Euklideszi gyűrű

Az euklideszi gyűrű egy általános algebrai gyűrű , amelyben van az euklideszi algoritmus analógja .

Definíció

Az euklideszi gyűrű az integritás tartománya , amelyre az euklideszi függvény ( euklideszi norma ) van definiálva úgy , hogy az osztás lehetséges az osztónál kisebb maradékkal , vagyis bármely olyan reprezentációt , amelyre vagy [ 1] . $R$ $d \colon R \setminus \{ 0 \} \to \mathbb N_0$ $a,b\in R,\, b\ne 0$ $a=bq+r$ $d(r)<d(b)$ $r=0$

További korlátozás

Az euklideszi normára gyakran további korlátozás vonatkozik : minden nullától eltérőre és a gyűrűre vonatkozóan . Ha olyan normát adnak, amely nem felel meg ennek a feltételnek, akkor az a következőképpen javítható: $d(a)\leqslant d(ab)$ $a$ $b$ $R$ $R$

d'(a) = \min_{x\in R\setminus\{0\}} d(ax)

Egy ilyen norma kielégíti a kívánt egyenlőtlenséget, azonban a maradékkal való osztás előző algoritmusa korrekciót igényel (az és a maradékkal osztva : , ahol és , és mivel a definícióból következik , a kívánt reprezentációt -val kapjuk meg ). $x\in R$ $d'(b) = d(bx)$ $fejsze$ $bx$ $ax = bxq' + r'x$ $r' = a - bq'$ $d(r'x)<d(bx)=d'(b)$ $d'(r')\leqslant d(r'x)$ $a = bq' + r'$ $d'(r')<d'(b)$

Nem sok előnye van egy ilyen normának - minden invertálható elemnek ugyanaz a normaértéke, és az összes (véges) elem minimuma, az elem megfelelő osztói kisebb normaértékkel rendelkeznek, és leegyszerűsíti a közvetlen bizonyítást is. az euklideszi gyűrűk faktorialitása (a főgyűrűk faktorialitása nélkül) .ideálok , amelyek bizonyításához transzfinit indukció alkalmazása szükséges ). De az euklideszi gyűrűk alapvető tulajdonságai e kiegészítő tulajdonság nélkül is érvényesek. $a$

Példák

Egész számok gyűrűje . Euklideszi függvényre példa az abszolút érték . $\mathbb {Z}$ $|\cdot|$
A Gauss-egészek gyűrűje (ahol a képzeletbeli egység , ) normával euklideszi. ${\mathbb {Z}}[i]$ $én$ $i^{2}=-1$ $d(a+ib) = a^2 + b^2$
Egy tetszőleges mező egy euklideszi gyűrű, amelynek normája 1, a 0 kivételével minden elemre. $K$
Polinomok gyűrűje egy változóban egy mező felett . Az euklideszi függvényre példa a fok fok. $K[x]$ $K$
A mező feletti formális hatványsorok gyűrűje egy euklideszi gyűrű. Egy hatványsor normája a benne szereplő első nem nulla együttható száma. $K[[x]]$ $K$
- Általánosabban fogalmazva, bármely lokális gyűrű euklideszi, ha a benne lévő maximális ideál fő , és minden hatványának metszéspontja csak nullából áll. Az invertálható elem normája 0, az irreverzibilis nem nulla egy - az adott elemet tartalmazó maximális ideál maximális foka.
Az összefüggő kompakt halmazon holomorf függvények gyűrűje ( mindegyiknek holomorfnak kell lennie ennek a kompakt halmaznak valamelyik szomszédságában; két ilyen függvényt egyenlőnek tekintünk, ha egybeesnek valamelyik szomszédságában ) szintén euklideszi. A nem nulla függvény normája a nullák száma (a multiplicitás figyelembevételével), amelyet felvesz . $H(K)$ $K$ $\mathbb {C}$ $H(K)$ $K$ $K$
Az euklideszi gyűrűk megszámlálható metszéspontjának (valamelyik gyűrűben lévő alcsoportjainak) nem kell euklideszi gyűrűnek lennie (sőt még Noether-gyűrűnek vagy faktoriálisnak sem ). Például egy nyitott körön holomorf függvénygyűrű olyan euklideszi függvénygyűrűk metszéspontja, amelyek zárt körökön belül holomorfak , de nem noetheri, nem faktoriális és nem euklideszi. $H(\mathbb D)$ $\mathbb D$ $H(K)$ $K$ $\mathbb D$
Az euklideszi gyűrű törtgyűrűi a multiplikatív rendszer szerint szintén euklideszi. A töredék normáját veszik : $S^{-1}R$ $R$ $S$ $x$ $S^{-1}R$

d_S(x) = \min\{d_R(u):\,(u,s)\in R\times S, \, x=u/s\},

hol van az euklideszi norma -ben , és a norma -ben .

d_R

R

d_S

S^{-1}R

A maradékkal való osztást a következőképpen definiáljuk: legyen két nem nulla tört és S −1 R - ből . A norma definíciója szerint a -ban és -ben vannak olyan elemek , amelyek és . Az elemek és - gyűrű maradékával való osztás után , így kiderül ; egyenlőtlenségek következnek a konstrukcióból .

x=r/t

y

S^{-1}R

u

R

s

S

y=u/s

d_S(y) = d_R(u)

R

rs

u

rs = uq + r

d_R(r')<d_R(u)

r/t = (u/s)(q/t) + r'/ts

d_S(r'/ts)\leqslant d_R(r')< d_R(u) = d_S(y)

A véges tizedesjegyek gyűrűje euklideszi , mivel ez az egész számok gyűrűjének hányadosainak gyűrűje . $\mathbb {Z}$
A rögzített pólusú mező feletti racionális függvények gyűrűi euklidesziek , mivel az ilyen gyűrűk a polinomgyűrű hányadosainak gyűrűi . $\mathbb {C}$ $\mathbb{C}[x]$

Euklidész algoritmusa

Az euklideszi gyűrűben megvalósítjuk az euklideszi algoritmust két szám (elem) legnagyobb közös osztójának megtalálására. Legyen kezdetben adott két elem és , és és . Maradékkal való osztás ad egy elemet -val . Ha nem nulla, ismét alkalmazhatja az osztást a maradékkal, hogy megkapja az elemet , és így tovább. Ez értékláncot generál a -val . Ez a lánc azonban megszakad, mivel bármely természetes szám szigorúan csak véges számú természetes számot haladhat meg. Ez azt jelenti, hogy egyeseknél a maradék nulla, és nem egyenlő, ez a és az elemek legnagyobb közös osztója . Ezért egy euklideszi gyűrűben az euklideszi algoritmus lezárása garantált. Szigorúan véve az euklideszi gyűrűkben lehetséges az euklideszi algoritmus megvalósítása. $a_{0}$ $a_{1}$ $d(a_1)\leqslant d(a_0)$ $a_1\ne0$ $a_2 = a_0 - a_1q_1$ $d(a_2)<d(a_1)$ $a_3 = a_1 - a_2q_2$ $a_0, a_1, a_2, \pontok$ $d(a_0)>d(a_1)>d(a_2)>\pontok$ $n$ $a_{{n+1}}$ $a_n$ $a_{0}$ $a_{1}$

Az euklideszi gyűrűk tulajdonságai

Az euklideszi gyűrűben minden ideál fő (különösen az összes euklideszi gyűrű noetheri ).
- Legyen tetszőleges ideál az euklideszi gyűrűben. Ha csak , akkor ez a fő. Egyébként a nullától eltérő elemei között van egy minimális normával rendelkező elem (a természetes számok minimumelve). Az ideál összes többi elemét felosztja: egy tetszőleges elemet c alakban bemutatva kiderül, hogy az is az ideál eleme, és nullának kell lennie, mivel normája kisebb, mint y . Ezért az ideál benne van az ideálban . Másrészt minden elemet tartalmazó ideál tartalmazza az ideált , amiből következik, hogy ez a főideál. $én$ $0$ $f$ $g \in I$ $g = fq + r$ $d(r) < d(f)$ $r$ $én$ $f$ $én$ $f)$ $f$ $f)$ $I = (f)$
Minden euklideszi gyűrű faktoriális, azaz minden elem reprezentálható egyszerű elemek véges szorzatával, ráadásul egyedileg (permutációjukig és invertálható elemekkel való szorzásukig). A faktoralitás az összes fő ideális gyűrű közös tulajdonsága .
Minden euklideszi gyűrű integrálosan zárt , vagyis ha a tört egy olyan polinom gyöke , amelynek a legnagyobb együtthatója 1, akkor osztható -vel . Az integrál zártság minden faktoriális gyűrű közös tulajdonsága. $R$ $a/b,\,a,b\in R$ $f\in R[x]$ $a$ $b$

Euklideszi gyűrű feletti modulok tulajdonságai

Legyen egy euklideszi gyűrű. Ekkor a véges generált -modulok a következő tulajdonságokkal rendelkeznek: $R$ $R$

Egy végesen generált -modul minden almodulja végesen generálódik (a gyűrű Noetherian következménye ). $N$ $R$ $M$ $R$
Egy részmodul rangja nem haladja meg a modul rangját (az ideálok elvének következménye a főideálok tartományai felett végesen generált modulokra vonatkozó struktúratétel ) . $N$ $M$ $R$
A free -modul egy almodulja is ingyenes. $R$
A végesen generált -modulok homomorfizmusa mindig normál formájúvá redukálódik. Azaz az N modulnak vannak generátorai (a bázis, ha a modul szabad) , amelyek az M modul egy (alapját) alkotják, a gyűrű száma és elemei , amelyek osztják és i > k esetén a többi - . Ezenkívül az együtthatók egyedileg határozhatók meg a gyűrű invertálható elemeivel való szorzásig . (Az a tény, hogy a gyűrű euklideszi, közvetlenül részt vesz ebben a tulajdonságban .) $A\kettőspont N\- M$ $R$ $u_1, u_2, \pontok, u_n$ $v_1, v_2, \dots, v_m$ $k\leqslant \min\{m,n\}$ $a_1,\pontok,a_k$ $R$ $a_{i}$ $a_{i+1}$ $Au_i = 0$ $Au_i = a_iv_i$ $a_1,\pontok,a_k$ $R$ $R$

Lásd még

Jegyzetek

↑ Kurosh, 1962 , p. 91.

Linkek

Weisstein, Eric W. Az euklideszi gyűrű a Wolfram MathWorldnél .
B. L. van der Waerden. Algebra. - Szentpétervár. : Lan, 2004. - 624 p. — ISBN 5-8114-0552-9 .
Kurosh A. G. Előadások az általános algebráról. - M. : Fizmatlit, 1962. - 400 p.
Rodossky K. A. Euklidész algoritmusa. - M. : Nauka, 1988. - 239 p.
J. von zur Gathen, J. Gerhard. Modern számítógépes algebra. - Cambridge University Press, 1999. - 771 p. - ISBN 0-521-82646-2 .

Néhány gyűrűosztály befogadási diagramja
kommutatív gyűrűk ⊃ integrál gyűrűk ⊃ faktoriális gyűrűk ⊃ fő ideális tartományok ⊃ euklideszi gyűrűk ⊃ mezők