Mérő invariancia

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. május 2-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A szelvény invarianciája a fizikai térelméleti előrejelzések változatlansága a (lokális) mérőtranszformációk tekintetében – olyan koordinátafüggő mezőtranszformációk, amelyek leírják a bázisok közötti átmenetet a mező belső szimmetriáinak terében.

Az invarianciát először a klasszikus elektrodinamikában állapították meg . A mező globális (koordinátától független) mérőváltozatlansága Noether tétele értelmében ennek a mezőnek a töltése megmaradásának törvényéhez vezet (különösen az elektrodinamika esetében az elektromos töltés megmaradásának törvényéhez ). A töltött mezők lokális (koordinátafüggő) szelvényinvarianciája az elmélet dinamikus egyenleteinek megőrzése érdekében új, ún. mérőmezők bevezetését teszi szükségessé.

A szelvényváltozatlanság követelménye az elemi részecskefizika egyik kulcsfontosságú előírása . A mérőváltozatlanság révén lehetséges az elektromágneses , gyenge és erős kölcsönhatások önkonzisztens leírása a Standard Modellben . Különösen az elektromágneses tér „megjelenik” néhány kvantumtérelméletben az elmélet Lagrange-féle lokális nyomtávú invarianciájának további követelménye mellett. Ezen elv szerint lehetséges a kvantumelektrodinamika (QED) Lagrange-rendszerének „levezetése” a Dirac-mező (elektron- vagy elektron-pozitron-mező) Lagrange-rendszeréből.

Szimmetria a fizikában
átalakítás	Megfelelő változatlanság	A megfelelő természetvédelmi törvény
↕ Adásidő _	Az idő egységessége	…energia
⊠ C , P , CP és T - szimmetriák	Idő izotrópia	... paritás
↔ Műsorszórási tér	A tér homogenitása	…impulzus
↺ A tér elforgatása	A tér izotrópiája	… lendület
⇆ Lorentz csoport (növeli)	Relativitáselmélet Lorentz-kovariancia	… a tömegközéppont mozgása
~ Mérő átalakítás	Mérő invariancia	... töltés

A klasszikus elektrodinamikában

Legyen a koordináták és az idő tetszőleges skalárfüggvénye . Majd ha a potenciálokat a következőképpen változtatjuk: $f=f(x,y,z,t)$

\varphi '=\varphi -{\frac {1}{c}}{\frac {\partial f}{\partial t)),\qquad \mathbf {A} '=\mathbf {A} + \nabla f,

ahol φ és A skaláris és vektorpotenciálok,

akkor a rendszer tényleges megfigyelt viselkedése nem változik.

Ez nyilvánvaló abból a tényből, hogy az elektromos és mágneses mező értéke egy ilyen transzformáció esetén változatlan marad. $\mathbf {E}$ $\mathbf {B}$

Egy komplex szám fázisfüggetlensége

Leegyszerűsítve, a mérőeszköz invarianciájának alapötlete a következőképpen magyarázható. A kvantummechanikában egy fizikai rendszert leíró fő jellemző , a hullámfüggvény egy komplex mennyiség . Azonban minden megfigyelhető mennyiség, amely hullámfüggvények bilineáris kombinációjaként épül fel, valóságosnak bizonyul (ahogy annak lennie kell - elvégre kézzelfogható világunkban minden mennyiség valóságos). Ennek eredményeként kiderül, hogy az elmélet előrejelzéseiben semmi sem fog változni, ha a hullámfüggvényeket megszorozzuk egy komplex számmal, amely abszolút értékű eggyel egyenlő . (Az adjungált függvényt rendre megszorozzuk a konjugált komplex számmal). Ez teljesen természetes: egy komplex szám fázisának abszolút értéke tetszőleges dolog, és nem befolyásolhatja az elmélet előrejelzéseit. $e^{{i\alpha}}$

Így a kvantummechanika invariáns a globális fázisforgatások , más néven globális mérőtranszformációk alatt .

