Matematikai szofizmus

A matematikai szofizmus (a görög σόφισμα szóból - trükk, ravasz találmány, rejtvény [1] ) egy hibás matematikai állítás, amelyet érveléssel nyernek, és amely helyesnek tűnik, de a valóságban egy-egy hibát tartalmaz [2] . A hiba okai sokfélék lehetnek - a matematikában tiltott műveletek használata (például nullával való osztás ), a matematikai törvények pontatlan használata vagy az alkalmazhatóság zónáján kívüli használat, logikai hibák stb.

A matematikai szofizmus a szofizmus speciális esete . A továbbiakban ebben a cikkben csak a matematikai szofizmusokról beszélünk , amelyeket a rövidség kedvéért egyszerűen szofizmáknak nevezünk. A szofizmusokat nem szabad összetéveszteni a tudományos paradoxonokkal (például Zénón aporiaival , születésnapi paradoxonnal vagy Banach-Tarski paradoxonnal ), amelyek nem tartalmaznak hibákat, és gyakran jelentős tudományos értékkel bírnak [2] .

A szofizmusok elemzése, a bennük lévő hibák keresése rendkívül értékes a matematika tanítása során [3] , segítik a tanulókat és a hallgatókat a matematikai és logikai törvényszerűségek egyértelmű megértésében, valamint figyelmeztetnek az alkalmazás esetleges tipikus hibáira. ezen törvények [2] [4] .

Történelem

Proklosz Diadokhosz (Kr. u. 5. század) Eukleidész " elveihez" fűzött megjegyzéseiben azt mondta, hogy még Eukleidész is a Kr. e. 3. században. e. matematikai szofizmusok gyűjteményét állította össze, hogy segítse a geometriát tanulókat; a gyűjtemény " Pseudariya " nevet kapta, és a mai napig nem maradt fenn. A szofizmusok célja Proklosz szerint az, hogy megtanítsa a tanulókat az érvelési hibák felismerésére és a jövőbeni elkerülésére [4] .

A jövőben, egészen napjainkig az oktatási irodalom, valamint a szórakoztató matematikai gyűjtemények gyakran tartalmaznak szofizmusokat a „találd meg a hibát” feladattal, amelyek alapján matematikai szabályokat fejtenek ki, és ellenőrzik az olvasók tudását.

A szofizmusok osztályozása

A szofizmusok csoportosítására számos lehetőség kínálkozik - egyes szerzők a matematikai témák típusa szerint csoportosítják őket, mások az érvelés hibáinak típusa szerint, mások pedig mindkét megközelítést valamilyen formában kombinálják.

V. I. Obreimov orosz tanár javasolta a szofizmusok felosztását a hibás eredmény típusa szerint [5] :

Az egyenlőtlenek egyenlősége.
Az egyenlők egyenlőtlensége.
A kevesebb meghaladja a többet.
Geometriai inkonzisztenciák.
A képzeletbeli valóságos (tévedések a komplex számokkal kapcsolatos érvelésben ).
Megoldhatatlan egyenletek.

Ezt az osztályozást azért bírálták, mert az anyag a matematika különböző részeit fogja össze ugyanarra a hibára, ami módszertanilag hibás, ráadásul az osztályozási jellemzők sem elég jelentősek [6] .

A német matematikus , Hermann Schubert négyféle szofizmust vizsgált ("Mathematical Entertainment and Games", 1897) [6] :

Osztás nullával .
A négyzetgyök kétértelműsége .
Hibák a geometriai konstrukciókban.
Helytelen munka a végtelennel.

V. M. Bradis és mások könyve megjegyzi e lista nyilvánvaló hiányosságát, és felajánlja a sajátját [7] :

Helytelen beszéd.
Kiterjesztés kivételes esetekre (például nullával való osztás).
Egy adott faj tulajdonságainak hozzárendelése a teljes nemzetséghez. Például egy egyenlőtlenség mindkét oldala csökkenthető egy közös pozitív tényezővel, de ha a tényező negatív, akkor fontos megfordítani az egyenlőtlenség előjelét.
A konverziós azonnali következtetés elvének helytelen alkalmazása. Például a számok egyenlősége magában foglalja a négyzetek egyenlőségét, de ennek fordítottja nem igaz.
A pontos definíciók helyettesítése geometriai intuícióval.
építési hibák,
Egyes geometriai állítások rövidített (feltételes) megfogalmazásának szó szerinti értelmezéséből adódó hibák.
A feltételes rekordok jelentésének megsértése.
Szakdolgozatkijátszás , azaz az eredetileg megfogalmazotttól eltérő állítás bizonyítása.

