4-vektor

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. szeptember 7-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 7 szerkesztést igényelnek .

A 4-vektor ( négy-vektor , négy -vektor ) egy vektor a négydimenziós Minkowski-térben , és egy általánosabb esetben egy vektor egy görbült négydimenziós téridőben. Bármely fizikai rendszert leíró 4-vektor komponensei a referenciarendszer mozgatásakor vagy forgatásakor , valamint az egyik referenciarendszerből a másikba való átlépéskor a referenciarendszer transzformációja által meghatározott törvény szerint átalakulnak. A 4-vektornak egy időbeli és három térbeli összetevője van. A térbeli komponensek egy közönséges háromdimenziós térbeli vektort alkotnak , amelynek összetevői kifejezhetők derékszögű, hengeres, gömb alakú és bármilyen más térbeli koordinátával.

A modern jelölésben az időkomponens általában a 0 indexnek felel meg (vagyis nulla komponensnek tekintendő), a térkomponens - 1, 2, 3 (egybeesik x, y, z- vel ; általában alapértelmezés szerint, és ha lehetséges, ezek közönséges derékszögű derékszögű koordináták ). A régi irodalomban gyakran használnak egy ( Minkowski -ig visszanyúló) konvenciót , amely szerint az időkomponenst nem nullának, hanem negyediknek tekintették.
Néha célszerű tisztán képzeletbeli karaktert tulajdonítani egy 4-vektor időkomponensének (mindig szorozza meg a valós idejű komponenst a képzeletbeli egységgel ). Történelmileg először ezt a 4-vektoros ábrázolást vezették be, és néha a modern irodalomban is használják.
A 4-vektorok (komponens-reprezentációjuk) felírhatók kontravariáns és (vagy) kovariáns formában (lásd alább), amelyek nem mindig esnek egybe, és valós reprezentáció esetén (képzetes egység nélkül) mindig különböznek egymástól , bár a legtöbb esetben erre a megkülönböztetésre egy nagyon egyszerű szabály vonatkozik.

Példák 4-vektorra

Itt és lent az aláírást használjuk . $(+,~-,~-,~-)$

4 mozgás: $dx^{i}=(cdt,~dx,~dy,~dz),$
4 sebességes: $u^{i}={\frac {dx^{i}}{ds}}={\frac {1}{c}}{\frac {dx^{i}}{d\tau }} ,$ ahol a „ megfelelő idő ” egyenlő az intervallummal , osztva a fénysebességgel, a világvonal mentén mérve . Geometriailag a 4-es sebesség a részecske világvonalának érintő egységvektora . $\tau$ $\tau ={\frac {1}{c}}\int {ds}$
4 gyorsulás : $a^{i}={\frac {du^{i}}{ds}}={\frac {1}{c}}{\frac {du^{i}}{d\tau }} ,$ ahol – lásd fent. Geometriailag a 4-es gyorsulás a részecske világvonalának görbületi vektora . $\tau$
4-energiás-impulzus vektor ( négy-impulzus ): $p^{i}=\left({\frac {\varepszilon }{c)),~p_{x},~p_{y},~p_{z}\jobb)$ . Nem nulla tömegű részecskére külső mezők hiányában . $p^{i}=c\,mu^{i}$
négydimenziós áramsűrűség ( 4-áram ): $j^{i}=(c\rho ,~j_{x},~j_{y},~j_{z});$
hullám 4-vektor: $k_{i}=\left({\frac {\omega }{c)),-k_{x},-k_{y},-k_{z}\jobb);$
Elektromágneses potenciál : $A_{i}=(\varphi ,~{-A}_{x},~{-A}_{y},~{-A}_{z}).$

Tulajdonságok

Négyvektoros transzformációs törvény:

{\tilde {A}}^{i}=\sum _{j}S_{j}^{i}\ A^{j},

ahol - egy mátrix a Lorentz-csoportból - egy átmeneti mátrix új koordinátákhoz (új vonatkoztatási rendszerhez). $S_{j}^{i}$

A 4-vektorok pontszorzatait (különösen a négyzeteket) a Lorentz-metrika segítségével számítjuk ki (lásd még alább).
- Lorentz-transzformációk alatt invariánsak . Skalároknak nevezik őket (négydimenziós - téridő - értelemben).
- Ez például egy intervallum (az intervallum négyzete az elmozdulásvektor négyzete a Lorentz-metrikában), a tömeg (nyugalmi tömeg) - négyzete egy állandó tényezőig a 4-impulzus négyzete. : stb. $m^{2}=E^{2}/c^{4}-p^{2}/c^{2}$

Jelölés

Hagyományosan a 4-vektort összetevőinek halmazaként jelölik. Így a 4-es vektort úgy jelöljük (ne keverjük össze ezt a jelölést a hatványozással!) ill. $a$ $a^{i}$ $a_{i}.$