A mérőműszer invarianciájának ötlete

A kvantummechanika invariáns a lokális fázisforgatások ( helyi mérőtranszformációk ) tekintetében? Más szóval, megváltozik-e bármi, ha a hullámfüggvényt az egyik pontban az egyik fázisba, a másik pontban a másikba forgatjuk? Igen, változni fog. Különösen nyilvánvaló, hogy a Schrödinger-egyenlet jobb oldala megváltozik, mégpedig szinte tetszőleges módon, és ezáltal a rendszer időbeli alakulása. Vagyis egy szabad részecske kvantummechanikája nem invariáns a lokális fázisforgatásokhoz képest. ${\displaystyle e^{i\alpha (\mathbf {x} )))$

Lehetséges-e helyreállítani az invarianciát? Igen tudsz. Ehhez azonban egy új fizikai mező bevezetése szükséges , amely "érzi" azt a belső teret, amelyben fázisforgatásokat hozunk létre. Ennek eredményeként a lokális fázisforgatások során mind a hullámfüggvények, mind az új mező átalakul, ráadásul úgy, hogy az egyenletekben ezen fázisforgatások miatti változások kompenzálják, „kalibrálják” egymást. Vagyis a kvantummechanika egy további új mezővel mérőinvariánssá vált.

Ha most tanulmányozzuk az új mező tulajdonságait, akkor az hasonlítani fog arra az elektromágneses térre , amelyet a mi világunkban észlelünk. Különösen ennek a mezőnek az anyaggal való kölcsönhatása éppen egybeesik az elektromágneses tér kölcsönhatásával. Ezért teljesen természetes, hogy ezt a két területet azonosítjuk az elmélet felépítése során.

Így a szelvényváltozatlanság követelménye váratlanul kényelmes módnak bizonyult arra, hogy az elektromágneses teret az elméletbe is bevezessék. Nem kellett külön foglalkozni vele, szinte „magától” jelent meg az elméletben.

Mérőmezők a szabványos modell alapjaként

G. Weil javasolta a gravitációs és elektromágneses terek első egyesített elméletét, amely a szelvény invarianciájának elgondolásán alapul . A szelvénymezők modern elmélete fejleszti és általánosítja elképzeléseit [1] egy bonyolultabb formájú szelvénytranszformációk alapján, amelyek felelősek az invarianciaért valamely bonyolultabb belső szabadságfok térben.

Például a színtérben a kvark forgások alatti invariancia ahhoz vezet, hogy az erős kölcsönhatások mérőmezőkként is leírhatók. A gyenge kölcsönhatások nem írhatók le külön-külön mérőkölcsönhatásként, de van egy váratlanul elegáns módszer az elektromágneses és a gyenge kölcsönhatások egyidejű leírására, mint egy bizonyos mérőműszeres elektrogyenge tér két különböző megjelenési formájaként.

Így minden alapvető kölcsönhatás a mérőváltozatlanság alapján jön létre. A fizikai elmélet felépítése szempontjából ez egy rendkívül gazdaságos és sikeres séma.

A gravitációs kölcsönhatás eltér egymástól. Kiderül, hogy ez is egy mérőmező, és az általános relativitáselmélet pontosan a gravitációs kölcsönhatás mérőszámelmélete. Ez azonban egyrészt nem kvantumszinten van megfogalmazva, és még mindig nem világos, hogyan kell pontosan kvantálni, másrészt a tér, amelyben a forgások végbemennek, a mi négydimenziós téridőnk , és nem a belső tér. interakciós szimmetria tere.

