahol . $j=1,\lpontok,n-1$

Előnyök és hátrányok

A végeselem módszert nehezebb megvalósítani, mint a véges különbség módszerét . A FEM-nek azonban számos előnye van, amelyek valós problémákban nyilvánulnak meg: a feldolgozott terület tetszőleges formája; a rács ritkábbra tehető olyan helyeken, ahol nincs szükség különösebb pontosságra.

A FEM széles körű elterjedését sokáig hátráltatta az algoritmusok hiánya a régiók automatikus felosztására „majdnem egyenlő oldalú” háromszögekre (a hiba, a módszer variációjától függően, fordítottan arányos a legélesebb szinuszával). vagy a válaszfal legtompább szöge). Ezt a problémát azonban sikerült megoldani (az algoritmusok Delaunay-háromszögelésen alapulnak ), ami lehetővé tette teljesen automatikus végeselemes CAD rendszerek létrehozását .

A módszer fejlődésének története

A végeselemes módszer a szerkezeti mechanika és a rugalmasságelmélet újszerű megoldási módjainak igényéből fakadt az 1930 - as években . A FEM alapjául szolgáló ötletek egyik alapítója Alexander Hrennikov és Richard Courant . Munkájuk az 1940 -es években jelent meg . A FEM hatékonyságát először 1944-ben Ioannis Argyris bizonyította , aki számítógép segítségével valósította meg a módszert.

Az 1950 - es években Kínában Kang Feng numerikus módszert javasolt a gátszerkezetek kiszámításához szükséges parciális differenciálegyenletek megoldására. Ezt a módszert a variációs elven alapuló véges differencia módszernek nevezték, amely a végeselem módszer egy másik független megvalósítási módjaként tekinthető.

Bár a felsorolt megközelítések részleteiben különböznek egymástól, van egy közös bennük: egy folytonos terület rács általi diszkretizálása diszkrét altartományok halmazává, amelyeket általában elemeknek neveznek.

A végeselemes módszer továbbfejlesztése az 1950 -es évek űrkutatási problémáinak megoldásához is kapcsolódik .

A Szovjetunióban a FEM elterjedése és gyakorlati megvalósítása az 1960 -as években Leonard Oganesyan nevéhez fűződik .

A FEM 1963 -ban kapott jelentős lendületet fejlesztésében, miután bebizonyosodott, hogy a szerkezeti mechanikában elterjedt Rayleigh-Ritz módszer egyik változatának tekinthető , amely a potenciális energia minimalizálásával a problémát lineáris rendszerré redukálja. egyensúlyi egyenletek. Miután létrejött a FEM kapcsolata a minimalizálási eljárással, elkezdték alkalmazni a Laplace- vagy Poisson - egyenletekkel leírt problémákra . A FEM alkalmazási területe jelentősen bővült, amikor ( 1968 -ban ) megállapították, hogy a feladatok elemeit meghatározó egyenletek könnyen előállíthatók a súlyozott reziduális módszer változataival , mint például a Galerkin- módszer vagy a legkisebb négyzetek módszere. . Ennek fontos szerepe volt a FEM elméleti megalapozásában, mivel sokféle differenciálegyenlet megoldásában lehetővé tette alkalmazását. Így a végeselemes módszer a differenciálegyenletek vagy differenciálegyenletrendszerek numerikus megoldásának általános módszerévé vált.

A számítástechnikai eszközök fejlődésével folyamatosan bővülnek a módszer lehetőségei, és bővül a megoldandó problémák osztálya is. Jelenleg a végeselemes módszer nagyszámú megvalósítását javasolták diffúziós [1] , hővezetési [2] , hidrodinamikai [3] , mechanikai [4] , elektrodinamikai [5] stb. folyamatainak modellezésében.

Lásd még

Irodalom

Gallagher R. Végeselem módszer. Alapok: Per. angolról. — M.: Mir, 1984
Deklu J. Végeselem módszer: Per. franciából — M.: Mir, 1976
Zenkevich O. Végeselem-módszer a gépészetben - M.: Mir, 1975.
Zenkevich O., Morgan K. Véges elemek és közelítés: Per. angolról. — M.: Mir, 1986
Segerlind L. A végeselemes módszer alkalmazása - M.: Mir, 1979. - 392 p.
P. Austrell, O. Dahlblom, J. Lindemann, A. Olsson, K.-G. Olsson, K. Persson, H. Pettersson, M. Ristinmaa, G. Sandberg és P.-A. Wernberg. CALFEM: Véges elem eszköztár: 3.4-es verzió. Szerkezeti mechanika, LTH, 2004. isbn: 91-8855823-1

Linkek

Borovkov A.I. stb. Számítástechnika. Analitikai áttekintés – Tanulmányi útmutató . - Szentpétervár. : Politechnikai Könyvkiadó. un-ta, 2012. - 93 p. — ISBN 978-5-7422-3766-2 .

Jegyzetek

↑ Dirichlet peremfeltételekkel rendelkező konvekciós-diffúziós egyenletek multigrid módszerének elemzése
↑ A végeselemes módszer alkalmazása a hővezetési probléma megoldására . Letöltve: 2017. szeptember 30. Az eredetiből archiválva : 2016. április 13.. (határozatlan)
↑ A számítási hőátadás és a folyadékdinamika alapjai . Letöltve: 2013. november 18. Az eredetiből archiválva : 2015. június 10. (határozatlan)
↑ A végeselemes módszer használata aprítógépek tervezési számításaihoz . Letöltve: 2013. november 18. Az eredetiből archiválva : 2015. június 10. (határozatlan)
↑ Végeselem módszer az elektrodinamika háromdimenziós külső problémáinak egy osztályának megoldására

Differenciálegyenletek megoldási módszerei

Rács módszerek

Végeselem módszerek	Végeselem módszer Galerkin módszer Nem folyamatos Galerkin módszer Többléptékű végeselemes módszer Multigrid módszer
Egyéb módszerek	Véges különbség módszer Véges térfogatú módszer Godunov módszere Határelem módszer

Nem rácsos módszerek