Egyenlő temperamentum

Az egyenlő temperamentum , egyenlő temperamentum ( németül gleichschwebende Temperatur, gleichschwebende ) egy temperált zenei skála , amelyben minden oktáv matematikailag egyenlő hangközökre van felosztva , a legjellemzőbb esetben tizenkét félhangra , amelyek mindegyike egyenlő . Ez a struktúra uralja az európai professzionális zenét (akadémiai és pop) a 18. századtól napjainkig. Az egyenlő temperamentum fontos előnye, hogy egy darabot tetszőleges intervallumra transzponálhatunk . ${\sqrt[ {12}]{2}}$

Történelmi vázlat

Az egyenlő temperamentum rendszer a különféle szakterületek tudósai által a zene „ideális” rendszerének keresése során jött létre. Történelmileg a korábbi tiszta és középtónusú skálák nem tették lehetővé a transzponálást és a távoli hangokba való modulációt anélkül, hogy a mássalhangzó-harmóniákban - elsősorban a triádokban és azok inverziójában - éles akusztikus disszonancia keletkezett volna.

Az egyenlő temperamentum skála közvetlen elődje Európában a "jó temperamentum" skála volt - az egyenetlen temperamentumok családja, amely lehetővé tette, hogy többé-kevésbé sikeresen (különböző fokú "akusztikai tisztasággal") lejátsszák bármelyik hangszínen. Ennek a rendszernek az egyik teoretikusa és propagandistája [1] Andreas Werkmeister volt . Sok kutató osztja azt a véleményt, hogy a Werkmeister munkáit jól ismerő Johann Sebastian Bach jól temperált klavierét éppen ilyen egyenetlen temperamentumú hangszerekre írta [2] .

Lehetetlen pontosan meghatározni, hogy pontosan ki "találta fel" az azonos temperamentumot. Első teoretikusai közé tartozik Heinrich Grammateus (1518), Vincenzo Galilei (1581) és Maren Mersenne . Simon Stevin "Az énekművészet elméletéről" című munkájában (1585 körül) matematikailag pontos számítást adott az egyenlő temperamentumról. Stevin anyanyelvén (flamand) íródott munkája nem kapott választ; A posztumusz hírnevet 300 évvel később, 1884-ben érte el Stevin, amikor megjelent, majd lefordították más nyelvekre.

Az egyik első szerző, aki elméleti indoklást adott a 12 lépésben egyenlő temperamentumra, Zhu Zaiyu (朱載堉) kínai herceg volt, egy 1584-es értekezésében [3] . Azt azonban nem tudni, hogy a fejedelem számításai milyen történelmi jelentőséggel bírtak a nyugati zeneelméleti hagyomány szempontjából.

Az új rendnek voltak ellenfelei (például Giuseppe Tartini ) és propagandistái (például Johann Georg Neidhardt ). Az egyenlő temperamentumrendszer eltéréseket okozott a konszonanciák akusztikai ("természetes") tisztaságától, ennek következtében apró ütemek jelentek meg bennük. Egyesek szerint ezek a tisztaságsértések csekély veszteségnek számítottak, különös tekintettel azokra az új lehetőségekre, amelyeket egy ilyen hangolás a tónusharmónia fejlődésére adott . Mások a „természetes” tisztaság elvesztését a zene „tisztasága” elleni támadásnak tekintették.

Az esztétikai kritériumok következetlensége (természetes tisztaság kontra modulációs szabadság és korlátlan átültetés ) a zeneteoretikusok írásaiban is megmutatkozott. Tehát Werkmeister azzal érvelt, hogy az új hangolásban minden akkord (elsősorban triádokra gondolt) monoton szimmetriát nyer, míg a „jó” hangolásoknál minden akkordnak megvan a maga egyedi (akusztikus) hangzása. Másrészt későbbi, Musikalische Paradoxal-Discourse (1707) értekezésében Neidhardttal folytatott vitában megvédte elsőbbségét az egyenlő temperamentum "feltalálásában". Már a 18. században a tonalitás szabad kibontakozásának eszméje érvényesült a természetes "akusztikus" tisztaság gondolatával szemben. Az akadémiai és popzenében az egyenlő temperamentum világszerte elismerést kapott, és a zenei rendszer de facto mércéjévé vált.