Történelem

A legkorábbi mérőszimmetriával rendelkező térelmélet Maxwell klasszikus elektrodinamikai megfogalmazása volt 1864-1865-ben, amely kijelentette, hogy bármely vektormező, amelynek rotorja eltűnik, nem változik, ha hozzáadjuk a függvény gradiensét , vagyis ilyen összeadás esetén. a vektorpotenciálra nem változtatja meg a mágneses teret [2] . Ennek a szimmetriának a jelentősége a legkorábbi megfogalmazásokban észrevétlen maradt. Hasonlóképpen, csendesen Hilbert levezette az Einstein-mezőegyenleteket úgy, hogy a cselekvés invarianciáját általános koordináta-transzformáció alatt feltételezte. Később Hermann Weyl , az általános relativitáselmélet és az elektromágnesesség egyesítésére tett kísérletként azt javasolta, hogy az átskálázás alatti invariancia ( vagy "mérőeszköz") az általános relativitáselmélet lokális szimmetriája is [3] . A kvantummechanika kifejlesztése után Weil, Vladimir Fock és Fritz London módosította a mérőeszközt úgy, hogy a léptéktényezőt komplex mennyiségre cserélte, és a skálatranszformációt fázisváltássá változtatta – ez az U(1) mérőszimmetria. Ez megmagyarázta az elektromágneses tér hatását egy töltött alapvető részecske hullámfüggvényére . Ez volt az első széles körben elfogadott nyomtávelmélet, amelyet Pauli 1941-ben népszerűsített [4] .

1954-ben, a részecskefizika nagy zűrzavarának feloldása érdekében Zhenning Yang és Robert Mills bemutatta a nem-abeli mérőelméletet, mint modellt a nukleonokat az atommagokban összetartó erős erő megértéséhez [5] . ( Abdus Salam irányítása alatt dolgozó Ronald Shaw önállóan vezette be a fogalmat doktori disszertációjában.) Az elektromágnesesség mérőváltozatlanságát általánosítva megkíséreltek egy elméletet felépíteni az SU(2) (nem Abel-féle) szimmetriacsoport működésére alapozva. a protonok és neutronok izospin dublettje . Ez hasonló az U(1) csoportnak a kvantumelektrodinamika spinormezőire gyakorolt hatásához . A részecskefizikában a hangsúlyt a kvantált mérőszám elméletek használatára helyezték.

Később ez az ötlet alkalmazásra talált a gyenge kölcsönhatás kvantumtérelméletében , illetve az elektromágnesességgel való kombinálása az elektrogyenge kölcsönhatás elméletében. A mérőelméletek még vonzóbbá váltak, amikor kiderült, hogy a nem-abeli mérőelméletek az aszimptotikus szabadságnak nevezett tulajdonságot reprodukálják , amelyet az erős kölcsönhatások fontos jellemzőjének tartottak. Ez késztette az erős kölcsönhatás mérőelméletének keresését. Ez az elmélet, amelyet ma kvantumkromodinamika néven ismernek , egy mérőelmélet , amely az SU(3) csoportnak a kvark színhármasán történő hatását mutatja be . A Standard Modell az elektromágnesesség, a gyenge kölcsönhatások és az erős kölcsönhatások leírását egyesíti a mérőműszer elmélet nyelvén.

Az 1970-es években Michael Atiyah elkezdte tanulmányozni a klasszikus Yang-Mills egyenletek megoldásainak matematikáját . 1983-ban Atiyah tanítványa , Simon Donaldson erre a munkára támaszkodva kimutatta, hogy a sima 4 -es sokaságok differenciálható osztályozása nagyon különbözik a homeomorfizmusig [ 6] . Michael Friedman Donaldson munkája segítségével egzotikus struktúrákat mutatott be az R 4 -ben, azaz egzotikus, differenciálható struktúrákat az euklideszi 4-térben. Ez a mérőműszer-elmélet iránti növekvő érdeklődéshez vezetett, függetlenül az alapvető fizika fejlődésétől. 1994-ben Edward Witten és Nathan Seiberg szuperszimmetrián alapuló mérőelméleti módszereket találtak fel , amelyek lehetővé tették néhány topológiai invariáns kiszámítását [7] [7] ( Seiberg-Witten invariánsok ). A mérőműszer-elméletnek a matematikához való hozzájárulása új érdeklődést váltott ki a terület iránt.

