Görbület

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. június 16-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

A görbület számos olyan jellemző gyűjtőneve ( skalár , vektor , tenzor ), amelyek leírják az egyik vagy másik geometriai „objektum” ( görbe , felület , Riemann-tér stb.) eltérését a megfelelő „lapos” objektumoktól ( egyenes vonal ). , sík , euklideszi tér stb. ) stb.).

Általában a görbületet az "objektum" minden egyes pontjára definiálják, és valamilyen másodrendű differenciálkifejezés értékeként fejezik ki . Néha a görbületet integrált értelemben definiálják, például mértékként , az ilyen meghatározásokat csökkentett simaságú "objektumok" esetén használják. A görbületnek minden ponton azonos eltűnése általában a vizsgált „tárgy” és a „lapos” objektum lokális egybeesését jelenti.

Ez a cikk csak néhány egyszerű példát ad a görbület fogalmának meghatározására.

Egy görbe görbülete

Parametrikusan adott görbe görbülete

Legyen egy szabályos görbe a -dimenziós euklideszi térben , amelyet annak hossza határozza meg . Akkor $\gamma (s)$ $d$ $s$

\kappa =|{\dpont {\gamma }}(s)|

pontban a görbe görbületének nevezzük , itt a második deriváltot jelöli a -hoz képest . Vektor $\gamma$ $p=\gamma (s)$ ${\ddot {\gamma }}(s)$ $s$

k={\dpont {\gamma }}(s)

pontban görbületi vektornak nevezzük . $\gamma$ $p=\gamma (s)$

Nyilvánvaló, hogy ez a definíció átírható az érintővektorral : $\tau (s)={\pont {\gamma }}(s)$

k={\pont {\tau }}(s),

ahol a betű felett egy pont az s-hez viszonyított első származékot jelenti .

Parametrikusan adott görbe esetén általános esetben a görbületet a képlet fejezi ki

\kappa ={\frac {|\gamma '\times \gamma ''|}{|\gamma '|^{3}}}

ahol és jelöli a sugárvektor első és második deriváltját a kívánt pontban a paraméterhez képest (ebben az esetben egy háromdimenziós térbeli görbe esetén érthető a vektorszorzat , ha egy görbe két -dimenziós tér, a pszeudoszkaláris szorzat , és egy tetszőleges méretű térben lévő görbe esetén a külső szorzat ) . $\gamma$ $\gamma ''$ $\gamma$ $\szor$

Kapcsolódó fogalmak

A görbe görbületének reciproka ( ) görbületi sugárnak nevezzük ; a görbe adott pontjában egybeesik a szomszédos kör sugarával. Ennek a körnek a középpontját görbületi középpontnak nevezzük . Ha a görbe görbülete nulla, akkor az összefüggő kör egyenessé degenerálódik. $r=1/\kappa$

Görbék a síkban

A síkon lévő görbékhez van egy további képlet, amelyet olyan esetekben használnak, amikor a görbe nem parametrikusan van megadva, hanem egy egyenletet kielégítő pontok lokuszaként.

Legyen egy szabályos görbe az euklideszi síkon, amelynek koordinátáit egy kétszeres folytonosan differenciálható függvény egyenlete adja meg . Ekkor a görbületét egy pontban a következő képlettel számítjuk ki: [1] $\gamma$ $(x,y)$ $F(x,y)=0$ $F$ $(x,y)$

\kappa (x,y)={\frac {|F_{y}^{2}F_{xx}-2F_{x}F_{y}F_{xy}+F_{x}^{2} F_{yy}|}{\left(F_{x}^{2}+F_{y}^{2}\right)^{\frac {3}{2)))).

Különösen, ha a görbét az egyenlet adja , a görbületét a képlet számítja ki $y = f(x)$

\kappa (x)={\frac {|f''|}{({\sqrt {1+f'^{2}}})^{3}}}.

[2]

Ahhoz, hogy egy görbe egybeessen egy egyenes valamely szakaszával vagy a teljes egyenessel, szükséges és elegendő, hogy görbülete (vagy görbületi vektora) minden pontjában azonos legyen nullával. $\gamma$

Síkgörbe orientált görbülete

Ha a görbe ugyanabban a síkban van, akkor a görbületéhez előjel rendelhető. Az ilyen görbületet gyakran orientáltnak nevezik . Ezt a következőképpen lehet megtenni: ha a pont a növekvő paraméter irányába mozog, az érintővektor az óramutató járásával ellentétes irányban forog, akkor a görbületet pozitívnak, ha az óramutató járásával megegyező irányban, akkor negatívnak tekintjük. Az orientált görbületet a képlet fejezi ki

\kappa ={\frac {\gamma '\times \gamma ''}{|\gamma '|^{3))}={\frac {x'y''-x''y'}{ (x'^{2}+y'^{2})^{3/2}}}.

A görbület előjele a paraméterezés választásától függ, és nincs geometriai jelentése. A geometriai jelentés a görbület előjelének változása egy bizonyos ponton (az ún. inflexiós ponton ) való áthaladáskor vagy a jel megőrzése egy bizonyos területen (a görbe domborúságának jellege).