Hangok frekvenciájának kiszámítása

Matematikailag kiszámíthatja a teljes skála frekvenciáit a következő képlet segítségével:

f(i)=f_{0}\cdot 2^{{i/12}}

ahol f 0 a hangvilla frekvenciája (például La 440 Hz), i pedig a félhangok száma a vizsgált hangtól az f 0 szabványig terjedő intervallumban .

Az így kiszámított frekvenciák sorozata geometriai progressziót alkot :

például kiszámolhatja a hangonkénti hangfrekvenciát (2 félhanggal ) alacsonyabb hangvillából a La - notes sol :

i=-2

f(-2)=440\,{\mathrm {Hz}}\cdot 2^{{-2/12}}\kb. {391 995}\,{\mathrm {Hz}}

ha ki kell számítanod a Sol hang frekvenciáját, de egy oktávval (12 félhanggal ) magasabbra:

i=12-2=10

f(10)=440\,{\mathrm {Hz}}\cdot 2^{{10/12}}\körülbelül {783 991}\,{\mathrm {Hz}}

A két eredményül kapott G hang frekvenciája kétszeresére tér el, ami tiszta oktávot eredményez.

Összehasonlítás a természetes hangolással

Egyenlő temperamentum skála jeleníthető meg centben kifejezett intervallumértékként :

Hang	C1_ _	C♯_ _	D	D♯	E	F	F♯ _	G	G♯_ _	A	A ♯	B	C2_ _
Cent	0	100	200	300	400	500	600	700	800	900	1000	1100	1200

A következő táblázat az egyenlő temperamentum intervallumok és a természetes intervallumok közötti mennyiségi különbségeket mutatja be:

Intervallum	Egyenlő temperált intervallumok	természetes intervallumok	Cent különbség
Prima	${\sqrt[{12}]{2^{0))}=1=0\,$ cent	${\frac {1}{1}}=1=0\,$ cent	0
kisebb második	${\sqrt[{12}]{2^{1}}}={\sqrt[{12}]{2}}\approx 1{,}059463=100\,$ cent	${\frac {16}{15}}\approx 1{,}066667\approx 111{,}73\,$ cent	−11.73
Őrnagy második	${\sqrt[{12}]{2^{2}}}={\sqrt[{6}]{2}}\approx 1{,}122462=200\,$ cent	${\frac {9}{8}}=1{,}125\kb. 203{,}91\,$ cent	−3,91
Kisebb harmadik	${\sqrt[{12}]{2^{3}}}={\sqrt[{4}]{2}}\approx 1{,}189207=300\,$ cent	${\frac {6}{5}}=1{,}2\kb. 315{,}64\,$ cent	−15.64
Őrnagy harmadik	${\sqrt[{12}]{2^{4}}}={\sqrt[{3}]{2}}\kb 1{,}259921=400\,$ cent	${\frac {5}{4}}=1{,}25\kb. 386{,}31\,$ cent	13.69
Kvart	${\sqrt[{12}]{2^{5}}}={\sqrt[{12}]{32}}\körülbelül 1{,}334840=500\,$ cent	${\frac {4}{3}}\approx 1{,}333333\approx 498{,}04\,$ cent	1.96
Triton	${\sqrt[{12}]{2^{6}}}={\sqrt {2}}\kb 1{,}414214=600\,$ cent	${\frac {45}{32}}\approx 1{,}406250\approx 590{,}22\,$ cent	9.78
Quint	${\sqrt[{12}]{2^{7}}}={\sqrt[{12}]{128}}\kb 1{,}498307=700\,$ cent	${\frac {3}{2}}=1{,}5\kb. 701{,}96\,$ cent	−1,96
Kisebb hatodik	${\sqrt[{12}]{2^{8}}}={\sqrt[{3}]{4}}\approx 1{,}587401=800\,$ cent	${\frac {8}{5}}=1{,}6\kb. 813{,}69\,$ cent	−13.69
Hatodik őrnagy	${\sqrt[{12}]{2^{9}}}={\sqrt[{4}]{8}}\approx 1{,}681793=900\,$ cent	${\frac {5}{3}}\approx 1{,}666667\approx 884{,}36\,$ cent	15.64
Kisebb hetedik	${\sqrt[{12}]{2^{10}}}={\sqrt[{6}]{32}}\körülbelül 1{,}781797=1000\,$ cent	${\frac {16}{9}}\approx 1{,}777778\approx 996{,}09\,$ cent	3.91
Nagyszerű hetedik	${\sqrt[{12}]{2^{11}}}={\sqrt[{12}]{2048}}\kb 1{,}887749=1100\,$ cent	${\frac {15}{8}}=1{,}875\kb 1088{,}27\,$ cent	11.73
Oktáv	${\sqrt[{12}]{2^{12}}}=2=1200\,$ cent	${\frac {16}{8}}=2=1200\,$ cent	0