A mérőeszköz elméletek jelentőségét a fizikában szemlélteti a matematikai formalizmus óriási sikere abban, hogy egységes keretet biztosítson a kvantumtérelméletek leírásához : elektromágnesesség , gyenge kölcsönhatás és erős kölcsönhatás . Ez a Standard Modellként ismert elmélet pontosan leírja a kísérleti előrejelzéseket a négy alapvető természeti erő közül háromra vonatkozóan, és SU(3) × SU(2) × U(1) mérőszámcsoporttal rendelkező mérőelmélet . Az olyan modern elméletek, mint a húrelmélet , valamint az általános relativitáselmélet , ilyen vagy úgy mérőelméletek.

Lásd Pickering [8] a mérő- és kvantumtérelméletek történetével kapcsolatos további információkért.

Globális szelvény szimmetria U(1)

Noether tétele szerint a cselekvés invarianciája valamilyen folytonos szimmetriaművelethez (csoporthoz) képest a megfelelő megmaradási törvényhez vezet [9] . Az a fordított állítás is igaz, hogy minden megőrzött mennyiségnek megvan a maga szimmetriája, ami az elektromos töltés megmaradásának példáján [10] figyelhető meg . Legyen két valós szabad skalármezőből álló rendszer Lagrange-ja, és legyen megadva a [11] alakban. $\phi _{1}$ $\phi _{2}$

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\phi _{1})(\partial ^{\mu }\phi _{1} )-{\frac {1}{2}}m^{2}\phi _{1}^{2}+{\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\phi _{ 2})(\partial ^{\mu }\phi _{2})-{\frac {1}{2}}m^{2}\phi _{2}^{2}\,,

( 1.1 )

akkor formálisan tekinthetjük ezt a két mezőt egy kétdimenziós izotóp térben egységvektorokkal a formában $({\vec {i)),{\vec {j)))$

{\vec {\phi }}=\phi _{1}{\vec {i}}+\phi _{2}{\vec {j}}\,.

( 1.2 )

Ez az ábrázolás lehetővé teszi a szelvénytranszformáció geometriai jelentésének feltárását. Ebben az esetben a Lagrange (1.1) egyszerű formát ölt

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }{\vec {\phi }})(\partial ^{\mu }{\vec { \phi )))-{\frac {1}{2}}m^{2}{\vec {\phi }}\cdot {\vec {\phi }}\,,

( 1.3 )

ami nem változik a szelvénytranszformációk hatására

{\begin{aligned}\phi _{1}^{'}&=\phi _{1}\cos \alpha +\phi _{2}\sin \alpha \,,\\\phi _ {2}^{'}&=-\phi _{1}\sin \alpha +\phi _{2}\cos \alpha \,.\end{aligned}}

( 1.4 )

Az izotópos térben egy szögben történő ilyen elforgatás a kétdimenziós O(2) ortogonális elforgatások csoportjának vagy a vele izomorf U(1) csoportnak az eleme, nem változtatja meg az (1.3) rendszer Lagrange-át [11]. . Ha ezeket a mezőket összetett mezőpárnak tekintjük, akkor a Lagrange -féle (1.1) [12] -ként írható fel. $\alpha$ $\phi =(\phi _{1}+i\phi _{2})/{\sqrt {2)),\,\phi ^{*}=(\phi _{1}-i\ phi _{2})/{\sqrt {2}}\,,$

{\mathcal {L}}=(\partial _{\mu }\phi )(\partial ^{\mu }\phi ^{*})-m^{2}\phi ^{*}\ phi\,,

( 1.5 )

és a szelvénytranszformáció összetett mezőkre válik

\phi _{1}^{'}+i\phi _{2}^{'}=e^{-i\alpha }(\phi _{1}+i\phi _{2}) ,\,\phi _{1}^{'}-i\phi _{2}^{'}=e^{i\alpha }(\phi _{1}-i\phi _{2})\ ,.

