Echidnaéder

Szimmetria csoport

Ikozaéder ( I h )

Típusú

csillagozott ikozaéder

Jelölés

Du Val: H
Weninger : W 42

Elemek
(csillag poliéder formájában)

G = 20, P = 90
V = 60 ( χ = -10)

Elemek
(ikozaéder alakú csillagkép)

G = 180, P = 270
V = 92 ( χ = 2)

Tulajdonságok
(mint egy csillagpoliéder)

Vertex-tranzitív , éltranzitív

Enneagram Echidnaéder	Egy csillag poliéder magja	domború hajótest
	ikozaéder	Csonka ikozaéder

Az echidnaéder ( eng. echidnahedron ) az ikozaéder [1] [2] utolsó csillagképe, amelyet az ikozaéder teljes vagy végső formájának is neveznek , mivel magában foglalja az ikozaéder csillagképének sejtjét.

Az echidnaédert először Max Brückner írta le 1900-ban. Az echidnaéder elnevezést Andrew Hume adta, arra a tényre támaszkodva, hogy a csúcsokban lévő térszögei kicsik, és emiatt tüskés sündisznónak vagy echidnának tűnik [3] .

Bemutató

Branko Grünbaum „Lehet a poliéder minden síkjának több oldala” című cikkében a tudományos irodalom elemzése alapján. ("A poliéder minden arcának lehet sok oldala?") megjegyzi, hogy legalább három különböző módszer létezik a poliéderek megtekintésére. Az echidnaéder esetében ezek a következők:

180 háromszög alakú lap egyesítése;
20 egymást metsző arc metszéspontja - enneagramok ;
18 szögű csillagsokszögek metszéspontja [4] .

Az ikozaéder csillagkép alakjában

A poliéder egyszerű, látható felületéhez hasonlóan az echidnaéder külső alakja is 180 háromszöglapból áll, amelyek 270 élt alkotnak, amelyek viszont 92 csúcsban találkoznak [5] .

Az echidnaéder összes csúcsa három koncentrikus gömb felületén fekszik. A 20 csúcsból álló belső csoport egy szabályos dodekaéder csúcsait alkotja ; a következő 12 csúcsból álló réteg egy szabályos ikozaéder csúcsait alkotja ; a 60 csúcsból álló külső réteg pedig egy csonka ikozaéder csúcsait alkotja [6] .

Minden csúcsgömb konvex héja

Belső	Közepes	Külső	Mindhárom
20 csúcs	12 csúcs	60 csúcs	92 csúcs
Dodekaéder	ikozaéder	Csonka ikozaéder	Echidnaéder

Csillagozott poliéder formájában

Az ikozaéder végső csillagképe egy önmetsző, csillagozott poliédernek is tekinthető, amelynek 20 lapja van, ami megfelel az ikozaéder 20 lapjának. Mindegyik lap egy szabálytalan csillagsokszög (vagy enneagram ) [7] . Mindegyik három lap egy csúcsot alkot, így az echidnaédernek 20 × 9 ÷ 3 = 60 csúcsa (ez a külső csúcsréteg alkotja a „tövisek” csúcsait) és 20 × 9 ÷ 2 = 90 éle (egy csillagozott poliéder minden éle) a 180 látható él poliéder közül kettőt tartalmaz).

Az ikozaéder végső formájaként

A poliédernek ezt a csillagformáját úgy alakítjuk ki, hogy az ikozaéderhez csatoljuk az ikozaéder lapjainak végtelen síkokkal való kiterjesztésével kapott összes rekeszt [8] . Így egy új poliéder jön létre, amelyet ezek a síkok mint lapok határolnak, és e síkok metszéspontjai élek. Az Ötvenkilenc Icosahedrons című könyv Geoffrey Miller [1] szabályrendszere szerint sorolja fel az ikozaéder csillagképeit (beleértve az echidnaédert is) .

Tulajdonságok

Nevek és besorolás

Du Val [9] szimbóluma az echidnaéderre H , mert a csillagkép összes sejtjét tartalmazza, beleértve a legkülső szintet, a "h" szintet is [10] .
Magnus Wenninger Models of Polyhedra című könyvében az echidnaéder indexe W 42 [2] .
Ha az echidnaéder lapjai szabályos annagrammák lennének, akkor szabályos poliédernek tekinthető Schläfli szimbólummal {9/4,3}. Ez azt jelenti, hogy minden csúcsban 3 lap konvergál, ahol mindegyik lap egy szabálytalan 9 /4-es csillag sokszög [7] .