Becsült frekvenciák zongorabillentyűzetekhez

Jegyzetek

A frekvenciaértékek kiszámítása a hangvilla standard frekvenciája alapján történik, la 1 = 440 Hz.
A hangolt zongora számított és valós frekvenciái közötti pontatlan egyenlőség jelenségét (intervallumok kiterjesztése a tartomány szélein) lásd a Railsback görbékben .

Alkontraktave

16,352 Hz (beleértve) és 32,703 Hz közötti frekvenciájú hangokat takar. A lépések nevét nagybetűvel írjuk, és a 2-es számot (vagy két vonást) a jobb alsó sarokban. Tudományos jelöléssel 0 a szám.

Lépésszám	Frekvencia, Hz	Szótagjelölés Helmholtz szerint	Betűjelölés Helmholtz szerint	Amerikai jelölés	Koordináta frekvencia jelölés
egy	16.352	2 -ig	C2_ _	C0	-52
2	18.354	Re 2	D2_ _	D0	-ötven
3	20.602	Mi 2	E 2	E0	-48
négy	21.827	Fa 2	F2_ _	F0	-47
5	24 500	Só 2	G2_ _	G0	-45
6	27 500	La 2	A2_ _	A0	-43
7	30.868	C 2	H2_ _	B0	-41

Controctave

32,703 Hz (beleértve) és 65,406 Hz közötti frekvenciájú hangokat takar. A lépések nevét nagybetűvel írjuk, és a jobb alsó sarokban az 1-es számot (vagy egy vonással) írjuk. Tudományos jelölésben az 1. számú.

Lépésszám	frekvencia Hz	Szótagjelölés Helmholtz szerint	Betűjelölés Helmholtz szerint	Amerikai jelölés	Koordináta frekvencia jelölés
egy	32.703	1 -ig	C1_ _	C1	-40
2	36.708	Re 1	D1_ _	D1	-38
3	41.203	Mi 1	E 1	E1	-36
négy	43.654	Fa 1	F1_ _	F1	-35
5	48.999	Sol 1	G1_ _	G1	-33
6	55 000	La 1	A 1	A1	-31
7	61,735	C 1	H1_ _	B1	-29

Dúr oktáv

65,406 Hz (beleértve) és 130,81 Hz közötti frekvenciájú hangokat takar. A lépések nevét nagybetűvel írjuk, további számok és vonások nélkül. Tudományos jelöléssel a 2. szám.

Lépésszám	frekvencia Hz	Szótagjelölés Helmholtz szerint	Betűjelölés Helmholtz szerint	Amerikai jelölés	Koordináta frekvencia jelölés
egy	65.406	Előtt	C	C2	-28
2	73.416	Újra	D	D2	-26
3	82.406	Mi	E	E2	-24
négy	87.307	F	F	F2	-23
5	97.999	Só	G	G2	-21
6	110.00	La	A	A2	-19
7	123,47	Xi	H	B2	-17

Kis oktáv

130,81 Hz (beleértve) és 261,63 Hz közötti frekvenciájú hangokat takar. A lépések nevét kis betűvel írjuk, további számok és vonások nélkül. Tudományos jelöléssel a 3. szám.

Lépésszám	frekvencia Hz	Szótagjelölés Helmholtz szerint	Betűjelölés Helmholtz szerint	Amerikai jelölés	Koordináta frekvencia jelölés
egy	130,81	előtt	c	C3	-16
2	146,83	újra	d	D3	-tizennégy
3	164,81	mi	e	E3	-12
négy	174,61	F	f	F3	-tizenegy
5	196,00	só	g	G3	-9
6	220.00	la	a	A3	-7
7	246,94	si	h	B3	-5

Első oktáv

Tartalmazza a 261,63 Hz (beleértve) és 523,25 Hz közötti frekvenciájú hangokat. A lépések nevét kis betűvel írjuk, az 1-es számot (vagy egy vonást) a jobb felső sarokban. Tudományos jelöléssel ez a 4.

Lépésszám	frekvencia Hz	Szótagjelölés Helmholtz szerint	Betűjelölés Helmholtz szerint	Amerikai jelölés	Koordináta frekvencia jelölés
egy	261,63	1 -ig	c 1	C4	- négy
2	293,67	re 1	d1_ _	D4	-2
3	329,63	mi 1	e 1	E4	-0
négy	349,23	fa 1	f1_ _	F4	+0
5	392,00	só 1	g 1	G4	+2
6	440,00	la 1	egy 1	A4	+4
7	493,88	én 1	h1_ _	B4	+6

Második oktáv

523,25 Hz (beleértve) és 1046,5 Hz közötti frekvenciájú hangokat tartalmaz. A lépések nevét kis betűvel írjuk, a 2-es számot (vagy két vonást) a jobb felső sarokban. Tudományos jelöléssel az 5. szám.

Lépésszám	frekvencia Hz	Szótagjelölés Helmholtz szerint	Betűjelölés Helmholtz szerint	Amerikai jelölés	Koordináta frekvencia jelölés
egy	523,25	2 -ig	c 2	C5	+7
2	587,33	re 2	d2 _	D5	+9
3	659.26	mi 2	e 2	E5	+11
négy	698,46	fa 2	f2_ _	F5	+12
5	783,99	só 2	g2_ _	G5	+14
6	880,00	la 2	a 2	A5	+16
7	987,77	én 2	h2_ _	B5	+18

Harmadik oktáv

1046,5 Hz (beleértve) és 2093,0 Hz közötti frekvenciájú hangokat tartalmaz. A lépések nevét kis betűvel írjuk, a 3-as számot (vagy három vonást) a jobb felső sarokban. Tudományos jelöléssel 6-os a szám.

Lépésszám	frekvencia Hz	Szótagjelölés Helmholtz szerint	Betűjelölés Helmholtz szerint	Amerikai jelölés	Koordináta frekvencia jelölés
egy	1046,5	3 -ig	c 3	C6	+19
2	1174,7	re 3	d3 _	D6	+21
3	1318,5	mi 3	e 3	E6	+23
négy	1396,9	fa 3	f 3	F6	+24
5	1568,0	só 3	g 3	G6	+26
6	1760,0	la 3	a 3	A6	+28
7	1975.5	én 3	h 3	B6	+30

Negyedik oktáv

Tartalmazza a 2093,0 Hz (beleértve) és 4186,0 Hz közötti frekvenciájú hangokat. A lépések nevét kis betűvel írjuk, a jobb felső sarokban a 4-es számot (vagy négy vonást) írjuk. Tudományos jelöléssel a 7. szám.

