Csökkenő és növekvő faktoriális

A csökkenő faktoriális [1] (néha alacsonyabb , fokozatosan csökkenő vagy csökkenő faktoriálisnak [2] [3] ) a Pochhammer szimbólum használatával írható, és a következőképpen definiálható:

(x)_{n}=x^{\aláhúzás {n}}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-(n-1))=\prod _{k= 1}^{n}(x-(k-1))=\prod _{k=0}^{n-1}(xk).

A növekvő faktoriális (néha Pochhammer-függvény , Pochhammer polinom [4] , felső , fokozatosan növekvő vagy növekvő faktoriális [2] [3] ) definíciója:

x^{(n)}=x^{\overline {n}}=x(x+1)(x+2)\cdots (x+(n-1))=\prod _{k=1 }^{n}(x+(k-1))=\prod _{k=0}^{n-1}(x+k).

Mindkét faktoriális értékét 1-nek vesszük ( az üres szorzat ) n = 0 esetén.

A Leo August Pochhammer által javasolt Pochhammer szimbólum a jelölése , ahol egy nem negatív egész szám . A kontextustól függően a Pochhammer szimbólum a csökkenő vagy a növekvő faktoriálist jelölheti a fent meghatározottak szerint. Óvatosan kell eljárni a szimbólum értelmezésekor minden egyes cikkben. Maga Pochhammer egy egészen más jelentésű jelölést használt, mégpedig a binomiális együttható jelölésére [5] . $(x)_{n}$ $n$ $(x)_{n}$ ${\binom {x}{n))$

Ebben a cikkben a szimbólumot a csökkenő faktoriális, a szimbólumot pedig a növekvő faktoriális ábrázolására használjuk. Ezeket az egyezményeket a kombinatorika elfogadja [6] . A speciális függvények elméletében (különösen a hipergeometrikus függvényben ) a Pochhammer szimbólumot használják a növekvő faktoriális ábrázolására [7] A növekvő faktoriálisok manipulálására szolgáló képletek hasznos listája ebben az utolsó jelölésben található Lucy Slater [8] könyvében . Knuth a faktoriális hatvány kifejezést használta , amely magában foglalja a növekvő és csökkenő faktoriálisokat [9] $(x)_{n}$ ${\displaystyle x^{(n)))$ $(x)_{n}$

Ha x nemnegatív egész szám, akkor megadja az x elemű halmaz n -permutációinak számát, vagy ezzel egyenértékűen az n elemű halmazból az x méretű halmazba történő injektálások számát . Ezekre az értékekre azonban más jelöléseket használnak, például P ( x ,n ). A Pochhammer szimbólumot többnyire algebrai célokra használják, például amikor x egy ismeretlen mennyiség, amely esetben egy bizonyos , n fokú x - beli polinomot jelent . $(x)_{n}$ $_{x}P_{n}$ $(x)_{n}$

Példák

Az első néhány növekvő tényező:

x^{(0)}=x^{\overline {0}}=1

x^{(1)}=x^{\overline {1}}=x

x^{(2)}=x^{\overline {2}}=x(x+1)=x^{2}+x

x^{(3)}=x^{\overline {3}}=x(x+1)(x+2)=x^{3}+3x^{2}+2x

x^{(4)}=x^{\overline {4}}=x(x+1)(x+2)(x+3)=x^{4}+6x^{3}+ 11x^{2}+6x

Az első néhány csökkenő faktorszám:

(x)_{0}=x^{\aláhúzás {0}}=1

(x)_{1}=x^{\aláhúzás {1}}=x

(x)_{2}=x^{\aláhúzás {2}}=x(x-1)=x^{2}-x

(x)_{3}=x^{\aláhúzás {3}}=x(x-1)(x-2)=x^{3}-3x^{2}+2x

(x)_{4}=x^{\aláhúzás {4}}=x(x-1)(x-2)(x-3)=x^{4}-6x^{3}+ 11x^{2}-6x

A zárójelek kinyitásával kapott együtthatók az első típusú Stirling-számok .

Tulajdonságok

Növekvő és csökkenő faktorszámok használhatók a binomiális együtthatók kifejezésére :

{\frac {x^{(n)}}{n!}}={x+n-1 \choose n}

és

{\frac {(x)_{n}}{n!}}={x \choose n}.

Ekkor a binomiális együtthatók sok azonossága átkerül a növekvő és a csökkenő faktoriálisokra.