Jellemzők

Az echidnaéder Euler-karakterisztikája 2 [5] . Ezt a karakterisztikát a következő képlet alapján számítjuk ki, ahol Г, Р és В a lapok, élek és csúcsok száma. $\chi =\Gamma -{\hbox{P))+{\hbox{B)),$
Ha az echidnaédert csillagozott poliédernek tekintjük, akkor az ikozaéder végső formája egy nemes poliéder , mivel izoéder (arctranzitív) és izogonális (csúcs-tranzitív) .

Képletek

Ha az echidnaédert a , Φ a , Φ 2 a és Φ 2 a √2 élhosszúságú geometriai testnek tekintjük (ahol Φ az aranymetszés ), akkor az echidnaéder felülete [6]

S={\frac {1}{20}}(13211+{\sqrt {174306161}})a^{2}\,,

és kötet [6]

V=(210+90{\sqrt {5}})a^{3}\,.

A gömbök sugarai, amelyeken az echidnaéder csúcsai találhatók, a [6] arányban vannak.

{\sqrt {{\frac {3}{2}}\left(3+{\sqrt {5}}\right)))\,:\,{\sqrt {{\frac {1}{2}} \left(25+11{\sqrt {5}}\right)}}\,:\,{\sqrt ({\frac {1}{2}}\left(97+43{\sqrt {5}} ) \right)}}\,.

Az állandó sűrűségű echidnaéder tehetetlenségi tenzor egy 3×3 átlós mátrixként ábrázolható , amelynek fő átlós elemei egyenlőek (ahol M a teljes tömeg) [6] . $\textstyle {{\frac {1}{45}}}\left(299+131{\sqrt {5}}\right)Ma^{2}$

Történelmi vázlat

Az echidnaéder a csillagszerű poliéderekhez tartozik , amelyeket először 1619 -ben írt le a tudományos irodalom Johannes Kepler Harmonices Mundi című értekezésében . Kepler matematikai indoklást adott kétféle szabályos csillagozott poliéder tulajdonságaira : a kis csillagú dodekaéderre és a nagy csillagú dodekaéderre [11] . Jóval később, 1809 -ben Louis Poinsot újra felfedezte a Kepler-poliédert, és még két csillagszerű poliédert is felfedezett: a nagy dodekaédert és a nagy ikozaédert , amelyeket ma Kepler-Poinsot szilárdtesteknek neveznek [12] . 1812-ben pedig Augustin Cauchy bebizonyította, hogy a szabályos csillagú poliédereknek csak 4 típusa létezik [7] [11] .

Az echidnaédert először Max Brückner írta le 1900 -ban a "Polygons and Polyhedra" című klasszikus poliéderművében, ahol ezen kívül az ikozaéder további 9 csillagszerű alakját írták le [13] . Azóta az echidnaéder más matematikusok munkáiban is megjelent, és egyetlen megnevezése sem volt. 1924 -ben Albert Willer 20 csillagképből álló listát tett közzé (22 példány, köztük az echidnaéder [14]) . A csillagozott poliéderek legszisztematikusabb és legteljesebb vizsgálatát Harold Coxeter végezte Patrick du Val , Flaser és John Petrie társaságában 1938 -ban a Fifty-nine Icosahedrons (Ötvenkilenc Icosahedrons) című könyvében , ahol a J. Miller által megállapított korlátozási szabályokat alkalmazták. Coxeter bebizonyította, hogy az ikozaédernek csak 59 csillagképe létezik, amelyek közül 32 teljes és 27 hiányos ikozaéder szimmetriájú. Az Echidnahedron a nyolcadik helyen áll a könyvben [1] . Magnus Wenninger 1974 -es Models of Polyhedra című munkájában az echidnaéder a W 42 indexű ikozaéder 17. modelljeként szerepel [2] .

Az ikozaéder utolsó csillagképének modern nevét Andrew Hume adta 1995 -ben a Netlib adatbázisában echidnahedron 15] néven ( az echidna vagy tüskés hangyász , drótszőrrel és tüskékkel borított kis emlős , amely golyóvá gömbölyödve védekezik. maga).

A Netlib adatbázis lefedi az összes szabályos politópot , archimédeszi szilárdtesteket , prizmák és antiprizmák sorozatát , az összes Johnson-politópot

(domború poliéder, ahol minden lap szabályos sokszög) és néhány furcsa poliéder, beleértve az echidnaédert (az én nevem, valójában az ikozaéder végső formája).