( 1.6 )

Ez a szimmetria globális jellegű, mivel nem befolyásolja a tér-idő koordinátákat [12] [10] .

Helyi nyomtáv szimmetria

Felmerül a kérdés, hogy lehet-e helyettesíteni a globális szimmetriát lokálisra, vagyis a téridő egy pontjától függően , de a Lagrange tulajdonságait megtartva. Kiderült, hogy a Lagrange megváltoztatja alakját a függvény további deriváltjainak jelenléte miatt [11] . Mindazonáltal lehetséges a Lagrange-t úgy megváltoztatni, hogy a helyi nyomtáv-átalakítások hatására megmaradjon. Ennek érdekében egy új vektormező kerül bevezetésre , amely kölcsönhatásba lép a Noether árammal. A Lagrange-hoz (1.5) való kiegészítésnek a formája van $\phi (x)\jobbra e^{-i\alpha (x)}\phi (x),\,\phi ^{*}(x)\jobbra e^{i\alpha (x)} \phi ^{*}(x)$ $\alpha(x)$ $A_{{\mu ))$

{\mathcal {L_{1))}=-ie(\phi ^{*}\partial ^{\mu }\phi -\phi \partial ^{\mu }\phi ^{*})A_ {\mu }\,,

( 1.7 )

ahol a dimenzió nélküli csatolási állandó [13] . Ez a Lagrange-féle változáshoz való hozzájárulás megjelenéséhez vezet az összes mező szorzatából, és hogy megszabaduljunk tőle, bevezetünk még egy kifejezést. $e$

{\mathcal {L_{2}}}=e^{2}A_{\mu }A^{\mu }\phi ^{*}\phi \,,

( 1.8 )

amely teljesen visszaállítja az új Lagrange-féle szelvény invarianciáját [13] . Mivel a bevezetett vektormezőnek is szabadon hozzá kell járulnia a Lagrange-hoz, egy 4-dimenziós mezőrotort vezetnek be a szabványos képlet szerint - ez az elektromágneses térerősség tenzor. Ha hozzáadjuk az (1.5) , (1.7) és (1.8) járulékokat a szabad vektormező Lagrange-függvényéhez , az eredmény a komplex skalármező elektrodinamikájának Lagrange-ja [14] : ${\mathcal {L}}+{\mathcal {L_{1}}}+{\mathcal {L_{2}}}\,$ $A_{{\mu ))$ $F_{{\mu \nu }}=\partial _{{\mu }}A_{{\nu }}-\partial _{{\nu }}A_{{\mu }}$ $\phi$

{\mathcal {L}}_{tot}=(\partial _{\mu }\phi )(\partial ^{\mu }\phi ^{*})-m^{2}\phi ^ {*}\phi -ie(\phi ^{*}\partial ^{\mu }\phi -\phi \partial ^{\mu }\phi ^{*})A_{\mu }+e^{2 }A_{\mu }A^{\mu }\phi ^{*}\phi -{\frac {1}{16\pi }}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }\, ,

( 1.9 )

ahol a tér elektromos töltésnek , a komplex tér pedig az ellenkező előjelű töltésnek felel meg.Az elektromágneses kölcsönhatás bevezetésének ezt a megközelítését Weil alkalmazta a XX. század 20-as éveiben [15] . $\phi$ $e,$ $\phi ^{*}$ $-e.$

Kiderült, hogy a mérőszimmetria az interakció formájával függ össze [15] . A szimmetria egyértelműen meghatározza a részecskekölcsönhatás dinamikáját is. A lokális nyomtávszimmetria koncepciója alkalmazható kvarkra, és elősegítheti az erős kölcsönhatások elméletének felépítését [10] .