Bradis és mások könyvében a szofizmusok anyaga szigorúan téma szerint van bemutatva: aritmetika, algebra, geometria, trigonometria , közelítő számítások . Ez a cikk is betartja az anyag tematikus bontását, amely a legkényelmesebb a tanárok és a diákok számára.

Elemi matematika

Algebra

Osztás nullával

Szophizmus . Legyenek tetszőleges számok. Különbségüket betűvel jelöljük , vagyis ezt az egyenlőséget megszorozzuk Nyissa ki a zárójeleket: Ezután a monomokat a következőképpen csoportosítjuk: vagy: $a,b$ $c,$ $ab=c.$ $ab\colon \quad (ab)^{2}=c(ab).$ $a^{2}-2ab+b^{2}=ca-cb.$ $a^{2}-ab-ac=ab-b^{2}-bc,$

a(abc)=b(abc).

Azzal redukálva azt kapjuk , hogy minden szám egyenlő. $abc,$ $a=b,$

A hiba oka : mivel nincs jogunk csökkenteni vele, mert ez a kifejezés egyenlő nullával, és lehetetlen nullával redukálni (vagyis osztani) [8] . $ab=c,$ $abc,$

A nullával való osztás az egyik leggyakoribb algebrai hiba, és ez az osztás például a közös tényező csökkentésével leplezhető. Például az egyenletet redukálva elveszítjük a gyökeret . Egy másik szofizmus az egyenlet: $9x^{2}=x$ $x,$ $x=0.$

{\sqrt {x-5}}\cdot x=4{\sqrt {x-5}}.

A redukálással nemcsak az egyenlet egyetlen gyökét veszítjük el, hanem az út során egy olyan plusz gyökérre is szert teszünk , amely nem szerepel az ismeretlen elfogadható értékeinek tartományában, mivel a radikális kifejezés negatívvá válik [9] . ${\sqrt {x-5)),$ $x=5,$ $x=4,$ $x=4$

Egyenlőtlenségek

Szophizmus 1 . Legyenek tetszőleges pozitív számok, és ezt az egyenlőtlenséget megszorozva mindkét részéből kivonva a következőt kapjuk: Faktorozás: $a,b$ $a>b.$ $b$ $a^{2},$ $ab-a^{2}>b^{2}-a^{2}.$

a(ba)>(b+a)(ba)

-vel csökkentve (feltétel szerint nem egyenlő nullával), az egyenlőtlenséget kapjuk: Vonjuk ki mindkét részből az eredményt : Vagyis bármely pozitív szám egyben negatív is. $ba$ $a>b+a.$ $a,$ $0>b.$ $b$

A hiba oka : az egyenlőtlenség mindkét része csökkenthető egy közös, nem nulla tényezővel, de ha ez a tényező negatív, akkor az egyenlőtlenség előjelét meg kell fordítani. Pontosan ez a helyzet, hiszen a redukció után azt kapjuk: a hiba megszűnt [10] . $ba<0.$ $a<b+a,$

A gyökér kibontása

Szophizmus 1 . Helyes egyenlőség: így írható: A négyzetgyök kinyerésével a következőt kapjuk: honnan: $1-3+{\frac {9}{4}}=4-6+{\frac {9}{4}}$ $\left(1-{\frac {3}{2}}\right)^{2}=\left(2-{\frac {3}{2}}\right)^{2}.$ $1-{\frac {3}{2}}=2-{\frac {3}{2)),$ $1=2.$

A hiba oka : a mennyiségek négyzeteinek egyenlőségéből csak akkor következik maguknak a mennyiségeknek az egyenlősége, ha azonos előjelűek. A gyökér helyes kinyerése abszolút értékű eredményt ad : , és ekkor a hiba nem következik be [11] . $\left|1-{\frac {3}{2}}\right|=\left|2-{\frac {3}{2}}\right|,$

