Skolem paradoxona

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2019. február 12-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

Skolem paradoxona egy ellentmondásos érvelés, amelyet először Turalf Skolem norvég matematikus írt le, és a Löwenheim-Skolem tétel axiomatikus halmazelméletben való használatához kapcsolódik .

Ellentétben Russell paradoxonával , Cantor paradoxonával , Burali-Forti paradoxonával , ahol logikailag helyes következtetések segítségével a kezdeti premisszákba „álcázott” ellentmondás derül ki, Skolem paradoxonának „ellentmondása” egy hibából fakad. érvelés, és a probléma alapos mérlegelése azt mutatja, hogy ez csak képzeletbeli paradoxon . Mindazonáltal Skolem paradoxonának figyelembevétele nagy didaktikai értékű.

Megfogalmazás

Ha bármely axiomatikus halmazelmélet axiómarendszere konzisztens, akkor a Gödel- és a Löwenheim-Skolem-tétel alapján van modellje , ráadásul ez a modell természetes számokra is építhető . Ez azt jelenti, hogy csak egy megszámlálható objektumkészletre van szükség (mindegyik egy egyedi halmaznak felel meg ) ahhoz, hogy minden objektumpárhoz olyan predikátumértéket válasszunk , amely teljes mértékben kielégíti ezen elmélet axiómáit (például, vagy - feltételezve, konzisztencia , lásd a halmazelmélet axiomatikáját ). Ilyen helyzetben a modell minden objektumához csak véges vagy megszámlálható számú objektum (egyszerűen nincs több a tárgykörben) szerepelhet a relációban . Egy ilyen modellt számlálóval rögzítünk tárgyterületként. $M$ $x\in y$ $\mathrm {ZF}$ $\mathrm {ZFC}$ $y$ $\ldots \in y$ ${\mathfrak {M}}$ $M$

A tételek alapján a benne elfogadott modelltől függetlenül levezethető például egy olyan tag létezése, amelynek számossága megszámlálhatatlan. De egy megszámlálható modellben minden halmaz nem lehet több, mint megszámlálható – ez ellentmondás? $\mathrm {ZF}$ $\mathrm {ZF}$ ${\mathcal {P}}(\omega )$

Felbontás

Óvatosan beszéljük meg. A tény azt jelenti, hogy van egy olyan objektum , amelyre a kifejezésnek megfelelő elsőrendű képlet igaz abban a modellben , amely a kiértékelésen szerepel, amelyben az egyedi változó az objektumhoz van társítva . Cantor tétele kimondja, hogy ez megszámlálhatatlan, ami definíció szerint azt jelenti $\mathrm {ZF} \vdash \exists x(x={\mathcal {P}}(\omega ))$ $c\in M$ $x={\mathcal {P}}(\omega )$ ${\mathfrak {M}}$ $x$ $c$ $x$

\mathrm {ZF} \vdash \neg \exists f(f

— bijekció és — bijekció és között

{\mathcal {P}}(\omega )

\omega )\land \exists f(f

\omega

\omega \cup {\omega }),

ahol a " bijekció és között " azt jelenti , ahol a rendezett párok bármilyen kódolása , például . $f$ $A$ $B$ $\forall x\forall y(\langle x,\;y\rangle \in f\Leftrightarrow (x\in A\land y\in B))$ $\langle x,\;y\rangle$ ${\displaystyle \langle x,\;y\rangle =\{x,\;y,\;\{x\}\))$

De ez csak azt jelenti, hogy az elemek $M$ között nincs olyan , amely a modellben kielégítené a és közötti bijekció tulajdonságait . Ugyanakkor nem fontos, hogy a tagsági reláció egy kifejezésnek megfelelő objektummal legfeljebb megszámlálható számú objektumot tartalmazzon - a fontos, hogy az objektumok között nincs olyan, amely megvalósítja a szükséges bijekciót. . $f$ ${\mathfrak {M}}$ ${\mathcal {P}}(\omega )$ $\omega$ $M$ ${\mathcal {P}}(\omega )$ $M$ $M$ $f$

A „ha a modell megszámlálható, akkor legfeljebb megszámlálható számú objektum léphet kapcsolatba bármely tárggyal” érvelés a vizsgált axiomatikus elméleten kívüli érvelés , és nem felel meg ebben az elméletben egyetlen képletnek sem. Az elmélet külső szemszögéből nézve „az összes halmaz halmaza ” (másodszor a „halmaz” szó itt csak a tárgyterület valamely tárgyát jelenti ) létezhet, sőt megszámlálható is, ami semmilyen módon nem függ össze (és ezért nem mond ellent) a levezetett képletekkel. $\ban ben$ $\mathrm {ZF}$ $\mathrm {ZF}$ $\mathrm {ZF}$

Irodalom

Kolmogorov A. N. , Dragalin A. G. Matematikai logika. — M.: URSS, 2005. — 240 p.
Frenkel A. A. , Bar-Hillel I. A halmazelmélet alapjai. — M.: Mir, 1966. — 556 p.