Pitagorasz rendszer

A Pythagoreanus rendszer egy zenei rendszer, amelynek elmélete a pitagoraszi harmonikaiskolához kapcsolódik . A késő ókor óta a kiemelkedő zeneteoretikusok ( Nikomachus , Jamblikhosz , Boethius és mások) közvetlenül Pythagorasnak tulajdonították .

A Pitagorasz-rendszer elvont matematikai ötlete (mint az ötödik láncolata) a nyugat-európai barokk korszakában alakult ki .

Egyes tudományos cikkekben "Pitagorasz rendszernek" is nevezik. .

Általában kvintek (vagy negyedek) sorozataként ábrázolják, például így (6 kvintből álló lánc az fa hangból ):

F - C - G - D - A - E - H

vagy diatonikus skálaként :

C		D		E		F		G		A		H		C
egy		9/8		81/64		4/3		3/2		27/16		243/128		2
	Teljes hang		Teljes hang		Limma		Teljes hang		Teljes hang		Teljes hang		Limma
	8 : 9		8 : 9		243 : 256		8 : 9		8 : 9		8 : 9		243 : 256
	203,91 c		203,91 c		90,22 c		203,91 c		203,91 c		203,91 c		90,22 c

A nyugati zenében a Pitagorasz skálát nemcsak az ősi monodiák , hanem a középkori többszólamú zenék alapjául is tartják. A zeneteoretikusok továbbra is a pitagoraszi hangolás alapján írják le az intervallumokat. , bár az éneklés, majd a hangszeres többszólamú tonális zene legkésőbb a 16. században kezdett elsajátítani a tiszta hangolást . Ez utóbbihoz képest a Pitagorasz egy tiszta oktáv (1:2) és egy tiszta kvint (2:3) természetes hangközei által generált oktáv-ötöd skála [1] . A Pythagore-i számrendszer intervallumrelációiban érintettek számára a faktorizációk 3-nál nem nagyobb prímszámokon alapulnak. Emiatt főként angol nyelvi környezetben a pitagorasz rendszert limitnek is nevezik . tuning 3 ( eng. 3-limit tuning ).

Pitagorasz intervallum táblázat

A következő táblázat a Pitagorasz hangközöket mutatja egy oktávig, és legfeljebb 18 kvint alatt kapjuk meg. A diatonikus intervallumok (vagyis azok, amelyek a pitagoraszi 7-lépéses diatonikában fordulnak elő, és legfeljebb 6 ötödik lépésből származnak) félkövér betűkkel vannak szedve. A kromatikus intervallumokat szabályos betűkkel jelöljük (amelyek a diatonikus intervallumokkal együtt a 12 fokozatú Pitagorasz-oktáv skálán keletkeznek, és 7-11 kvint fokozatban kapják meg). A többi, 12-18 ötödik lépéssel kapott "dikromatikus" (vagy "enharmonikus") intervallum dőlt betűvel van szedve. Ez utóbbiak (kivéve a pitagoreusi vesszőt, amely az oktáv nélküli kibővített hetediknek és a kicsinyített egyiknek felel meg) kétszeresen növelt és csökkentett diatonikus hangközöknek felel meg.

Rövidítések: "m." - kicsi; "b." - nagy; "ész." - csökkentett; "uv." - kinagyítva.

A táblázat Q és O oszlopában rendre azon kvintek és oktávok száma látható, amelyek elhalasztása egy adott intervallumot eredményez (ebben az esetben a pozitív számok felfelé, a negatív számok lefelé haladnak). Például a Q = -9 és O = 6 értékek a redukált hetediknek felelnek meg, vagyis a redukált hetedik értéket úgy kapjuk meg, hogy az adott hangból (magasságból) 9 kvint lefelé és 6 oktávot felfelé halasztunk; így hangfrekvencia aránya egyenlő

\left({\frac 32}\right)^{{-9}}\times \left({\frac 21}\right)^{6}=2^{{15}}\cdot 3^{{- 9))={\frac {32768}{19683}}.