A 3 térbeli és időbeli koordinátákat általában a következővel jelöljük $x^{i}.$

Hogy ebben az esetben mit jelent a felső ( ) vagy az alsó ( ) index használata, az konkrétan meg van határozva, de alapértelmezés szerint, ha mindkét (vagy legalább az első) opciót használjuk, vagyis ha egyáltalán használunk felső indexet, akkor a kontravariáns koordináták 4- vektor, az alsók pedig a kovariáns koordináták . Így ebben az esetben ugyanannak a vektornak két különböző reprezentációja lehet - kontravariáns és kovariáns . $a^{i}$ $a_{i}$

Lapos tér és tehetetlenségi vonatkoztatási rendszerek esetén, mint az elektrodinamikában , a speciális relativitáselméletben , és általában azokban az esetekben, ahol a gravitáció elhanyagolható, a kovariáns és az ellentétes ábrázolások csak az idő előjelében térnek el (vagy fordítva, attól függően, a hagyományosan elfogadott aláírás - térbeli) komponensek. Ebben az esetben a skaláris szorzat a megfelelő komponensek szorzatainak egyszerű összegeként ábrázolható csak egy kovariáns vektor és egy kontravariáns szorzata esetén, például:

(a,b)=a^{i}b_{i}\equiv \sum _{i}a^{i}b_{i}=a^{1}b_{1}+a^{2}b_{ 2}+a^{3}b_{3}+a^{4}b_{4}=a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}- a_{4}b_{4}

és különösen

(a)^{2}=(a,a)=a^{i}a_{i}\equiv \sum _{i}a^{i}a_{i}=a^{1}a_{1} +a^{2}a_{2}+a^{3}a_{3}+a^{4}a_{4}=(a_{1})^{2}-(a_{2})^{ 2}-(a_{3})^{2}-(a_{4})^{2}

(Itt és alább az ismétlődő Einstein-index összegzési szabályát használjuk , a négyzetesítést pedig (…)²-ként jelöljük).

Ha csak kovariáns vagy csak kontravariáns komponensek felhasználásával akarnak skaláris szorzatot írni, akkor általában a Lorentz-metrikával (vagy ) a jelölést használják: $\eta _{{ij}}$ $\eta ^{{ij}}$

(a,b)=\eta _{{ij}}a^{i}b^{j}\equiv \sum _{{i,j}}\eta _{{ij}}a^{i}b ^{i}=a^{1}b^{1}-a^{2}b^{2}-a^{3}b^{3}-a^{4}b^{4}

vagy

(a,b)=\eta ^{{ij}}a_{i}b_{j}\equiv \sum _{{i,j}}\eta ^{{ij}}a_{i}b_{i} =a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4}

(mindkét módszer ekvivalens egymással és a fent leírt módszerrel mindkét koordinátatípussal).

Azonban a nem-Lorentzi-féle referenciarendszerek általánosabb esetében, beleértve azt is, amikor a gravitációt az általános relativitáselmélet szerint vesszük figyelembe , egy nagyon egyszerű és állandó Lorentzi-metrika helyett tetszőleges metrikát kell figyelembe venni , beleértve azt is, amely függ térbeli koordináták és idő (Minden, a fenti bekezdésben írt képletben általános esetben szükséges helyettesíteni a -val és -vel ). Ugyanakkor megszűnik az az egyszerű szabály, hogy egy 4-vektor kovariáns és kontravariáns reprezentációi csak a térbeli komponensek előjelében térnek el egymástól, ezek egymáson keresztül kezdenek kifejeződni egy általános metrika segítségével is (lásd Metrikus tenzor# Izomorfizmus az érintő és a kotangens tér között ): $\eta _{{ij}}$ $g_{ij}.$ $\eta _{{ij}}$ $g_{ij}$ $\eta ^{{ij}}$ $g^{ij}$ $g_{ij}$

a^{i}=g^{{ij}}a_{j}\equiv \sum _{j}g^{{ij}}a_{j},

a_{i}=g_{{ij}}a^{j}\equiv \sum _{j}g_{{ij}}a^{j}.

(Mint látjuk, ezek a képletek erre is igazak voltak, de abban az esetben néhány komponens előjelének megváltoztatására szolgáló egyszerű szabályra redukálták őket, de itt általános esetben már nem redukálódnak). $\eta_{{ij}},$

Vegye figyelembe azt is, hogy egy görbületes téridőben (amelyet már helyesen csak sokaságnak tekintünk , és nem vektortérnek) a koordináták halmaza már nem vektor. A koordináták infinitezimális eltolódása azonban vektort jelent (a sokaság érintőterének vektorát a pontban ). $x^i$ $dx^{i}$ $x^i$

