Mátrix függvény

A matematikában a mátrixfüggvény olyan függvény , amely egy mátrixot egy másik mátrixra képez le.

Skalárfüggvény kiterjesztése mátrixfüggvényre

Számos módszer létezik egy valós változó függvényének négyzetmátrix függvényévé való átalakítására, amelyek megőrzik ennek a függvénynek az érdekes tulajdonságait. Az alábbi módszerek mindegyike ugyanazt a mátrixfüggvényt adja, de a tartományuk eltérhet.

Teljesítménysorozat

Ha egy valós függvény Taylor-sorozatként ábrázolható $f$

f(x)=f(0)+f'(0)\cdot x+f''(0)\cdot {\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots

akkor a mátrixfüggvény mátrixra cserélve definiálható : a hatványokból mátrix lesz, az összeadásból a mátrixok összege, a szorzásból pedig a mátrix szorzata egy számmal. Ha egy valós sorozat a -hoz konvergál , akkor a megfelelő mátrixsor az A mátrixokra konvergál, amely kielégíti az egyenlőtlenséget kielégítő mátrixnormák feltételét . $x$ $|x|<r$ $\|A\|<r$ $\|\cdot \|$ $\|AB\|\leq \|A\|\cdot \|B\|$

Jordan dekompozíció

Legyen az A mátrix átlós alakra redukálva, azaz találhatunk egy P mátrixot és egy D átlós mátrixot úgy, hogy . A hatványsorok definícióját erre a bővítésre alkalmazva azt kapjuk, amit a kifejezés határoz meg ${\displaystyle A=P\cdot D\cdot P^{-1))$ $f(A)$

f(A)=P{\begin{bmatrix}f(d_{1})&\pontok &0\\\vpontok &\dpontok &\vpontok \\0&\pontok &f(d_{n})\end {bmátrix}}P^{-1},

ahol a D mátrix átlós elemeit jelöli . ${\displaystyle d_{1},\dots ,d_{n))$

Bármely mátrix redukálható Jordan normál alakra , ahol a J mátrix Jordan sejtekből áll . Tekintsük ezeket a blokkokat külön-külön, és alkalmazzuk a hatványsoros módszert minden Jordan cellára: ${\displaystyle A=P\cdot J\cdot P^{-1))$

Ez a definíció felhasználható egy mátrixfüggvény tartományának kiterjesztésére azon mátrixok halmazán, amelyek spektrális sugara kisebb, mint az eredeti hatványsor konvergencia sugara . Megjegyezzük az összefüggést a megosztott különbségekkel is .

Egy rokon fogalom a Jordan-Chevalley dekompozíció , amely egy mátrixot egy diagonalizálható és egy nilpotens rész összegeként ábrázol.

Hermitiánus mátrixok

A spektrális tétel szerint egy hermiti mátrixnak csak valós sajátértékei vannak, és mindig redukálható átlós alakra egy P unitér mátrixszal . Ebben az esetben a jordán definíció természetes. Ezenkívül ez a definíció folytatja a valós függvényekre vonatkozó standard egyenlőtlenségeket:

Ha a mátrix összes sajátértékére , akkor . (Megállapodás szerint pozitív szemidefinit mátrix ). A bizonyítás közvetlenül a definícióból következik. $f(a)\leq g(a)$ $A$ $f(A)\preceq g(A)$ $X\preceq Y\Leftrightarrow YX$

Cauchy integrál

A komplex elemzésből származó Cauchy-integrál képlet skaláris függvények mátrixfüggvényekké történő általánosítására is használható. A Cauchy-féle integrál képlet azt mondja, hogy a D ⊂ℂ halmazon definiált bármely f analitikus függvényre van

f(x)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {f(z)}{zx}}\,\mathrm {d} z

ahol C egy zárt görbe az x pontot körülvevő D tartományon belül . Cseréljük le x -et az A mátrixszal , és vegyük figyelembe a C kontúrt , amely a D -ben fekszik, és a mátrix összes sajátértékét tartalmazza . Az egyik lehetséges C körvonal az origót tartalmazó kör , amelynek sugara meghaladja egy tetszőleges normát . Ezután a kifejezés határozza meg $\scriptstyle \|A\|$ $\scriptstyle \|\cdot \|$ $f(A)$

f(A)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{f(z)(zI-A)^{-1}}\,\mathrm {d} z~.

Ez az integrál numerikusan kiszámítható a trapéz módszerrel , amely ebben az esetben exponenciálisan konvergál . Ez azt jelenti, hogy az eredmény pontossága megduplázódik, ha a csomópontok számát megduplázzuk.

Ez az elképzelés a Banach-terek lineáris korlátos operátoraira alkalmazva , amely végtelen dimenziós mátrixok nélkül is tekinthető, holomorf funkcionális számításhoz vezet .