Ugyanakkor az O számot (az oktávnál kisebb intervallumokra) egyértelműen a Q szám határozza meg, amely funkcionális függésben van tőle , és a képlet határozza meg:

{\mathrm {O}}=-\lfloor {\mathrm {Q}}\times (\log _{2}{3}-1)\rfloor ,

ahol a szám egész része [2] . $\lfloor x\rfloor$ $x$

Továbbá a táblázatban feltüntetett intervallumok mindegyike egyedileg T egész hang ( a T oszlopban felsorolva ), L limm ( L oszlop ) és K Pitagorasz kommunikáció ( K oszlop) összegeként jelenik meg a korlátozások mellett.

0\leqslant T\leqslant 6,\qquad 0\leqslant L\leqslant 1,\qquad -2\leqslant K\leqslant 1

Amint a táblázatból látható, diatonikus hangközök esetén három egyenlőségpár egyike lép fel: és , vagy és , vagy és (vagyis a diatonikus intervallum mindig egyenlő vagy egy egész számú hanggal, vagy egy egész számmal hangok hozzáadott limmával, vagy kevesebb, mint egy Pitagorasz kommunikátoronkénti egész szám). A kromatikus intervallumokhoz ezen kívül az és , vagy és , valamint a "dikromatikus" (dőlt betűs) relációkat - is és , vagy és . $L=0$ $K=0$ $L=1$ $K=0$ $L=0$ $K={-1}$ $L=1$ $K=1$ $L=1$ $K={-1}$ $L=0$ $K=1$ $L=0$ $K={-2}$

Név	K	O	T	L	K	Hozzáállás	Érték centben _	Lépés innen: c	További példák
egyhangú, prima	0	0	0	0	0	1:1	0,00	c
Pitagorasz vessző (hetedikre növelve oktáv nélkül) [3]	12	-7	0	0	egy	531441:524288	23.46	Övé	des-cisz, fes-e, a-gisis
kétszer ész. harmadik	-17	tíz	0	egy	-egy	134217728:129140163	66,76	eseses [4]	cis-eses, eis-ges
limma , m. szekund, moll (diatonikus) félhang	-5	3	0	egy	0	256:243	90.22	des	e-f, cisz-d, des-eses
apotoma , uv. prima, dúr (kromatikus) félhang	7	- négy	0	egy	egy	2187:2048	113,69	cis	cisz-cisis, des-d, eses-es
ész. harmadik	-tíz	6	egy	0	-egy	65536:59049	180,45	eses	cis-es, e-ges
egész hang b. második	2	-egy	egy	0	0	9:8	203,91	d	d-e, e-fis, B-c, des-es, cisz-dis
kétszer uv. prima	tizennégy	-nyolc	egy	0	egy	4782969:4194304	227,37	cisis	ces-cis, deses-d
kétszer ész. kvart	-tizenöt	9	egy	egy	-egy	16777216:14348907	270,67	díjak	cisz-fes, fis-b, cisis-f
félditon, m. harmadik	-3	2	egy	egy	0	32:27	294.13	es	d-f, es-ges
uv. második	9	-5	egy	egy	egy	19683:16384	317,60	dis	des-e, es-fis
ész. kvart	-nyolc	5	2	0	-egy	8192:6561	384,36	fes	cisz-f, fis-b, dis-ges
deaton, szül. harmadik	négy	-2	2	0	0	81:64	407,82	e	d-fis, eis-gisis
kétszer uv. második	16	-9	2	0	egy	43046721:33554432	431,28	disis	ces-dis, es-fisis
kétszer ész. kvint	-13	nyolc	2	egy	-egy	2097152:1594323	474,58	geses	cisz-ges, disis-a
kvart	-egy	egy	2	egy	0	4:3	498.04	f	d-g, ces-fes
uv. harmadik	tizenegy	-6	2	egy	egy	177147:131072	521,51	eis	des-fis, deses-f
kétszer ész. hatodik	-tizennyolc	tizenegy	3	0	-2	536870912:387420489	564,81	szamarak [4]	cisis-as, cisz-ázok
ész. ötödik (komikus tritone [5] )	-6	négy	3	0	-egy	1024:729	588,27	ges	cisz-g, H-f, e-b
triton, uv. kvart	6	-3	3	0	0	729:512	611,73	fis	f-b, des-g
kétszer uv. harmadik	tizennyolc	-tíz	3	0	egy	387420489:268435456	635.19	eisis	des-fisis, eses-gis
ész. hatodik ( a Pythagore-rendszer farkas ötödik )	-tizenegy	7	3	egy	-egy	262144:177147	678,49	ases	cisz-as, Gis-es
kvint	egy	0	3	egy	0	3:2	701,96	g	d-a, dis-ais
kétszer uv. kvart	13	-7	3	egy	egy	1594323:1048576	725.42	fisis	des-gis, deses-a
kétszer ész. hetedik	-16	tíz	négy	0	-2	67108864:43046721	768,72	heses [4]	cisz-heses, cisis-b
m. hatodik	- négy	3	négy	0	-egy	128:81	792.18	mint	d-b, disz-h
uv. ötödik (tetraton)	nyolc	- négy	négy	0	0	6561:4096	815,64	gis	des-a, eses-b
ész. hetedik	-9	6	négy	egy	-egy	32768:19683	882,40	heses	cisz-b, Gis-f
b. hatodik	3	-egy	négy	egy	0	27:16	905,87	a	d-h, Es-c
kétszer uv. kvint	tizenöt	-nyolc	négy	egy	egy	14348907:8388608	929,33	gisis	des-ais, deses-a
kétszer ész. oktáv	-tizennégy	9	5	0	-2	8388608:4782969	972,63	ceses 1	Dis-des, Disis-d
m. septima	-2	2	5	0	-egy	16:9	996.09	b	G-f, Des-ces
uv. hatodik (pentaton)	tíz	-5	5	0	0	59049:32768	1019,55	ais	des-h, deses-b
ész. oktáv	-7	5	5	egy	-egy	4096:2187	1086,31	ces 1	cisz-c, des-deses
b. hetedik	5	-2	5	egy	0	243:128	1109,78	h	cisz-övé
kétszer uv. hatodik	17	-9	5	egy	egy	129140163:67108864	1133,24	aisis	ces-ais, eses-cis
ész. nona	-12	nyolc	6	0	-2	1048576:531441	1176,54	deses 1	Dis-es, Eis-f
oktáv	0	egy	6	0	-egy	2:1	1200,00	c 1