És végül a fentebb vizsgált Lorentzi-metrika esetében gyakran csak alsó indexeket használnak , mivel a kovariáns és kontravariáns komponensek csak előjelben különböznek egymástól, és ezek közül csak egyet említhetünk meg (általában kontravariánsokat, bár alsó indexet használnak). ). Ez a módszer erre az esetre viszonylag kényelmes, mivel a felső indexek hiánya valamivel ismerősebb a nem szakemberek számára, ráadásul nem okozhat zavart a hatványozás jelölésével. Ennek azonban vannak buktatói is, hiszen például a kontravariáns formában írt 4 gradiens vektornak egészen váratlanul mínusz jele van a térbeli komponenseknél: mivel a teljes differenciálnak invariánsnak kell lennie, és a skaláris szorzatképletben, ha mindkét vektor ugyanabban a kontravariáns formában van ábrázolva, mint tudjuk, előjelváltozásba kerül $(\partial _{0},-\partial _{1},-\partial _{2},-\partial _{3}),$ $df=\partial _{0}fdx^{0}+\partial _{1}fdx^{1}+\partial _{2}fdx^{2}+\partial _{3}fdx^{3}$ $\eta _{{ij}}.$

Érdekes módon a csak alsó indexeket és egy képzeletbeli időkomponenst használó módszer nem rendelkezik ezekkel a hátrányokkal (főleg a sík tér esetére korlátozódó alkalmazhatóság területén, de nem csak). Az a helyzet, hogy ennek a módszernek a használatakor a szükséges jelek automatikusan megszerzésre kerülnek (figyelem: az aláírás figyelembe vétele ; az aláírás kiválasztása azonban továbbra is megegyezés kérdése). Azaz egyáltalán nem kell jelekre gondolni, nem kell kifejezetten a metrikus tenzor mátrixát használni, még akkor is , ha a metrikát formálisan egyetlen mátrix reprezentálja („formálisan euklideszi”, ami természetesen nem változtatja meg valódi pszeudoeuklideszi jellegét, hanem leegyszerűsíti az írást), és az összes 4-vektor egyszerű és egységes ábrázolását: $\eta_{{ij}},$

4 mozdulattal $dx_{\mu }=(ic~dt,dx,dy,dz),$
4-impulzus $p_{\mu }=(iE/c,p_{x},p_{y},p_{z}),$
négydimenziós áramsűrűség $j_{\mu }=(ic\rho ,j_{x},j_{y},j_{z}),$
hullám 4-vektor $k_{\mu }=(i\omega /c,k_{x},k_{y},k_{z}),$
elektromágneses potenciál $A_{\mu }=(i\phi ,A_{x},A_{y},A_{z}),$

és így tovább, ahol i a képzeletbeli egység .

4-vektor a matematikában

A Minkowski-térben lévő pontot eseménynek nevezzük , és négy koordináta adja meg:

{\mathbf {x}}:=\left(ct,x,y,z\jobb),

hol a fénysebesség , az esemény ideje és a térbeli koordinátái. Az ilyen 4-vektort 4-sugarú vektornak nevezzük. $c$ $t$ $x,y,z$

Sok más 4-vektor is konstruálható belőle és egymástól távolabb skalárral összeadva, kivonva, szorozva vagy osztva, valamint skalárhoz képest differenciálva stb. Így egy 4 sugarú vektorból a következőképpen: a megfelelő idő szerinti differenciálás, 4-es sebességet kapunk stb.

A 4-vektor skalárszorzatai Lorentz-invariáns mennyiségek (a Lorentz-csoport invariánsai), a Minkowski-tér skalárjai.

Történelem

A 4-vektorokat először Poincare ( 1905 ), majd Minkowski vette figyelembe . A 4-es vektor időkomponensét tisztán képzeletbelinek tekintették, amely automatikusan generálta a skaláris szorzat kiszámításához szükséges szabályt a komponensek szorzatainak szokásos összegzésében. A "4 vektor" kifejezést Arnold Sommerfeld javasolta 1910 - ben .

Irodalom

Landau L. D. , Lifshits E. M. § 2. Intervallum. 3. § Megfelelő idő. 6. § Négydimenziós vektorok. § 7. Négydimenziós sebesség. // Mezőelmélet. - 7. kiadás, átdolgozott. — M .: Nauka , 1988. — 512 p. - (" Elméleti fizika ", II. kötet). — ISBN 5-02-014420-7 . .
Feynman R., Layton R., Sands M. Feynman Fizikai előadások. 6. kötet: Elektrodinamika. Fordítás angolból (3. kötet). — Szerkesztői URSS. - ISBN 5-354-00704-6 . - ch. 25. "Elektrodinamika relativisztikus jelölésben". (Ez egy egyszerű bevezető egyetemisták számára; a félreértések elkerülése érdekében vegye figyelembe, hogy ebben a könyvben csak alsó indexeket használnak, de ezek a 4-vektorok ellentmondásos összetevőire vonatkoznak.)