Mátrixperturbációk

A fenti Taylor sorozat lehetővé teszi a skalár mátrixszal való helyettesítését. Ez azonban megengedhetetlen általános esetben, amikor a bontást a pont szomszédságában végezzük , kivéve azokat az eseteket, amikor . Az ellenpélda olyan függvény, amelynek Taylor-sora véges számú tagot tartalmaz. Számítsuk ki kétféleképpen. $x$ $A(\eta )=A+\eta B$ $\eta =0$ $[A,B]=0$ ${\displaystyle f(x)=x^{3))$

Közvetlenül:

f(A+\eta B)=(A+\eta B)^{3}=A^{3}+\eta (A^{2}B+ABA+BA^{2})+\eta ^ {2}(AB^{2}+BAB+B^{2}A)+\eta ^{3}B^{3}

Taylor-kiterjesztés használata skalárfüggvényhez , és a skalárok mátrixokkal való helyettesítése a legvégén: $f(a+\eta b)$

f(a+\eta b)=f(a)+f'(a){\frac {\eta b}{1!))+f''(a){\frac {(\eta b) ^{2}}{2!}}+f'''(a){\frac {(\eta b)^{3}}{3!}}=a^{3}+3a^{2}( \eta b)+3a(\eta b)^{2}+(\eta b)^{3}\A^{3}+3A^{2}(\eta B)+3A(\eta B) ^{2}+(\eta B)^{3}

A skaláris kifejezés kommutativitást jelent , de a mátrixkifejezés nem, ezért nem lehet őket egyenlővé tenni, hacsak nem teljesül a feltétel . Néhány f(x) esetén ugyanazt lehet csinálni, mint a skalár Taylor sorozatnál. Például : ha létezik , akkor . Akkor $[A,B]=0$ $f(x)={\frac {1}{x}}$ $A^{{-1}}$ $f(A+\eta B)=f(E+\eta A^{-1}B)f(A)$

f(E+\eta A^{-1}B)=E-\eta A^{-1}B+(-\eta A^{-1}B)^{2}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }(-\eta A^{-1}B)^{n}

Ahhoz, hogy ez a hatványsor konvergáljon, a megfelelő mátrixnormának kellően kicsinek kell lennie. Általános esetben, amikor egy függvényt nem lehet úgy átírni, hogy két mátrix kommunikáljon, a Leibniz-szabály alkalmazásakor figyelembe kell venni a mátrixszorzás sorrendjét . $\Vert \eta A^{-1}B\Vert$

Példák

Algebrai Riccati-egyenlet
Mátrix polinom
Mátrix gyökér
Mátrix logaritmus
Mátrix kitevő

Mátrixfüggvények osztályai

Félig meghatározott mátrix rendezéseket használva ( egy pozitív félig határozott mátrix, és egy pozitív-definit mátrix), a skalárfüggvények egyes osztályai kiterjeszthetők a hermiti mátrixok függvényeire [1] . $X\preceq Y\Leftrightarrow YX$ $X\prec Y\Leftrightarrow YX$

Kezelői monotonitás

Egy függvényt monoton operátornak nevezünk, ha $f$

$0\prec A\preceq H\Rightarrow f(A)\preceq f(H)$ minden olyan önadjungált mátrixra , amelynek spektruma az f függvény tartományába tartozik . Ez a skaláris függvények monoton függvényének analógja. $A,H$

Kezelői konvexitás/konkavitás

Egy függvényt akkor és csak akkor nevezünk operátor-konkávnak $f$

\tau f(A)+(1-\tau )f(H)\preceq f\left(\tau A+(1-\tau )H\right)

minden olyan önadjungált mátrixra , amelynek spektruma az f függvény tartományában van, és -re . Ez a meghatározás hasonló a konkáv skaláris függvényekhez . Az operátor konvex függvénye az előző definícióban szereplővel helyettesíthető . $A,H$ $\tau \in [0,1]$ $\preceq$ $\succeq$

Példák

A mátrix logaritmus operátor-monoton és operátor-konkáv is. A mátrixnégyzet operátorkonvex. A mátrix kitevője nem tartozik a megadott osztályok egyikébe sem. Löwner tétele kimondja, hogy egy függvény egy nyitott intervallumon akkor és csak akkor monoton operátor, ha van analitikus folytatása a felső és alsó komplex félsíkra úgy, hogy a felső félsík önmagára van leképezve. [egy]

Lásd még

Sylvester formula
Mátrixszámítás
Egyenlőtlenségek nyomon követése

Jegyzetek

↑ 1 2 Bhatia, R. Mátrixelemzés (határozatlan) . - Springer, 1997. - V. 169. - (Matematika érettségi szövegek).

Irodalom

Higham, Nicholas J. (2008). Mátrixelmélet és számítási függvények . Philadelphia: Ipari és Alkalmazott Matematikai Társaság. ISBN 9780898717778.