Cayley algebra

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. március 18-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A Cayley algebra hiperkomplex számok  rendszere , egy 8 dimenziós algebra a valós számok területén . Általában azért jelölik, mert elemeit ( Cayley-számok ) néha oktonionoknak vagy oktávoknak nevezik .

Először 1843 -ban John Graves , William Hamilton barátja [1] vette figyelembe , két évvel később pedig önállóan Arthur Cayley .

A Cayley-szám elemek lineáris kombinációja . Minden oktáv a következő formában írható:

valós együtthatókkal . Az oktonokat a fizikában, különösen a speciális relativitáselméletben és a húrelméletben használják [2] .

Szorzótáblák

Oktávelemek szorzótáblája:

egy én ( e1 ) j ( e2 ) k ( e3 ) l ( e4 ) il ( e5 ) jl ( e6 ) kl ( e7 )
én ( e1 ) −1 k − j il −l _ −kl _ jl
j ( e2 ) − k −1 én jl kl −l _ −il _
k ( e3 ) j − i −1 kl − jl il −l _
l ( e4 ) −il _ − jl −kl _ −1 én j k
il ( e5 ) l −kl _ jl − i −1 − k j
jl ( e6 ) kl l −il _ − j k −1 − i
kl ( e7 ) − jl il l − k − j én −1

táblázat (Cayley) az oktonionok szorzásáról [3] :

e 0 e 1 e 2 e 3 e 4 e 5 e 6 e 7
e 1 −1 e 3 −e 2 e 5 −e 4 −e 7 e 6
e 2 −e 3 −1 e 1 e 6 e 7 −e 4 −e 5
e 3 e 2 −e 1 −1 e 7 −e 6 e 5 −e 4
e 4 −e 5 −e 6 −e 7 −1 e 1 e 2 e 3
e 5 e 4 −e 7 e 6 −e 1 −1 −e 3 e 2
e 6 e 7 e 4 −e 5 −e 2 e 3 −1 −e 1
e 7 −e 6 e 5 e 4 −e 3 −e 2 e 1 −1

Néha betűvel helyettesítik őket:

Szám egy 2 3 négy 5 6 7
Levelek én j k l il jl kl
Csere én j k l m n o

Tulajdonságok

A Frobenius-tétel szerint a Cayley algebra az egyetlen 8 dimenziós valós alternatív algebra nulla osztók nélkül .

A Cayley algebra egy alternatív, de nem asszociatív és nem kommutatív osztás- és egységalgebra .

Oktonion esetén a ragozási műveletet az egyenlőség határozza meg:

.

A ragozás kielégíti az egyenlőségeket:

és

Az octonion valós részét az egyenlőség határozza meg:

,

képzeletbeli rész:

.

Nyakvirág norma : ; akkor és csak akkor . A norma definíciójából következik, hogy az okton invertálható és

.

Az asszociativitás hiánya miatt az oktonoknak nincs mátrix reprezentációja.

Jegyzetek

  1. ↑ Hol bújt el a legszabadabb algebra? (HTML)  (hivatkozás nem elérhető) (2003. január 26.). Letöltve: 2009. október 4. Az eredetiből archiválva : 2012. február 27..
  2. ↑ Ian Stewart: The Missing Link Archiválva : 2010. május 5. a Wayback  Machine -nél A hivatkozás 2010. november 6-tól nem érhető el. A hiányzó linkről szóló cikk a yahoo.com-on, orosz fordítás Archivált 2010. május 6-án a Wayback Machine -n, a science.ru webhelyen . 
     
  3. ↑ Átlós antiszimmetria −1-re

Irodalom