A matematikai szofizmus (a görög σόφισμα szóból - trükk, ravasz találmány, rejtvény [1] ) egy hibás matematikai állítás, amelyet érveléssel nyernek, és amely helyesnek tűnik, de a valóságban egy-egy hibát tartalmaz [2] . A hiba okai sokfélék lehetnek - a matematikában tiltott műveletek használata (például nullával való osztás ), a matematikai törvények pontatlan használata vagy az alkalmazhatóság zónáján kívüli használat, logikai hibák stb.
A matematikai szofizmus a szofizmus speciális esete . A továbbiakban ebben a cikkben csak a matematikai szofizmusokról beszélünk , amelyeket a rövidség kedvéért egyszerűen szofizmáknak nevezünk. A szofizmusokat nem szabad összetéveszteni a tudományos paradoxonokkal (például Zénón aporiaival , születésnapi paradoxonnal vagy Banach-Tarski paradoxonnal ), amelyek nem tartalmaznak hibákat, és gyakran jelentős tudományos értékkel bírnak [2] .
A szofizmusok elemzése, a bennük lévő hibák keresése rendkívül értékes a matematika tanítása során [3] , segítik a tanulókat és a hallgatókat a matematikai és logikai törvényszerűségek egyértelmű megértésében, valamint figyelmeztetnek az alkalmazás esetleges tipikus hibáira. ezen törvények [2] [4] .
Proklosz Diadokhosz (Kr. u. 5. század) Eukleidész " elveihez" fűzött megjegyzéseiben azt mondta, hogy még Eukleidész is a Kr. e. 3. században. e. matematikai szofizmusok gyűjteményét állította össze, hogy segítse a geometriát tanulókat; a gyűjtemény " Pseudariya " nevet kapta, és a mai napig nem maradt fenn. A szofizmusok célja Proklosz szerint az, hogy megtanítsa a tanulókat az érvelési hibák felismerésére és a jövőbeni elkerülésére [4] .
A jövőben, egészen napjainkig az oktatási irodalom, valamint a szórakoztató matematikai gyűjtemények gyakran tartalmaznak szofizmusokat a „találd meg a hibát” feladattal, amelyek alapján matematikai szabályokat fejtenek ki, és ellenőrzik az olvasók tudását.
A szofizmusok csoportosítására számos lehetőség kínálkozik - egyes szerzők a matematikai témák típusa szerint csoportosítják őket, mások az érvelés hibáinak típusa szerint, mások pedig mindkét megközelítést valamilyen formában kombinálják.
V. I. Obreimov orosz tanár javasolta a szofizmusok felosztását a hibás eredmény típusa szerint [5] :
Ezt az osztályozást azért bírálták, mert az anyag a matematika különböző részeit fogja össze ugyanarra a hibára, ami módszertanilag hibás, ráadásul az osztályozási jellemzők sem elég jelentősek [6] .
A német matematikus , Hermann Schubert négyféle szofizmust vizsgált ("Mathematical Entertainment and Games", 1897) [6] :
V. M. Bradis és mások könyve megjegyzi e lista nyilvánvaló hiányosságát, és felajánlja a sajátját [7] :
Bradis és mások könyvében a szofizmusok anyaga szigorúan téma szerint van bemutatva: aritmetika, algebra, geometria, trigonometria , közelítő számítások . Ez a cikk is betartja az anyag tematikus bontását, amely a legkényelmesebb a tanárok és a diákok számára.
Szophizmus . Legyenek tetszőleges számok. Különbségüket betűvel jelöljük , vagyis ezt az egyenlőséget megszorozzuk Nyissa ki a zárójeleket: Ezután a monomokat a következőképpen csoportosítjuk: vagy:
Azzal redukálva azt kapjuk , hogy minden szám egyenlő.
A nullával való osztás az egyik leggyakoribb algebrai hiba, és ez az osztás például a közös tényező csökkentésével leplezhető. Például az egyenletet redukálva elveszítjük a gyökeret . Egy másik szofizmus az egyenlet:
A redukálással nemcsak az egyenlet egyetlen gyökét veszítjük el, hanem az út során egy olyan plusz gyökérre is szert teszünk , amely nem szerepel az ismeretlen elfogadható értékeinek tartományában, mivel a radikális kifejezés negatívvá válik [9] .
EgyenlőtlenségekSzophizmus 1 . Legyenek tetszőleges pozitív számok, és ezt az egyenlőtlenséget megszorozva mindkét részéből kivonva a következőt kapjuk: Faktorozás:
-vel csökkentve (feltétel szerint nem egyenlő nullával), az egyenlőtlenséget kapjuk: Vonjuk ki mindkét részből az eredményt : Vagyis bármely pozitív szám egyben negatív is.
Szophizmus 1 . Helyes egyenlőség: így írható: A négyzetgyök kinyerésével a következőt kapjuk: honnan:
Szophizmus 2 . A középiskolában egy szám emelését nem csak egész számra, hanem tört hatványra is definiálják: Tekintsünk egy szofizmust, amely bizonyítja, hogy .
Szophizmus 3 . Óvatosan kell eljárni, amikor a trigonometrikus függvények értékét törthatványra emeljük . Nyilvánvalónak tűnik azonban, hogy ha hibás egyenlőséget kapunk: A fentiekben már kifejtettük, hogy egy szám négyzetének számtani gyöke egyenlő a szám abszolút értékével, így a helyes jelölés a következő [13] :
A probléma helytelen feltételeiSzophizmus 1 . Megoldjuk az egyenletet:
Ellenőrzés: az egyenletben az első gyök behelyettesítése egyenlőséget ad , a második behelyettesítése:
Szophizmus 2 . Oldjuk meg az egyenletet: ahol egy tetszőleges valós szám .