Szophizmus 2 . A középiskolában egy szám emelését nem csak egész számra, hanem tört hatványra is definiálják: Tekintsünk egy szofizmust, amely bizonyítja, hogy . $a^{m/n}=({\sqrt[{n}]{a)))^{m}.$ $-1=1$

-1=(-1)^{\frac {2}{2}}=(-1)^{2\ \cdot \ {\frac {1}{2}}}=\left({( -1)^{2}}\jobbra)^{\frac {1}{2}}=1^{\frac {1}{2}}={\szín {kék}{\sqrt {\szín {fekete }1}}}=1

A hiba oka : a törthatványra emelés csak nem negatív számokra van definiálva [12] .

Szophizmus 3 . Óvatosan kell eljárni, amikor a trigonometrikus függvények értékét törthatványra emeljük . Nyilvánvalónak tűnik azonban, hogy ha hibás egyenlőséget kapunk: A fentiekben már kifejtettük, hogy egy szám négyzetének számtani gyöke egyenlő a szám abszolút értékével, így a helyes jelölés a következő [13] : $(\cos ^{2}x)^{3/2}=\cos ^{3}x,$ $x=\pi$ $1^{3/2}=-1.$ $(\cos ^{2}x)^{3/2}=|\cos x|^{3}.$

A probléma helytelen feltételei

Szophizmus 1 . Megoldjuk az egyenletet: $3{\sqrt {x}}+x+2=0.$

3{\sqrt {x}}=-(x+2);\quad 9x=x^{2}+4x+4;\quad x^{2}-5x+4=0

x_{1}=4;\quad x_{2}=1

Ellenőrzés: az egyenletben az első gyök behelyettesítése egyenlőséget ad , a második behelyettesítése: $12=0,$ $6=0.$

Hiba oka : Az eredeti egyenletnek nincs megoldása. Ez abból látszik, hogy a bal oldal szigorúan nagyobb, mint nulla , mivel a gyökér alatt van). Négyzetesítéskor két idegen gyökér jelent meg, de a csekk elutasította őket [14] . $(x\geqslant 0,$

Szophizmus 2 . Oldjuk meg az egyenletet: ahol egy tetszőleges valós szám . $x^{2}-ax=-{\frac {1}{3}}a^{2},$ $a$

Az egyenlet mindkét oldalát megszorozva, majd hozzáadva az egyenletet a következő alakra alakítjuk: A kockagyök kinyerése után az egyenletet ahonnan kapjuk: azaz minden szám nullával egyenlő. $(-3a)$ $x^{3}-a^{3},$ $(xa)^{3}=x^{3}.$ $xa=x,$ $a=0,$

A hiba oka : az ismeretlent valós számként kezeltük , azonban, mint jól látható, az eredeti egyenletnek nincs valós gyöke (kivéve az esetet ), mert diszkriminatív Ha az egyenletet a komplex rendszerben tekintjük számok , akkor a köbgyökök kinyerése előtti összes érvelés helyes, de a komplex kockagyöknek három értéke van, így a kockák egyenlősége nem jelenti maguknak a mennyiségeknek az egyenlőségét [15] . $x$ $a=0$ $D=-a^{2}/3\leqslant 0.$

Geometria

Szophizmus 1 . Vágjuk négy részre a háromszöget az ábra felső részén látható módon, majd ezekből a részekből alakítsunk ki egy új, azonos méretű háromszöget az ábra alsó részén látható módon. Az alkatrészek átrendezésétől a teljes terület egy cellával változik!

A hiba oka : a háromszög befogójának tűnő egyenes valójában szaggatott vonal, vagyis a szóban forgó ábra nem háromszög, hanem négyszög . Ez könnyen levezethető abból, hogy a piros háromszögben a lábak aránya 3:8, a kékben pedig 2:5, ami valamivel nagyobb. Ez azt jelenti, hogy a felső ábra szaggatott vonala enyhén homorú, az alsóé enyhén domború, és a területkülönbség csak „extra” cellát ad [16] .