Eredeti szöveg (angol)[ showelrejt] "Ez (Netlib) lefedi az összes szabályos poliédert, archimédeszi testet, számos prizmát és antiprizmát, és az összes Johnson-poliédert (minden konvex poliéder szabályos sokszöglappal) és néhány páratlan testet, beleértve az echidnaédert (az én nevem; valójában ez a végső az ikozaéder csillagképe)". - [3]

Jegyzetek

↑ 1 2 3 Coxeter és mások, 1999 .
↑ 1 2 3 Weninger, 1971 .
↑ 1 2 Poliéderek adatbázisa .
↑ Branko Grünbaum, 2008 , p. tizenöt.
↑ 12 Polyhedra.org . _
↑ 1 2 3 4 5 Echidnaéder a MathWorlden .
↑ 1 2 3 Peter Cromwell, 1997 .
↑ Weninger Model #42 .
↑ Du Val kitalált egy szimbolikus jelölést a kongruens sejthalmazok azonosítására azon a megfigyelésen alapulva, hogy ezek az eredeti ikozaéder körüli "héjakban" helyezkednek el.
↑ Peter Cromwell, 1997 , p. 259.
↑ 12 MathWorld . _
↑ Louis Poinsot, 1810 .
↑ Max Brückner, 1900 .
↑ Willer Albert, 1924 .
↑ Andrew Hume 141. modell .

Irodalom

Harold Scott MacDonald Coxeter , P. Du Val , H. T. Flather , JF Petrie. Fifty-Nine Icosahedra = The Fifty-Nine Icosahedra. - 3. kiadás - Tarquin, 1999. - P. 30-31 . — 72 p. - ISBN 978-1-899618-32-3 .
Magnus J. Weninger. Polyhedron Models = Poliéder modellek. - Cambridge University Press, 1971. - P. 65. - ISBN 0-521-09859-9 .
Louis Poinsot. Megjegyzések a sokszögekhez és a poliéderekhez = Memoire sur les polygones et polyèdres. - J. de l'École Polytechnique, 1810. - P. 16-48.
Peter R. Cromwell. Poliéder = poliéder. - Cambridge University Press, 1997. - P. 268. - ISBN 0-521-66405-5 .
Max Bruckner. Sokszögek és poliéderek: elmélet és történelem = Vielecke und Vielflache: Theorie und Geschichte. - Lipcse: BG Teubner Verlag, 1900. - ISBN 978-1-4181-6590-1 .
A. H. Wheeler. Az ikozaéder bizonyos formái és egy módszer a magasabb poliéderek származtatására és kijelölésére // Proc . Internat. Math. Kongresszus. - Toronto, 1924. - 1. évf. 1. - P. 701-708.
Gerald Jenkins, Magdalen Bear. Az ikozaéder végső csillagképe: fejlett matematikai modell a kivágáshoz és összeragasztáshoz. - Norfolk, Anglia: Tarquin Publications, 1985. - ISBN 978-0-906212-48-6 .
Branko Grunbaum. Lehet-e egy poliéder minden lapjának több oldala? (angolul) = Lehet-e sok oldala a poliéder minden arcának? - 2008. - 15. o.

Linkek

Andrew Hume. Geometry.research › Polyhedra adatbázis . Google.com. Letöltve: 2014. október 26.
Andrew Hume. Poliéder adatbázis Netlib, 141 -es modell . Letöltve: 2014. november 7.
Eric Weisstein. Kepler- Poinsot szilárd . Mathworld.wolfram.com. Letöltve: 2014. október 26.
Eric Weisstein. Echidnahedron (angol) . Mathworld.wolfram.com. Letöltve: 2014. október 26.
Eric Weisstein. Ikozaéder csillagképek . Mathworld.wolfram.com. Letöltve: 2014. november 7.
Ralph Jones. Útmutató az echidnaéder modelljének elkészítéséhez ( Microsoft Word(.doc)). Letöltve: 2014. október 26. Az eredetiből archiválva : 2011. október 4..
Guy Inchbald. Az ikozaéder csillagozása és a dodekaéder facetálása felé . Letöltve: 2014. november 7.
Echidnahedron (angol) . Honeylocust Media Systems (2006). Letöltve: 2014. október 26. Az eredetiből archiválva : 2008. október 7..
Az ikozaéder végső csillagképe . Weninger.narod.ru. Letöltve: 2014. november 3. (Orosz)

Az ikozaéder csillagformái
Ikozaéder (0) Kis háromszög alakú ikozaéder (1) Öt oktaéder vegyülete (2) Öt tetraéder vegyülete (12) Tíz tetraéder vegyülete (13) Feltárt dodekaéder (30) Nagy ikozaéder (45) Echidnaéder (58)