Az egyenlet mindkét oldalát megszorozva, majd hozzáadva az egyenletet a következő alakra alakítjuk: A kockagyök kinyerése után az egyenletet ahonnan kapjuk: azaz minden szám nullával egyenlő.
Szophizmus 1 . Vágjuk négy részre a háromszöget az ábra felső részén látható módon, majd ezekből a részekből alakítsunk ki egy új, azonos méretű háromszöget az ábra alsó részén látható módon. Az alkatrészek átrendezésétől a teljes terület egy cellával változik!
Ennek a szofizmusnak számos lehetősége van, amelyek közül az egyik az ábrán látható: a téglalap részeit egy területtel eltolva egy területtel rendelkező téglalapot kapunk . Az ok hasonló: egy lyuk, amelynek területe egy darab. cellát a második téglalap átlója mentén nyújtjuk.
Szophizmus 2 . Az előjelre fogunk hagyatkozni : két háromszög egyenlő, ha van két egyenlő oldala és az egyik szögük. Az ABC és ABC' háromszögeknek egyenlő a szöge és két oldala (egy közös oldal, ), ezért a háromszögek egyenlőek, ami ellentmond az ábra szerinti konstrukciónak (szögek és nem egyenlők 90°-kal, tehát a C és C' pontok nem egybeesik).
3. szofizmus : "minden háromszög egyenlő szárú" (gyakran Lewis Carrollnak tulajdonítják [18] ) [19] . Tekintsünk egy tetszőleges ABC háromszöget (lásd az ábrát). Az A szög felezője és a BC oldal felezőpontjának merőlegese egy O pontban metszi egymást. Hagyjuk az OR (AB oldalra) és OQ (AC oldalra) merőlegeseket az O pontból, és kössük össze az O-t a B és C csúcsokkal. ..
A RAO és QAO derékszögű háromszögek egybevágóak, mert ugyanaz az oldaluk (AO) és szögük (∠RAO = ∠QAO). A ROB és QOC derékszögű háromszögek is egyenlőek, mert két egyenlő oldaluk van: BO = OC és RO = OQ. De akkor AR = AQ, RB = QC, és AB = AR + RB = AQ + QC = AC oldal egyenlő szárú háromszög.
Szophizmus . Tekintsük a jól ismert trigonometrikus azonosságot : Bármely háromszögben a szögek összege tehát egyrészt azonosság szerint egyenlő, másrészt ennek következtében a szögek is egyenlőek: Levonva ezt az egyenlőséget az azonosságból: kapjuk: vagy Következtetés: bármely háromszög derékszögű .
Szophizmus . Bizonyítsuk be, hogy minden ló azonos színű. A bizonyíték a lovak számának indukciója. Amikor az állítás triviális. Legyen minden csorda ló azonos színű; bizonyítson egy lócsorda számára . Távolítsunk el egy lovat; az indukciós hipotézis szerint az összes többinek ugyanaz a színe. Visszavisszük a lovat a csordába, és veszünk egy másik lovat. Aztán kiderül, hogy a korábban leválasztott ló ugyanolyan színű.
Ennek a szellemes szofizmusnak van egy érdekes változata: bizonyítja azt az állítást, hogy minden egész szám egyenlő. Bizonyítsuk be indukcióval a természetes számok szakaszának hosszát . Amikor csak egy szám van a szegmensben, és az állítás igaz. Legyen igaz az állítás az első számokra, bizonyítsuk be Vegyünk két tetszőleges számot Az induktív feltételezéssel, de akkor ■ A hiba itt is hasonló az előzőhöz: 2 hosszúságú szegmens esetén az érték túlmutat az induktív feltevésen, a bizonyítás logikáját rombolja [23] .
Szophizmus 1 . A képzeletbeli egységet így határozzuk meg , de kiderül, hogy
Szophizmus 2 . Emeljük fel az ismert identitást a hatványra , a bal oldalon a jobb oldalon fog kiderülni , nyilván 1. Eredmény: ami, mint könnyen ellenőrizhető, rossz.
Szophizmus 1 . Határozzuk meg a kifejezés határát, amikor Ha először törekszünk, akkor a határérték (értéktől függetlenül ), ha pedig onnan indulunk ki, akkor a határérték: Kiderül, hogy bármely szám egyenlő az inverzével.
Szophizmus 1 . Tekintsünk egy végtelen sorozatot a természetes logaritmushoz , amelyet a Mercator sorozatból kapunk
Csoportosítsuk az azonos előjelű kifejezéseket:
Az első két zárójelet kombinálva, és a harmadik zárójelbe 2-es tényezőt adunk, két azonos érték különbségét kapjuk, azaz nullát, bár ez nem egyenlő nullával:
Szophizmus . Két identitást integrálunk:
Eredmények:
Az első egyenletből a másodikat kivonva a következőt kapjuk:
míg a jobbnak 1-nek kell lennie.
Szophizmus 1 . Keressük meg egy pozitív függvény integrálját a Newton-Leibniz képlet segítségével :
Egy pozitív függvény integrálja negatívnak bizonyult ("D'Alembert paradoxona", 1768) [28] .
Szophizmus 2 . Keressük meg egy pozitív függvény integrálját a változó módszerrel :
Vezessünk be egy új változót ; az integráció szegmense a következő szegmensébe kerül :
Helyes válasz:Néhány további példa szofizmusokra és paradox következtetésekre, amelyek élénk vitát váltottak ki a tudományos közösségben: