Sima infinitezimális elemzés

A sima infinitezimális elemzés az analízis matematikailag szigorú újrafogalmazása az infinitezimálisok szempontjából . William Lover elképzelései alapján és a kategóriaelmélet módszereit alkalmazva minden függvényt folytonosként és diszkrét elemekkel nem kifejezhetőként kezel. Elméletileg a szintetikus differenciálgeometria egyik ága .

A nilpotens infinitezimálok olyan számok , amelyek kielégítik a feltételt ; miközben nem feltétlenül

Ez a megközelítés eltér a közönséges matematikában használt klasszikus logikától, feladva a kizárt középső törvényét , amely kimondja, hogy a következőből következik .. Különösen egyes infinitezimálisok esetében egyik sem bizonyítható . Hogy a kizárt középső törvénye nem érvényesül, az a következő főtételből látható:

Ennek ellenére megpróbálhatunk definiálni egy nem folytonos függvényt, például as

Ha a kizárt középső törvénye teljesülne, ez egy teljesen meghatározott, nem folytonos függvény lenne. Azonban sok olyan érték van - infinitezimálisok -, amelyekre sem , sem , így ez a függvény nincs mindegyiknél definiálva .

A sima infinitezimális elemzés tipikus modelljeiben az infinitezimálisok nem reverzibilisek, ezért ezek a modellek nem tartalmaznak végtelen számokat. Vannak azonban megfordítható infinitezimális modellek is.

Vannak más rendszerek is, amelyek infinitezimális értékeket tartalmaznak, például a nem szabványos elemzést és a szürreális számokat . A sima infinitezimális analízis hasonlít a nem szabványos elemzéshez, mivel az elemzés alapjául szolgál, és az infinitezimális értékek nem rendelkeznek konkrét értékkel (ellentétben a szürreális számokkal, ahol az infinitezimális tipikus példája a , hol a von Neumann sorszámú ). A sima infinitezimális elemzés azonban abban különbözik a nem szabványos elemzéstől, hogy nem klasszikus logikát használ, és az átviteli elv sérül . A standard és a nem szabványos elemzés egyes tételei hamisak a sima infinitezimális elemzésben, erre példa a Bolzano-Cauchy-tétel és a Banach-Tarski-paradoxon (utóbbi a klasszikus matematikában a ZFC-n belül bizonyítható, a ZF-ben viszont nem igazolható). A nem szabványos elemzés nyelvén megfogalmazott állítások lefordíthatók határértékekre vonatkozó állításokra, de ez nem mindig igaz a sima infinitezimális elemzésben.

Az intuitív sima infinitezimális analízis úgy értelmezhető, hogy egy olyan világot ír le, amelyben a vonalak végtelenül kicsi vonalszakaszokból állnak, nem pedig pontokból. Ezek a szegmensek elég hosszúnak tekinthetők ahhoz, hogy meghatározott irányuk legyen, de nem elég hosszúnak ahhoz, hogy görbüljenek. A nem folytonos függvények felépítése meghiúsul, mert a függvény azonosításra kerül a görbével, és a görbét nem lehet pontszerűen megszerkeszteni. Elképzelhető, hogy a Bolzano-Cauchy-tétel nem állja meg a helyét, mivel egy infinitezimális szegmens képes „terjedni” egy résre. Hasonlóképpen a Banach-Tarski paradoxon is kudarcot vall, mert a régiót nem lehet pontokra osztani.

Lásd még

• Elenyésző
• Kategória elmélet
• Nem klasszikus elemzés
• Szintetikus differenciálgeometria

További olvasnivalók

• John Lane Bell, Invitation to Smooth Infinitezimal Analysis (PDF fájl)
• Bell, John L., A Primer of Infinitesimal Analysis , Cambridge University Press, 1998. Második kiadás, 2008.
• Ieke Moerdijk és Reyes, GE, Models for Smooth Infinitezimal Analysis , Springer-Verlag, 1991.

Külső linkek

• Michael O'Connor, Bevezetés a sima infinitezimális elemzésbe