P-adikus szám

p -adikus szám [1] egy számelméleti fogalom, amely egy adott p prímszámra definiált, mint a racionális számok mezőjének kiterjesztésének elemére. Ez a kiterjesztés a racionális számok mezőjének kiegészítése a p - adikus normához képest, amelyet az egész számok p -vel való oszthatósági tulajdonságai.

A p -adikus számokat Kurt Hansel vezette be 1897 -ben [2] .

A p -adic számmezőt általában vagy jelöli . $\mathbb Q_p$ ${\mathbf Q}_{p}$

Algebrai konstrukció

Egész p -adikus számok

Szabványos definíció

Egy egész p - adic szám egy adott p prímhez [3] egy végtelen modulo maradéksorozat , amely kielégíti a következő feltételt: $x=\{x_{1},x_{2},\lpontok \}$ $x_{n}$ $p^{{n}}$

x_{n}\equiv x_{{n+1}}{\pmod {p^{n}}}.

Az egész p -adikus számok összeadása és szorzása az ilyen sorozatok kifejezésenkénti összeadása és szorzása. Számukra a gyűrű összes axiómája közvetlenül ellenőrizhető . Az egész p -adikus számok gyűrűjét általában jelölik . $\mathbb {Z} _{p}$

A projektív határérték meghatározása

A projektív határértékek tekintetében az egész számok gyűrűje a határérték $p$

\lim _{\leftarrow }\mathbb {Z} /{p^{n}}\mathbb {Z}

maradék gyűrűk modulo természetes vetületek . $\mathbb {Z} /{p^{n}}\mathbb {Z}$ $p^{n}$ $\mathbb {Z} /{p^{n+1}}\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /{p^{n}}\mathbb {Z}$

Ezeket a megfontolásokat nemcsak prímszám , hanem bármilyen összetett szám esetén is elvégezhetjük – kapjuk az ún. -adikus számok gyűrűje , de ennek a gyűrűnek - ellentétben - nulla osztója van , így az alábbiakban tárgyalt további konstrukciók nem alkalmazhatók rá. $p$ $m$ $m$ $\mathbb {Z} _{p}$

Tulajdonságok

A közönséges egész számok nyilvánvaló módon ágyazódnak be: és részgyűrű. $\mathbb {Z} _{p}$ $x=\{x,x,\ldots\}$

Ha egy számot a maradékosztály elemének veszünk (így, ), minden p -adikus egész számot egyedi módon írhatunk a formába. Az ilyen ábrázolást kanonikusnak nevezzük . Mindegyiket beírva a p -számrendszerbe , és tekintettel arra , hogy lehetséges, hogy bármelyik p -adikus számot kanonikus formában ábrázoljuk, vagy végtelen számjegysorozatként írjunk a p -számrendszerbe . Az ilyen sorozatokkal végzett műveleteket a szokásos összeadás, kivonás és egy „oszlop” szabályai szerint hajtjuk végre a p - áris számrendszerben. $a_{n}=x_{n}\,{\bmod \,}{p^{n}}$ $0\leq a_{n}<p^{n}$ $x=\{a_{1},a_{2},\ldots \}$ $a_n$ $a_{n}=b_{n}\ldots b_{2}b_{1}$ $a_{n}\equiv a_{{n+1}}{\pmod {p^{n}}}$ $x=\{b_{1},b_{2}b_{1},b_{3}b_{2}b_{1},\lpontok \}$ $x=\{\ldots b_{n}\ldots b_{2}b_{1}\}$

Ebben a jelölésben a természetes számok és a nulla olyan p -adikus számoknak felel meg, amelyekben véges számú nem nulla számjegy egybeesik az eredeti szám számjegyeivel. A negatív számok végtelen számú, nem nullától eltérő számjegyű p -adikus számoknak felelnek meg, például a −1=…4444=(4) quináris rendszerben.

p -adic számok

Meghatározás privát mezőként

A p -adikus szám az egész p -adikus számok gyűrűjének hányadosai mezőjének eleme. Ezt a mezőt p -adic számok mezőjének nevezik. ${\mathbb {Q}}_{p}$ $\mathbb {Z} _{p}$

Tulajdonságok

A p -adikus számok mezője a racionális számok mezőjét tartalmazza .

Könnyen bebizonyítható, hogy bármely p -adikus egész szám, amely nem p többszöröse , invertálható a gyűrűben , és p többszöröse egyedi módon írható fel , ahol x nem p többszöröse, ezért invertálható, hanem . Ezért a mező bármely nem nulla eleme felírható így , ahol x nem p többszöröse , hanem tetszőleges n ; ha n negatív, akkor az egész p -adikus számok p -áris számrendszerbeli számsorozatként való ábrázolása alapján egy ilyen p -adikus számot felírhatunk sorozatként , azaz formálisan úgy ábrázolhatjuk egy p - tört, amelynek véges a tizedesvessző utáni számjegyek száma, és esetleg végtelen sok nem nulla számjegy a tizedesvessző előtt. Az ilyen számok felosztása is elvégezhető az „iskola” szabályhoz hasonlóan, de a szám alsó, nem pedig magasabb számjegyeivel kezdve. $\mathbb {Z} _{p}$ $xp^{n}$ $n>0$ ${\mathbb {Q}}_{p}$ $xp^{n}$ $x=\{\lpontok b_{k}\lpontok b_{2}b_{1},b_{0}b_{{-1}}\lpontok b_{{n+1}}\}$

Metrikus konstrukció

Bármely racionális szám ábrázolható úgy, hogy ahol és azok egész számok, amelyek nem oszthatók -vel , hanem egész számok. Ekkor az -adic normát a következőképpen határozzuk meg . Ha , akkor . $r$ $r=p^{n}{\frac ab}$ $a$ $b$ $p$ $n$ $|r|_{p}$ $p$ $r$ $p^{{-n}}$ $r=0$ $|r|_{p}=0$

Az -adic számok mezője a racionális számok mezőjének kiegészítése az -adic norma által meghatározott metrikával: . Ez a konstrukció hasonló a valós számok mezőjének konstrukciójához a racionális számok mezőjének kiegészítéseként a norma segítségével, ami a szokásos abszolút érték . $p$ $d_{p}$ $p$ $d_{p}(x,y)=|xy|_{p}$

A norma folytonossága folytán kiterjed a -n lévő normára . $|r|_{p}$ ${\mathbb {Q}}_{p}$

Tulajdonságok

A p -adikus számok mezőjének minden x eleme konvergens sorozatként ábrázolható

x=\sum _{{i=n_{0}}}^{\infty }a_{i}p^{i}

ahol néhány egész szám, és nem negatív egész számok nem haladják meg a . Ugyanis a p bázisú számrendszer x rekordjának számjegyei úgy működnek, mint itt . Az ilyen összeg a metrikában mindig önmagához konvergál .

n_{0}

a_{i}

p-1

a_{i}

d_{p}

x

p -adic norma kielégíti az erős háromszög egyenlőtlenséget $|x|_{p}$

|xz|_{p}\leq \max\{|xy|_{p},|yz|_{p}\}.

A feltétellel rendelkező számok egész p -adikus számokból álló gyűrűt alkotnak , ami a normában szereplő egész számok gyűrűjének befejezése . $x\in {\mathbb Q}_{p}$ $|x|_{p}\leq 1$ $\mathbb {Z} _{p}$ $\mathbb {Z} \subset \mathbb {Q}$ $|x|_{p}$
A feltétellel rendelkező számok szorzócsoportot alkotnak, és p - adic egységeknek nevezzük. $x\in \mathbb {Q} _{p}$ $|x|_{p}=1$
A feltételes számhalmaz a főideál a p generáló elemmel . $x\in \mathbb {Q} _{p}$ $|x|_{p}<1$ $\mathbb {Z} _{p}$

A metrikus tér homeomorf egy Cantor halmazhoz , egy szóköz pedig egy Cantor kivágott halmazhoz. $(\mathbb {Z} _{p},d_{p})$ $(\mathbb {Q} _{p},d_{p})$
Különböző p esetén a normák függetlenek, és a mezők nem izomorfak. $|x|_{p}$ ${\mathbb {Q}}_{p}$
Bármely , , , , … elemre , például és , találhatunk olyan racionális számsorozatot , hogy és bármely p esetén . $r_{\infty }$ $r_{2}$ $r_3$ $r_{5}$ $r_{7}$ $r_{\infty }\in \mathbb {R}$ ${\displaystyle r_{p}\in \mathbb {Q} _{p))$ $x_{n}$ $|x_{i}-r_{p}|_{p}\0-ra$ $|x_{i}-r_{\infty }|\ 0-ra$

Alkalmazások

Ha egy polinom egész együtthatókkal, akkor a megoldhatóság minden összehasonlításra $F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ $k$

F(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})\equiv 0{\pmod {p^{k))}

ekvivalens az egyenlet megoldhatóságával

F(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})=0

egész -adikus számokban. Ennek az egyenletnek egészben vagy racionális számban való megoldhatóságának szükséges feltétele a gyűrűkben, illetve -adikus számok mezőiben való megoldhatósága mindenre , valamint a valós számok terén. A polinomok egyes osztályainál (például másodfokú alakoknál) ez a feltétel is elegendő.

p

p

p

A gyakorlatban egy egyenlet egész -adikus számokban való megoldhatóságának ellenőrzéséhez elegendő a jelzett összehasonlítás megoldhatóságát ellenőrizni egy bizonyos véges számú érték esetén . Például Hansel lemmája szerint , ha az összehasonlítás eldönthetőségének elégséges feltétele minden természetes szám esetén az összehasonlítási modulo egyszerű megoldásának megléte (vagyis a megfelelő egyenlet egyszerű gyöke a maradékok modulo mezőjében ) . Más szóval, annak ellenőrzéséhez, hogy az egyenletnek van-e gyöke az egész -adikus számokban, általában elegendő a megfelelő összehasonlítást megoldani .

p

k

n=1

k

p

p

n=1

p

k=1

$p$ -adic számokat széles körben használják az elméleti fizikában [4] . Ismeretesek a -adic általánosított függvények [5] , a differenciáló operátor p-adic analógja (Vladimirov operátor) [6] , p-adic kvantummechanika [7] [8] , p-adic spektrálelmélet [9] , p-adic karakterlánc elmélet [10] [11] $p$

Lásd még

Jegyzetek

↑ Kiejtve : pa-adic ; rendre: két-adic , tri-adic , stb.
↑ Kurt Hensel. Über eine neue Begründung der Theorie der algebraischen Zahlen // Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung . - 1897. - V. 6 , 3. sz . - S. 83-88 . (Német)
↑ Borevich Z. I., Shafarevich I. R. Számelmélet, 1985 , p. 25-28..
↑ Vladimiriv VS , Volovich IV, Zelenov EI P-adikus elemzés és matematikai fizika // Szingapúr: World Sci., 1993
↑ Vladimirov V. S. „Általános függvények a p-adikus számok területén” // Uspekhi Mat . Nauk , 1988, 43. kötet (5), p. 17-53
↑ Vladimirov V.S. A Schrödinger típusú p-adikus pszeudodifferenciális operátorok spektrális tulajdonságairól // Izv. RAS, Ser. mat., 1992, 56. v., p. 770-789
↑ Vladimiriv VS , Volovich IV P-adic kvantummechanika // Commun. Math. Phys., 1989, vol. 123., 659-676
↑ Vladimiriv VS , Volovich IV P-adic Schrödinger-típusú egyenlet // Lett. Math. Phys., 1989, vol. 18., 43-53
↑ Vladimirov V.S. , Volovich I.V., Zelenov E.I. Spektrális elmélet a p-adikus kvantummechanikában és az ábrázoláselméletben // Izv. Szovjetunió Tudományos Akadémia, 54. kötet (2), p. 275-302, (1990)
↑ Volovich IV P-adic string // Osztály. quant. Grav., 1987, vol. 4, P.L83-L84
↑ Frampton PH Retrospective on p-adic string theory // Proceedings of the Steklov Mathematical Institute. Gyűjtemény, 203. sz. - M .: Nauka, 1994. - isbn 5-02-007023-8 - S. 287-291.

Irodalom

Borevich Z.I., Shafarevich I.R. Számelmélet. - M .: Nauka, 1985.
Koblitz N. p-adikus számok, p-adikus analízis és zéta-függvények, - M . : Mir, 1982.
Serre J.-P. Számtantanfolyam, - M . : Mir, 1972.
Bekker B., Vostokov S., Ionin Yu. 2-adikus számok // Kvant . - 1979. - 2. sz . - S. 26-31 .
Konrad K. Bevezetés a p-adikus számokba Nyári Iskola "Modern Matematika", 2014 Dubna

Numerikus rendszerek
Megszámlálható készletek	Természetes számok ( ) $\scriptstyle \mathbb {N}$ Egész számok ( ) $\scriptstyle \mathbb {Z}$ Racionális ( ) $\scriptstyle \mathbb {Q}$ Algebrai ( ) $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ Időszakok Kiszámítható Számtan
Valós számok és kiterjesztéseik	Igazi ( ) $\scriptstyle \mathbb {R}$ Komplex ( ) $\scriptstyle \mathbb {C}$ Quaterniók ( ) $\scriptstyle \mathbb {H}$ Cayley-számok (oktávok, oktonok) ( ) $\scriptstyle \mathbb {O}$ Sedenions ( ) $\scriptstyle \mathbb {S}$ Alternionok Dupla Hiperkomplex Szuperreális Hiperanyag szürreális
Numerikus bővítő eszközök	Cayley-Dixon eljárás Frobenius tétel Hurwitz-tétel
Egyéb számrendszerek	tőszámnevek Sorszámok (transzfinit, sorszámok) p-adic Természetfeletti számok intervallum számok
Lásd még	dupla számok Irracionális számok transzcendentális számok számsugár Biquaternion