Lépésszám	frekvencia Hz	Szótagjelölés Helmholtz szerint	Betűjelölés Helmholtz szerint	Amerikai jelölés	Koordináta frekvencia jelölés
egy	2093,0	4 -ig	c 4	C7	+31
2	2349,3	re 4	d4 _	D7	+33
3	2637,0	mi 4	e 4	E7	+35
négy	2793,8	fa 4	f4_ _	F7	+36
5	3136,0	só 4	g4_ _	G7	+38
6	3520,0	la 4	egy 4	A7	+40
7	3951.1	én 4	h 4	B7	+42

Ötödik oktáv

Tartalmazza a 4186,0 Hz (beleértve) és 8372,0 Hz közötti frekvenciájú hangokat. A Helmholtz-jelölésben a lépések nevét kis betűvel írjuk, a jobb felső sarokban az 5-ös számot (vagy öt vonást) írjuk. Tudományos jelöléssel a 8.

Lépésszám	frekvencia Hz	Szótagjelölés Helmholtz szerint	Betűjelölés Helmholtz szerint	Amerikai jelölés	Koordináta frekvencia jelölés
egy	4186,0	5 -ig	5 -től	C8	+43
2	4698,6	re 5	d5 _	D8	+45
3	5274,0	mi 5	e 5	E8	+47
négy	5587.7	fa 5	f5_ _	F8	+48
5	6271,9	só 5	g5_ _	G8	+50
6	7040.0	la 5	egy 5	A8	+52
7	7902.1	én 5	h 5	B8	+54

Egyenlő temperamentumú változatok

A legelterjedtebb és legelterjedtebb egyenlő temperamentum (RT) a 12 lépésből álló (ennek a fent megadott információk feleltek meg).

Léteznek azonban egyforma vérmérsékletű változatok is, amelyekben az oktáv ( n ) eltérő osztásszámú. Ebben az esetben a frekvenciák képlete módosul

{\displaystyle f(i)=f_{0}\cdot 2^{i/n))

Az " n -stage RT" kifejezés rövidebb írásához az " n -tRT" rövidítést vezetjük be. , ahol az n szám az oktávonkénti lépések számának felel meg. Vannak 19-tRT [4] , 24-tRT , 31-tRT [5] és még 53-tRT [6] nyelven írt zeneművek is . A 21. század elején P. A. Chernobrivets a 20 lépésben egyenlő temperamentum tanulmányozásán dolgozik [7] .

Az n = 12 érték megválasztása főként annak köszönhető, hogy a többszólamú zeneművek akusztikailag tiszta megszólalásához különösen fontos a kvintek tiszta megszólalása (mint az oktávon kívül a hangközök „legmássalhangzóbbjaként” ), és ideális esetben a kvintet alkotó hangok frekvenciaaránya 3/2 legyen. RT-vel minden n -re az „ötödik” egy olyan k számnak felel meg, amely , és felsorolással ellenőrizhető, hogy n = 12 esetén (ha k = 7 az ln(3/2)/ln() 2) n ) a legjobb közelítés érhető el, mint kisebb vagy valamivel nagyobb n esetén (pontosabb lenne n = 41 vagy n = 53 esetén, de a túl nagy n gyakorlati szempontból kényelmetlen) [8] . $2^{k/n}\kb. 3/2$

Az egyenlő temperamentumok egy másik intervallumot is feloszthatnak, nem csak egy oktávot, egész számú egyenlő lépésre. A kétértelműség elkerülése érdekében az angol szakirodalomban például széles körben használják az "egy oktáv egyenlő felosztása" kifejezést vagy annak rövid formáját, az EDO-t. Oroszul az „oktáv egyenlő felosztása” vagy az RDO kifejezés ugyanazt a jelentést közvetíti. Ezért a 12-tRT-t 12RDO-nak, a 19-tRT-t 19RDO-nak is nevezhetjük, és így tovább [9] .