Ennek a szofizmusnak számos lehetősége van, amelyek közül az egyik az ábrán látható: a téglalap részeit egy területtel eltolva egy területtel rendelkező téglalapot kapunk . Az ok hasonló: egy lyuk, amelynek területe egy darab. cellát a második téglalap átlója mentén nyújtjuk. $24\cdot 9=216,$ $31\cdot 7=217.$

Szophizmus 2 . Az előjelre fogunk hagyatkozni : két háromszög egyenlő, ha van két egyenlő oldala és az egyik szögük. Az ABC és ABC' háromszögeknek egyenlő a szöge és két oldala (egy közös oldal, ), ezért a háromszögek egyenlőek, ami ellentmond az ábra szerinti konstrukciónak (szögek és nem egyenlők 90°-kal, tehát a C és C' pontok nem egybeesik). $\beta$ $c$ $b=b'$ $\gamma$ $\gamma$

A hiba oka : a háromszögek egyenlőségének kritériumának hanyag és ezért hibás megfogalmazása, helyesen: " két háromszög egyenlő, ha két egyenlő oldala van és a köztük lévő szög ." Valójában ez a szofizmus egy hibás előjel meggyőző cáfolatának tekinthető [17] .

3. szofizmus : "minden háromszög egyenlő szárú" (gyakran Lewis Carrollnak tulajdonítják [18] ) [19] . Tekintsünk egy tetszőleges ABC háromszöget (lásd az ábrát). Az A szög felezője és a BC oldal felezőpontjának merőlegese egy O pontban metszi egymást. Hagyjuk az OR (AB oldalra) és OQ (AC oldalra) merőlegeseket az O pontból, és kössük össze az O-t a B és C csúcsokkal. ..

A RAO és QAO derékszögű háromszögek egybevágóak, mert ugyanaz az oldaluk (AO) és szögük (∠RAO = ∠QAO). A ROB és QOC derékszögű háromszögek is egyenlőek, mert két egyenlő oldaluk van: BO = OC és RO = OQ. De akkor AR = AQ, RB = QC, és AB = AR + RB = AQ + QC = AC oldal egyenlő szárú háromszög.

A hiba oka : szándékosan torzított rajz. Ha óvatosan csináljuk, akkor az O pont nem a háromszög belsejében, hanem kívül lesz (a háromszög körüli körülírt körön ). Ebben az esetben az egyik R és Q pont a háromszög oldalán van, a másik pedig a másik oldal folytatásában: ha az oldal , akkor R belül van, Q kívül, ellenkező esetben fordítva. Az első esetben - mínusz plusz helyett; a második esetet hasonlóan elemzik [20] . $AB>AC$ $AB=AR+RB;AC=AQ-QC$

Trigonometria

Szophizmus . Tekintsük a jól ismert trigonometrikus azonosságot : Bármely háromszögben a szögek összege tehát egyrészt azonosság szerint egyenlő, másrészt ennek következtében a szögek is egyenlőek: Levonva ezt az egyenlőséget az azonosságból: kapjuk: vagy Következtetés: bármely háromszög derékszögű . $\sin(\pi -\alpha )=\sin \alpha .$ $\alpha +\beta +\gamma =\pi ,$ $\sin(\pi -(\alpha +\beta ))$ $\sin(\alpha +\beta )$ $\sin \gamma .$ $\alpha +\beta =\gamma .$ $\alpha +\beta +\gamma =\pi ,$ $2\gamma =\pi ,$ $\gamma =\pi /2.$

A hiba oka : az egyenlőség valóban létrejön bármely háromszögre, de a szögek egyenlősége nem következik belőle - ezt mutatja a képlet is . Bármely két szög, amely a szinuszhoz kiegészíti egymást, azonos [21] . $\sin(\alpha +\beta )=\sin \gamma$ $\sin(\pi -\alpha )=\sin \alpha .$ $\pi ,$

Bizonyítás indukcióval

Szophizmus . Bizonyítsuk be, hogy minden ló azonos színű. A bizonyíték a lovak számának indukciója. Amikor az állítás triviális. Legyen minden csorda ló azonos színű; bizonyítson egy lócsorda számára . Távolítsunk el egy lovat; az indukciós hipotézis szerint az összes többinek ugyanaz a színe. Visszavisszük a lovat a csordába, és veszünk egy másik lovat. Aztán kiderül, hogy a korábban leválasztott ló ugyanolyan színű. $N$ $N=1$ $N$ $N+1$