Mechanikai értelmezés

Intuitív módon a görbület a következő mechanikus értelmezéssel érthető meg

Tegyük fel , hogy egy anyagi pont sík görbe mentén mozog. Ekkor a gyorsulás normálkomponensének modulusa az $a$

a=\kappa \cdot v^{2},

ahol a görbe görbülete, a pont sebessége [3] . $\kappa$ $v$

Figyeljük meg, hogy a görbe görbületét fizikai mennyiségként használjuk , amelynek mérete a hosszegységhez képest fordított (az SI rendszerben 1/m).

Felületi görbület

Legyen szabályos felület a háromdimenziós euklideszi térben . $\Phi$

Legyen egy pont $p$ $\phi ,$

T_{p}

a pont érintősíkja

\Phi

p,

n

a mértékegység normális egy pontra

\Phi

p,

a egy sík, amely áthalad és valamilyen egységvektor be

\pi _{e}

n

e

T_p.

A sík és a felület metszéspontjaként kapott görbét a felület normál metszetének nevezzük egy adott irányban $\gamma_e,$ $\pi _{e}$ $\phi ,$ $\Phi$ $p$ $e.$

\kappa _{e}=k\cdot n

ahol a skaláris szorzatot jelöli , és a görbületi vektort a pontban , a felület normál görbületének nevezzük . Egy előjelig a normál görbület egyenlő a görbe görbületével . $\cdot$ $k$ $\gamma _{e}$ $p$ $\Phi$ $e$ $\gamma _{e}$

Az érintősíkban két merőleges irány van, és így a normál görbület tetszőleges irányban az úgynevezett Euler -képlettel ábrázolható : $T_{p}$ $e_{1}$ $e_{2}$

\kappa _{e}=\kappa _{1}\cos ^{2}\alpha +\kappa _{2}\sin ^{2}\alpha

hol van ezen irány és szög közötti szög , a az értékek és a normál görbületek az irányokban és , ezeket főgörbületeknek nevezzük , az irányokat pedig a felület fő irányai a pontban . A fő görbületek a normál görbületek szélső értékei. A normál görbületek szerkezete a felület egy adott pontjában kényelmesen ábrázolható grafikusan a Dupin- indikátor segítségével . $\alpha$ $e_{1}$ $\kappa_{1}$ $\kappa_{2}$ $e_{1}$ $e_{2}$ $e_{1}$ $e_{2}$ $p$

Érték

H=\kappa_{1}+\kappa_{2}

a felület átlagos görbületének nevezzük . [4] (Néha más definíciót használnak: . [5] [6] ) $H={\tfrac {\kappa _{1}+\kappa _{2}}{2}}$

Érték

K=\kappa_{1}\kappa_{2}

Gauss görbületnek vagy a felület teljes görbületének nevezik .

A Gauss-görbület a felületek belső geometriájának tárgya, különösen nem változik izometrikus hajlítások hatására.

Lásd még

Irodalom

Vilenkin, N. A görbületről , Kvant. - 1992. - 4. sz . - S. 2-9, 15 . (Orosz)
Gromov M. A görbület jele és geometriai jelentése. - Izhevsk: Kutatóközpont "Szabályos és kaotikus dinamika", 2000. - 128 p. — ISBN 5-93972-020-X .
Pogorelov A. V. Differenciálgeometria (6. kiadás). Moszkva: Nauka, 1974.
Rashevsky P. K. Differenciálgeometria tanfolyam (3. kiadás). M.-L.: GITTL, 1950.
Tabachnikov S. L. A görbületről // Kvant . - 1989. - 5. sz . - S. 15-21, 42 .

Jegyzetek

↑ Goldman, R. Görbületi képletek implicit görbékhez és felületekhez // Computer Aided Geometric Design. - 2005. - T. 22 , 7. sz . - S. 632-658 . - doi : 10.1016/j.cagd.2005.06.005 .
↑ Schneider V. E. et al. Egy rövid kurzus a felsőbb matematikából. Proc. juttatás az egyetemek számára. M.: "Magasabb. iskola" c. 368 . Letöltve: 2020. május 26. Az eredetiből archiválva : 2022. január 15. (határozatlan)
↑ Matematika, tartalma, módszerei és jelentése (három kötetben). - A Szovjetunió Tudományos Akadémia, 1956. - T. 2. - S. 111, 113. - 397 p.
↑ Mishchenko A. S., Fomenko A. T. Differenciálgeometria és topológia rövid kurzusa. — M.: FIZMATLIT, 2004.
↑ Toponogov, V. A. Görbék és felületek differenciálgeometriája . - Fizmatkniga, 2012. - ISBN 978-5-89155-213-5 .
↑ Csernavszkij A. V. Differenciálgeometria, 2. évf .

Szótárak és enciklopédiák	Britannica (online)
Bibliográfiai katalógusokban	GND : 4128765-4 J9U : 987007538479005171 LCCN : sh85034911 NDL : 00567236