Egyenrangú temperamentum és egyéb hangolások

A most uralkodó egyenletes temperált rendszer mellett más rendszerek is léteztek. A 19. századi orosz zenetudós, Vlagyimir Odojevszkij például ezt írta:

Nagyon hűségesen énekel egy zenei tehetségű orosz közember, akinek fülét még nem rontották el az utcai sürgősök vagy az olasz opera; és saját ösztöne szerint nagyon határozottan veszi az intervallumot, persze nem a mi csúnya temperált skálánkban <...> [híres orosz énekesünk, Ivan Evstratievich Molchanov, egy csodálatos zenei szervezettel rendelkező ember] hangjáról rögzítettem. egy nagyon érdekes dal: „A Szentháromságnál, Sergiusnál, Moszkva mellett volt” <…> észrevette, hogy az énekesnő Si - je semmiképpen nem illik az én zongorámhoz , Si ; és Molcsanov is észrevette, hogy itt valami nincs rendben <...> Ez vezetett arra az ötletre, hogy egy temperálatlan zongorát egy ilyen rendszerbe rendezek, mint egy közönségest. A Prony módszerrel akusztikus logaritmusokkal számított természetes gammát vettem alapul; ebben az enharmonikus klavicinban minden kvint tiszta, a pirossal jelölt élek elkülönülnek a laposoktól, és magának a hangszernek a mechanizmusának lehetetlensége miatt feláldoztam a fa $\lakás$ és ut $\lakás$ , hogy megőrizzem si $\éles$ és mi $\éles$ , mert népdalénekeseink - valamiért nem értem, énekelj inkább éles, mint lapos hangnemben

– V. F. Odojevszkij [10]

Az autentikus muzsikusok nagyszabású mozgalma a múlt zenéjének reprodukálását gyakorolja abban a hangolásban, amelyben az általuk játszott zenét írták.

A nem európai hagyományos zenében megőrződik az azonos temperamentumtól eltérő skálák használatának gyakorlata - az erőteljes makamo - mugham hagyomány minden műfajában és formájában [11] , valamint az indiaiban [12] stb.

Jegyzetek

↑ Lásd Werckmeister A. Musicae mathematicae hodegus curiosus… (1687), Musikalische Temperatur, oder… (1691)
↑ Bach, J.S. JS Bach: The Well-Tempered Clavier (neopr.) / Palmer, Willard A.. - Los Angeles, CA: Alfred Music Publishing, 2004. - P. 4. - ISBN 0882848313 .
↑ Hart R. Quantifying Ritual: Political Cosmology, Courtly Music, and Precision Mathematics in Seventeenth-Century China Archiválva : 2012. március 5..
↑ Kilenc prelúdium két zongorára 19 hangos temperamentumban archiválva : 2012. február 26. a Wayback Machine -ben, Joel
↑ Koncert sz. 2 két hegedűre és zenekarra Archiválva : 2012. szeptember 1., a Wayback Machine , Henk Badings , 1969
↑ B. Cicovacki levele P. Scaruffinak archiválva 2011. december 14-én a Wayback Machine -nál :
... Josip Slavensky írt egy művet elektronikus hangszerekre "Zene a természetes hangrendszerben" címmel (1937). Két rész van benne, az első a Bosanquet harmóniumra íródott, oktávonként 53 hangszínnel... "

