4-gyorsítás

A 4-gyorsulás (négy-, négy-gyorsulás) a relativisztikus kinematikában egy négyvektor, amely általánosítja a klasszikus gyorsulást , és a 4-es sebesség deriváltja a részecske megfelelő idejéhez képest :

{\mathbf {A}}={\frac {d{\mathbf {U}}}{d\tau }}=\left(\gamma _{u}{\dot \gamma }_{u}c,\ négyes \gamma _{u}^{2}{\mathbf a}+\gamma _{u}{\pont \gamma }_{u}{\mathbf u}\right)=\left(\gamma _{u }^{4}{\frac {({\mathbf {a}}\cdot {\mathbf {u}})}{c}},\quad \gamma _{u}^{2}{\mathbf {a }}+\gamma _{u}^{4}{\frac {\left({\mathbf {a}}\cdot {\mathbf {u}}\right)}{c^{2}}}{\ mathbf{u}}\right),

ahol

{\mathbf a}={d{\mathbf u} \over dt}

- 3 gyorsulás,

{\boldsymbol {\beta }}={\mathbf {u}}/c

- méret nélküli 3 sebességes,

{\pont \gamma }_{u}={\frac {{\mathbf {a\cdot u}}}{c^{2}}}\gamma _{u}^{3}={\frac {{ \mathbf {a\cdot u}}}{c^{2}}}{\frac {1}{\left(1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}\jobb )^{{3/2}}}}

és a 3 sebességű u Lorentz-tényezője . A változó feletti pont a koordinátaidő deriváltját jelenti egy adott referenciakeretben, nem pedig a megfelelő időt. $\gamma _{u}$ $\tau .$

Egy pillanatnyi mozgásban lévő inerciális vonatkoztatási rendszerben , vagyis egy ilyen vonatkoztatási rendszerben ${\mathbf u}=0,$ $\gamma _{u}=1$ ${\pont \gamma }_{u}=0,$

{\mathbf {A}}=\left(0,{\mathbf a}\jobbra).

Geometriailag a 4-es gyorsulás a világvonal görbületi vektora [1] [2] .

Így a 4-es gyorsulás modulusa (ami egy invariáns skalár) egyenlő a belső gyorsulással , amelyet a világvonala mentén mozgó részecske "érez " . Az állandó 4-es gyorsulású világegyenesek Minkowski-körök, azaz hiperbolák (lásd hiperbolikus mozgás ).

Még relativisztikus sebességeknél is a 4-es gyorsulás a részecskére ható 4-es erővel van összefüggésben egy képlettel, amely általánosítja Newton klasszikus második törvényét :

F^{\mu }=mA^{\mu };

itt m a részecske tömege .

A 4-es sebesség és a hozzá tartozó 4-gyorsulás skaláris szorzata mindig nulla. Ezt könnyű belátni, ha az azonosságot a megfelelő időhöz viszonyítva megkülönböztetjük: így a 4-es gyorsulás és a vele együtt ható, egy részecskére ható 4-erő mindig merőleges a 4-es sebességére (és a 4 lendülettel együtt irányítva a 4 sebességű ) - ellentétben a klasszikus mechanikával. ${\mathbf {U}}\cdot {\mathbf {U}}\equiv c^{2}$ ${\frac {d}{d\tau }}({\mathbf {U}}\cdot {\mathbf {U}})=2{\frac {d{\mathbf {U}}}{d\tau } }\cdot {\mathbf {U}}=2{\mathbf {A}}\cdot {\mathbf {U}}\equiv {\frac {d}{d\tau }}c^{2}=0.$ $p^{\mu }=mU^{\mu }$

Az általános relativitáselméletben a négyvektoros gyorsulás összetevői a négysebesség összetevőihez kapcsolódnak a kovariáns deriválton keresztül a megfelelő időhöz képest.

A^{\lambda }:={\frac {DU^{\lambda }}{d\tau }}={\frac {dU^{\lambda }}{d\tau }}+\Gamma ^{\lambda }{}_{{\mu \nu }}U^{\mu }U^{\nu }

( A Γ λ μν Christoffel szimbólumok ) .

A speciális relativitáselméletben a koordinátákat általában egyenes tehetetlenségi vonatkoztatási rendszerben fejezik ki, így a Christoffel-szimbólumokkal ellátott kifejezés eltűnik, de néha, amikor a szerzők görbe vonalú koordinátákkal írják le a gyorsított rendszert, a vonatkoztatási rendszer nem inercia, hanem fizika. továbbra is speciális relativisztikus marad, mivel a metrika egyszerűen a Minkowski térmetrika koordináta transzformációja . Ilyen esetben a fenti kifejezést kell használni, mert itt a Christoffel szimbólumok nem mind nullák.

Ha a 4-es erő nulla, csak a gravitáció hat a részecskére, és Newton második törvényének négyvektoros változata (lásd fent) redukálódik a geodéziai egyenletre. A geodéziai mozgást végző részecskék a 4-es gyorsulásvektor minden összetevőjéhez nulla értéket rendelnek. Ez összhangban van azzal a ténnyel, hogy a gravitáció nem erő.

Lásd még

Jegyzetek

↑ Pauli W. Relativitáselmélet . – 1981 Dover. - BG Teubner, Lipcse, 1921. - 74. o . — ISBN 978-0-486-64152-2 .
↑ Synge JL , Schild A. Tenzorkalkulus . – 1978 Dover. - University of Toronto Press , 1949. - P. 149, 153 és 170. - ISBN 0-486-63612-7 .

Irodalom

Pauli W. Relativitáselmélet . – 1981-ben újra kiadta a Dover. - BG Teubner, Lipcse, 1921. - ISBN 978-0-486-64152-2 .
Papapetrou A. Előadások az általános relativitáselméletről . — D. Reidel Kiadóvállalat, 1974. - ISBN 90-277-0514-3 .
Rindler, Wolfgang. Bevezetés a speciális relativitáselméletbe (2. ) . - Oxford: Oxford University Press, 1991. - ISBN 0-19-853952-5 .
Synge JL, Schild A. Tenzorkalkulus . – 1978-ban újra kiadta a Dover. - University of Toronto Press , 1949. - ISBN 0-486-63612-7 .