Lásd még

Linkek

Margo Schulter . Pythagorean Tuning and Medieval Polyphony Archiválva : 2013. augusztus 12. a Wayback Machine -nél
[https://web.archive.org/web/20110920000424/http://www.kholopov.ru/rml-interv.pdf Archiválva 2011. szeptember 20-án a Wayback Machine Hugo Riemann intervallumtáblázatában ]

Jegyzetek

↑ Az 1. és 2., 2. és 3. felhang közötti természetes intervallumokat vagy a természetes skála intervallumait az 1:2 és 2:3 arányok jelzik.
↑ Ezt a képletet úgy kapjuk meg, hogy felvesszük az egyenlőtlenség logaritmusát , amely egyértelműen meghatározza az O mennyiségnek a Q mennyiségtől való függőségét. $1\leqslant \left({\frac 32}\right)^{{{\mathrm Q}}}\cdot 2^{{{\mathrm O}}}<2$
↑ A Pitagorasz skála kibővített hetede (például c - his ) szélesebb, mint egy oktáv ( c - c 1 ) egy pitagoraszi komm.
↑ 1 2 3 A c - től egy adott intervallummal elválasztott fok betűjelének írása (kétszer kicsinyített harmadik, hatodik vagy hetedik) megköveteli a "hármas lapos" ( -eseses ) jelzését , amely a megfelelő diatonikus fok csökkentését jelenti ( ebben az esetben e , a és h ) három kromatikus félhangra; A „hármas véletlenszerűséget nem igénylő” lépések közötti azonos távolságra vonatkozó példákat lásd a További példák oszlopban.
↑ Vagyis egy (pytagoraszai) vesszővel redukált triton.

zenei skála
Pitagorasz rendszer természetes hangolás Középtónus Egyenlő temperamentum