(" ...JOSIP STOLCER SLAVENSKI <...> zeneszerzőt komponált elektronikus hangszerekre Music in the Natural címmel Tonal System (1937). Két tételt tartalmaz: az első tétel a Bosanquet enharmoniumra íródott, 53 hang oktávban ")
↑ Chernobrivets P. A. Hangmagasság viszonyok és a rendszerképzés sajátosságai húsztónusú egységes temperamentum körülményei között. A Zeneelméleti Társaság folyóirata. 8. szám 2014/4. . Letöltve: 2022. július 29. Az eredetiből archiválva : 2022. március 3. (határozatlan)
↑ Volosinov, A. V. Matematika és művészet (9. fejezet: "A harmónia algebra – temperamentum") . - Moszkva: Oktatás , 1992. - ISBN 5090027056 . (Orosz)
↑ I. Aliyeva _ _ _
↑ Odojevszkij V. F. ["orosz közemberek ..."]. Cit. V. F. Odojevszkij gyűjteményéből. Zenei és irodalmi örökség - M .: Állami Zenei Könyvkiadó, 1956. - p. 481-482
↑ A hazai tudományban erre mutatott rá az 1920-as évek végétől kezdve a kiváló zenetudós és néprajzkutató V. M. Beljajev ; lásd például műveit: Türkmén zene. 1. kötet. M., 1928 (V. A. Uspenskyvel); Útmutató a népi hangszerek méréséhez, M., 1931; Üzbegisztán hangszerei, M., 1933; Fret rendszerek a Szovjetunió népeinek zenéjében // V. M. Belyaev. [Ült. cikkek]. M.: Szov. zeneszerző, 1990. A modern publikációk közé tartozik S. Agayeva és Sh. Hajiyev „Az azerbajdzsáni mugámok hangmagasság-rendszerének tanulmányozásának problémáiról” című jelentése. VII Gyakornok. tudományos kutatás szimpóziuma a "Makam" csoport az Internationalen. Kereskedelmi Tanács. zene UNESCO. Baku. 2011. S. 20-32; lásd még az említett cikket Archivált 2013. január 15-én az I. Aliyeva 's Wayback Machine -n. A témával kapcsolatos külföldi szakirodalom rövid áttekintését és bibliográfiáját lásd: O. Wright et al. Arab zene. I. Művészzene // The New Grove Dictionary of Music and Musicians . London, New York, 2001; H. Farhat. Irán. II. klasszikus hagyomány. 2. Intervallum- és skálák elmélete, 3. A modális rendszer. // uo. Lásd még: „Issam El-Mallah. Arab zene és zenei kotta. Hans Schneider Verlag. Tutzing. 2001; S. Marcus. Az elmélet és a gyakorlat határfelülete: Intonáció az arab zenében. Asian Music Vol. 24. sz. 2 (1993), pp. 39-58; H. Farhat. Scales and Intervals: Theory and Practice, Irish Musical Studies, i (1990), pp. 216-26.
↑ A témával kapcsolatos külföldi szakirodalom összefoglalását és bibliográfiáját lásd Powers H. és Widdess R. India, szubkontinense. III. A klasszikus zene elmélete és gyakorlata. 1. Hangrendszerek // The New Grove Dictionary of Music and Musicians . London, New York, 2001.

Irodalom

Barbour JM Hangolás és temperamentum: történelmi áttekintés. East Lansing, 1951; Mineola, 2004;
Lindley M. Lantok, hegedűk és temperamentumok. Cambridge, 1984;
Lindley M. und Temperatur // Geschichte der Musiktheorie. bd. 6. Darmstadt, 1987, 109-331.
Lindley M., Turner-Smith R. A zenei skálák matematikai modelljei: Új megközelítés. Bonn, 1993;
Auhagen W. und Temperatur // Die Musik in Geschichte und Gegenwart . Sachteil. bd. 8. Kassel; Basel, 1998, Sp. 1831-1847.
Rasch R. Hangolás és temperamentum // A nyugati zeneelmélet cambridge-i története. Cambridge, 2002, 193-222.

Linkek

Zubov A. Yu. Temperamentum // Nagy orosz enciklopédia. T. 32. M., 2016, p. 27

Szótárak és enciklopédiák	Nagy dán Brockhaus és Efron Britannica (online)

zenei skála
Pitagorasz rendszer természetes hangolás Középtónus Egyenlő temperamentum