Lásd még

Jegyzetek

↑ Uchiyama, 1986 , p. 174.
↑ Vizgin, 1985 , p. 261.
↑ Vizgin, 1985 , p. 265.
↑ Pauli, Wolfgang (1941). "Az elemi részecskék relativisztikus térelmélete". Fordulat. Mod. Phys . 13 (3): 203-32. Bibcode : 1941RvMP...13..203P . DOI : 10.1103/revmodphys.13.203 .
↑ Yang CN, Mills RL (1954). „Az izotóp-pörgés és az izotópmérő invarianciájának megőrzése”. Phys. Fordulat. 96 , 191-195. Bibcode : 1954PhRv...96..191Y . DOI : 10.1103/PhysRev.96.191 .
↑ Donaldson, Simon K. (1983). „Önkettős kapcsolatok és a sima 4 elosztók topológiája”. Bika. amer. Math. szoc. 8 (1): 81-83. DOI : 10.1090/S0273-0979-1983-15090-5 .
↑ 1 2 Seiberg, N. & Witten, E. (1994a), Elektromágneses kettősség, monopóluskondenzáció és bezártság az N=2 szuperszimmetrikus Yang-Mills elméletben , Nuclear Physics B. 426 (1): 19–52 . DOI 10.1016/0550-3213(94)90124-4 ; Erratum , Nuclear Physics B. 430 (2): 485-486, 1994 , DOI 10.1016/0550-3213(94)00449-8
↑ Pickering, A. Kvarkok építése. - University of Chicago Press , 1984. - ISBN 0-226-66799-5 .
↑ Sadovsky, 2003 , p. 24.
↑ 1 2 3 S. S. Gershtein. Mi a színtöltés, vagy milyen erők kötik meg a kvarkokat // Sorovsky oktatási folyóirat. - 2000. - 6. sz . - S. 78-84 .
↑ 1 2 3 Sadovsky, 2003 , p. 27.
↑ 1 2 Sadovsky, 2003 , p. 26.
↑ 1 2 Sadovsky, 2003 , p. 29.
↑ Sadovsky, 2003 , p. harminc.
↑ 1 2 Sadovsky, 2003 , p. 31.

Irodalom

Vizgin V.P. Egységes terepelméletek a XX. század első harmadában. - M. : Nauka, 1985. - 304 p.
Sadovsky MV Előadások a kvantumtérelméletről . - Izhevsk: Számítógépes Kutatóintézet, 2003. - 480 p. - ISBN 5-93972-241-5 .
Jackson JD és Okun LB A mérőműszer invarianciájának történelmi gyökerei // Rev. Mod. Fizikai.. - 2001. - T. 73 . - S. 663 . - doi : 10.1103/RevModPhys.73.663 . - arXiv : hep-ph/0012061 .
G. 't Hooft: Az elemi részecskék közötti erők mérésére vonatkozó elméletei , " Advances in the Physical Sciences ", 1981, 135. kötet, 1. szám. 3, 379. o. (a Scientific American cikkének fordítása , 1980. június, 242. kötet, 90. o.)
Konopleva N. P., Popov V. N. . Kalibrációs mezők. - M .: Atomizdat , 1972.
Slavnov AA, Faddeev LD Bevezetés a mérőmezők kvantumelméletébe. - 2. kiadás, átdolgozva. és további - M .: Nauka , 1988.
Sardanashvili G. A. A térelmélet modern módszerei. 1. Geometria és klasszikus területek. - M .: URSS , 1996. - ISBN 5-88417-087-4 .
Sardanashvili G. A. A térelmélet modern módszerei. 4. Geometria és kvantumterek. - M .: URSS , 2000. - ISBN 5-88417-221-4 .
Uchiyama R. Mire jutott a fizika. A relativitáselmélettől a mérőmezők elméletéig. - M . : Tudás, 1986. - 224 p.
Voloshin M. B. , Ter-Martirosyan K. A. Az elemi részecskék mérőkölcsönhatásának elmélete. — M .: Energoatomizdat, 1984. — 288 p.
Ivanenko D. D. (szerk.). Elemi részecskék és kompenzáló mezők. - M . : Mir, 1964. - 298 p.

Szótárak és enciklopédiák	Britannica (online)