A hiba oka : a bizonyítás második része nem működik az átlépéskor (a ló elválasztásával végzett trükk ekkor semmit sem bizonyít) [22] . $N=1$ $N=2$

Ennek a szellemes szofizmusnak van egy érdekes változata: bizonyítja azt az állítást, hogy minden egész szám egyenlő. Bizonyítsuk be indukcióval a természetes számok szakaszának hosszát . Amikor csak egy szám van a szegmensben, és az állítás igaz. Legyen igaz az állítás az első számokra, bizonyítsuk be Vegyünk két tetszőleges számot Az induktív feltételezéssel, de akkor ■ A hiba itt is hasonló az előzőhöz: 2 hosszúságú szegmens esetén az érték túlmutat az induktív feltevésen, a bizonyítás logikáját rombolja [23] . $N$ ${\megjelenítési stílus 1,2,3,\pontok ,N}$ $N=1$ $N$ $N+1.$ $1\leqslant a,b\leqslant N+1.$ $a-1=b-1,$ $a=b$ $a=1,b=2$ $a-1$

Felsőfokú matematika

Komplex számok

Szophizmus 1 . A képzeletbeli egységet így határozzuk meg , de kiderül, hogy ${\sqrt {-1}),$ $i^{2}=-1.$ $i^{2}={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}={\sqrt {(-1)\cdot (-1)))={\sqrt {1 }}=1.$ $1=-1.$

A hiba oka : a komplex számok rendszerében óvatosan kell bánni a gyökökkel. A gyökjellel jelölt számtani gyök csak pozitív valós számokra van definiálva, a negatív számok összetett négyzetgyöke pedig kétértékű . Ezért az egyenlőséget a következővel kell helyettesíteni, és akkor nem történik hiba [24] . ${\sqrt {1}}=1$ ${\sqrt {1}}=\pm 1,$

Szophizmus 2 . Emeljük fel az ismert identitást a hatványra , a bal oldalon a jobb oldalon fog kiderülni , nyilván 1. Eredmény: ami, mint könnyen ellenőrizhető, rossz. $e^{2\pi i}=1$ $én.$ $e^{-2\pi },$ $e^{-2\pi }=1,$

Hiba oka : összetett hatványra emelés többértékű eredményt ad, ezért a szabály itt nem érvényes, az általános definíciót kell használni (lásd Komplex hatvány ); A komplex fokszám meghatározására szolgáló képletek gondos alkalmazása a bal és a jobb oldalon ad, innen látható, hogy a hiba gyökere a kifejezés értékeinek összekeveredése és ${\displaystyle \left(a^{b}\right)^{c}=a^{bc))$ $e^{-2\pi k};$ $k=0$ $k=1.$

A funkciók korlátai

Szophizmus 1 . Határozzuk meg a kifejezés határát, amikor Ha először törekszünk, akkor a határérték (értéktől függetlenül ), ha pedig onnan indulunk ki, akkor a határérték: Kiderül, hogy bármely szám egyenlő az inverzével. ${\frac {ax+y}{x+ay)),$ $x,y\to \infty .$ $x\to \infty ,$ $a$ $y$ $y,$ $1/a.$

A hiba oka : valójában a hiba csak a végső kimenetben van. A parciális határértékek sorrendjének permutációja általában megváltoztathatja az eredményt [25] .

Műveletek végtelen sorokkal

Szophizmus 1 . Tekintsünk egy végtelen sorozatot a természetes logaritmushoz , amelyet a Mercator sorozatból kapunk $\ln 2$ $x=1\colon$

\ln 2=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5 }}-{\frac {1}{6}}\pontok

Csoportosítsuk az azonos előjelű kifejezéseket:

\ln 2=\left(1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}\dots \right)-\left({\frac {1}{2 }}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}\dots \right)=\left(1+{\frac {1}{3}}+{\frac { 1}{5}}\pontok \jobbra)+\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}\pontok \ jobb)-2\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}\pontok \jobbra)

Az első két zárójelet kombinálva, és a harmadik zárójelbe 2-es tényezőt adunk, két azonos érték különbségét kapjuk, azaz nullát, bár ez nem egyenlő nullával: $\ln 2$

\ln 2=\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}\pontok \jobbra)- \left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}\dots \right)=0

A hiba oka : a sorozattagok minden átrendezése nem megengedett, csak abszolút konvergens sorozatokra érvényes . Különösen helytelen egy konvergens kezdeti sorozat két divergens sorozat különbségeként való ábrázolása. A sorozatot „ harmonikusnak ” nevezik , és eltér, bár csak a kifejezések előjeleiben tér el az eredetitől [26] . $1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+\ pont$

Integráció

Határozatlan integrál

Szophizmus . Két identitást integrálunk:

{\frac {d}{dx}}\sin ^{2}x=2\sin x\cos x;\quad {\frac {d}{dx}}\cos ^{2}x=- 2\sin x\cos x.

Eredmények:

\int {\sin x\cos xdx}={\frac {1}{2}}\sin ^{2}x;\quad \int {\sin x\cos xdx}=-{\frac { 1}{2}}\cos ^{2}x

Az első egyenletből a másodikat kivonva a következőt kapjuk:

\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=0,

míg a jobbnak 1-nek kell lennie.

A hiba oka : elfelejtették beépíteni az integrációs állandókat a határozatlan integrálok értékébe [27] :

\int {\sin x\cos xdx}={\frac {1}{2}}\sin ^{2}x+C_{1};\quad \int {\sin x\cos xdx}= -{\frac {1}{2}}\cos ^{2}x+C_{2}

Határozott integrál

Szophizmus 1 . Keressük meg egy pozitív függvény integrálját a Newton-Leibniz képlet segítségével :

\int \limits _{-1}^{1}{\frac {dx}{x^{2}}}=-{\frac {1}{x}}{\bigg |}_{- 1}^{1}=-1-1=-2.

Egy pozitív függvény integrálja negatívnak bizonyult ("D'Alembert paradoxona", 1768) [28] .

A hiba oka : az integrandus nem folytonos (és nem korlátozott) nullánál, ezért a Newton-Leibniz képlet nem alkalmazható rá.

Szophizmus 2 . Keressük meg egy pozitív függvény integrálját a változó módszerrel :

I=\int \limits _{-1}^{1}x^{2}dx

Vezessünk be egy új változót ; az integráció szegmense a következő szegmensébe kerül : $y=x^{2};dy=xdx$ $[-1;1]$ $x$ $[1;1]$ $y$

I=\int \limits _{1}^{1}{\sqrt {y}}dy=0.

Helyes válasz:

I={\frac {2}{3)).

A hiba oka : változó cseréjekor a régi és az új változóknak egy az egyhez megfelelésben kell lenniük , ellenkező esetben az inverz függvény nincs definiálva [29] ; a szofizmusban ezt a szabályt megsértik. $x=x(y)$

Egyéb szofisztika

Néhány további példa szofizmusokra és paradox következtetésekre, amelyek élénk vitát váltottak ki a tudományos közösségben:

Jegyzetek

↑ Szophizmus // Szovjet enciklopédikus szótár. - 2. kiadás - M . : Szovjet Enciklopédia, 1982. - S. 1241. - 1600 p.
↑ 1 2 3 Madera A. G., Madera D. A., 2003 , p. 3-4.
↑ Szergejeva L. V. A matematikai szofizmusok használata a matematika órákon . Letöltve: 2020. március 7. (Orosz)
↑ 1 2 Bradis et al., 1959 , p. 7-11.
↑ Obreimov, 1889 .
↑ 1 2 Bradis et al., 1959 , p. 11-14.
↑ Bradis et al., 1959 .
↑ Madera A. G., Madera D. A., 2003 , p. 9.
↑ Madera A. G., Madera D. A., 2003 , p. 65-66.
↑ Bradis et al., 1959 , p. 89-90.
↑ Madera A. G., Madera D. A., 2003 , p. 6.
↑ Mordkovich A. G. Algebra és az elemzés kezdete. Tankönyv 10-11. osztályosoknak 1. rész - szerk. 4. - M .: Mnemozina, 2003. - S. 253-255. — 376 p.
↑ Madera A. G., Madera D. A., 2003 , p. 16.
↑ Bradis et al., 1959 , p. 58.
↑ Madera A. G., Madera D. A., 2003 , p. 7-8, 66-67.
↑ Curry-háromszög paradoxona . Letöltve: 2019. augusztus 31. Az eredetiből archiválva : 2019. augusztus 31. (határozatlan)
↑ A háromszög két oldalra és a közöttük lévő szögtől eltérő szerkesztési problémájának elemzéséhez lásd a Háromszögek megoldása című cikket vagy a kézikönyvet: Vygodsky M. Ya. Handbook of elementary mathematics. - M . : Nauka, 1978. - S. 294.
↑ Valójában a szofizmus először a Ball WWR Mathematical Recreations and Essays (1892) könyvben jelent meg, ahonnan Carroll vette át.
↑ Robin Wilson (2008), Lewis Carroll in Numberland , Penguin Books, p. 169–170, ISBN 978-0-14-101610-8
↑ Madera A. G., Madera D. A., 2003 , p. 21-23., 81-82.
↑ Madera A. G., Madera D. A., 2003 , p. 45-46, 66-67.
↑ Poya, D. Matematika és hihető érvelés. - Szerk. 2., javítva. - M . : Nauka, 1975. - S. 140.
↑ Fedin S. N. A matematikusok is viccelnek . - 4. kiadás — M .: URSS , 2012. — S. 274. — 216 p. - ISBN 978-5-397-02435-8 .
↑ Bradis et al., 1959 , p. 81-82.
↑ Madera A. G., Madera D. A., 2003 , p. 17, 76.
↑ Madera A. G., Madera D. A., 2003 , p. 15, 73-75.
↑ Madera A. G., Madera D. A., 2003 , p. 39, 94.
↑ Markov S. N. Matematikatörténet Tanfolyam: Tankönyv . - Irkutszk: Irkutszki Egyetemi Kiadó, 1995. - 167. o . — 248 p. — ISBN 5-7430-0496-X .
↑ Schneider V. E. et al. Egy rövid kurzus a felsőbb matematikából. Proc. felsőoktatási intézmények támogatása . - M . : Felsőiskola, 1972. - 640 p.

Irodalom

Bradis V. M. Minkovsky V. L., Kharcheva A. K. Hibák a matematikai érvelésben. - 2. kiadás - M. : Uchpedgiz, 1959. - 177 p.
- 3. kiadás: M.: Felvilágosodás, 1967. - 191 p.
Gardner, Martin . Geometriai tévedések (6. fejezet) // Tic-Tac-Toe. — M .: Mir, 1988. — 325 p. — ISBN 5-03-001234-6 .
Gardner, Martin . Matematikai szofizmusok (13. fejezet) // Matematikai rejtvények és szórakozás. — M .: Mir, 1971. — 511 p.
Dvoryaninov SV Matematika és szofizmus tanítása // Matematikai oktatás. - 2007. - 1. szám (41).
Madera A. G. , Madera D. A. Matematikai szofizmusok. Hibás állításokhoz vezető hihető érvelés / Könyv 7-11. osztályos tanulóknak. - M . : Oktatás, 2003. - 112 p. — ISBN 5-09-010795-5 .
Nagibin F. F., Kanin E. S. Matematikai szofizmusok // Matematikai koporsó. Diáksegély. — 4. kiadás. - M . : Oktatás, 1984.
Obreimov V. I. Matematikai szofizmusok. - 2. kiadás - Szentpétervár. : F. Pavlenkov, 1889. - 79 p.
Perelman Ya. I. Kétszer kettő-öt! (Matematikai szofizmusok) . - L . : DZN, 1839. - 16 p.
Furre, Emil. Geometriai rejtvények és paralogizmusok . - Odessza: Mathesis, 1912. - 52 p.
Csomó, Bryan. Matematikai tévedések és paradoxonok . - Dover Publications, 1997. - 240 p. — (Dover Matematikai Könyvek). — ISBN 978-0486296647 .

Linkek

Klasszikus tévedések . Letöltve: 2020. március 28.