Egy növekvő faktoriális kifejezhető a másik végén kezdődő csökkenő faktoriálissal,

x^{(n)}={(x+n-1)}_{n},

vagy csökkenő faktoriálisként az ellenkező érvvel,

x^{(n)}={(-1)}^{n}{(-x)}_{n}.

A növekvő és csökkenő faktoriálisok jól meghatározottak bármely egységgyűrűben , ezért x lehet például komplex szám , negatív szám, komplex együtthatós polinom vagy bármilyen komplex függvény .

A növekvő faktoriális kiterjeszthető n valós értékeire a gamma függvény segítségével :

x^{(n)}={\frac {\Gamma (x+n)}{\Gamma (x)))),

és ugyanígy a csökkenő faktoriális:

(x)_{n}={\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x-n+1))).

Ha D -vel jelöljük x deriváltját , akkor azt kapjuk

D^{n}(x^{a})=(a)_{n}\,\,x^{an}.

A Pochhammer szimbólum a hipergeometrikus függvény definíciójának szerves része - a hipergeometrikus függvény a | z | < 1 teljesítménysor

\,_{2}F_{1}(a,b;c;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{a^{(n)}b^{(n) } \over c^{(n)}}\,{z^{n} \over n!}

feltéve, hogy c nem egyenlő 0, −1, −2, ... . Megjegyzendő azonban, hogy a hipergeometriai függvény irodalomban a növekvő faktoriálist jelöli . ${(a)}_{n}$

Kapcsolat árnyékkalkulussal

A csökkenő faktoriális egy olyan képletben fordul elő, amely a véges különbség operátort használó polinomokat reprezentálja , és amely formálisan hasonló Taylor tételéhez . Ebben a képletben és sok más helyen a véges különbségek kiszámításánál a csökkenő faktoriális játszik szerepet a derivált számításakor. Figyeld meg például a hasonlóságot $\vartriangle$ ${\displaystyle (x)_{k))$ $x^{k}$

\Delta (x)_{k}=k\ (x)_{k-1},

Dx^{k}=k\ x^{k-1},

Hasonló tények érvényesek a növekvő faktoriálisokra is.

Az ilyen típusú analógiák tanulmányozását „ árnyékkalkulusnak ” nevezik [10] . Az ilyen összefüggéseket leíró fő elméletet, beleértve a csökkenő és növelő függvényeket, a binomiális típusú polinomsorozatok és a Schaeffer-sorozatok elmélete veszi figyelembe . A növekvő és csökkenő faktoriálisok binomiális típusú Schaeffer-sorozatok, amint azt a következő összefüggések mutatják:

(a+b)^{(n)}=\sum _{j=0}^{n}{n \choose j}(a)^{(nj)}(b)^{(j) }

(a+b)_{n}=\sum _{j=0}^{n}{n \choose j}(a)_{nj}(b)_{j}

ahol az együtthatók megegyeznek a binomiális Vandermonde-azonosság hatványsor-bővítésével ).

Hasonlóképpen, a Pochhammer-polinomok generáló függvénye ekkor egyenlő az árnyékkitevők összegével,

\sum _{n=0}^{\infty }(x)_{n}~{\frac {t^{n}}{n!)}}=(1+t)^{x} ~ ,

óta . $\vartriangle (1+t)^{x}=t(1+t)^{x}$

Csatolási együtthatók és azonosságok

A csökkenő és növekvő faktoriális Lach-számok és egy változó egész hatványainak összegét használva , a második típusú Stirling-számok használatával kapcsolódnak egymáshoz , az alábbiak szerint (itt ): [11] $x$ ${\binom {r}{k}}=r^{\aláhúzás {k}}/k!$

{\begin{aligned}x^{\underline {n}}&=\sum _{k=1}^{n}{\binom {n-1}{k-1}}{\frac { n!}{k!}}\times (x)_{k}\\&=(-1)^{n}(-x)_{n}=(x-n+1)_{n}= {\frac {1}{(x+1)^{\overline {-n))))\\(x)_{n}&=\sum _{k=0}^{n}{\binom { n}{k}}(n-1)^{\aláhúzás {nk}}\szer x^{\aláhúzás {k}}\\&=(-1)^{n}(-x)^{\aláhúzás {n}}=(x+n-1)^{\aláhúzás {n}}={\frac {1}{(x-1)^{\aláhúzás {-n}}}}\\&={\ binom {-x}{n}}(-1)^{n}n!\\&={\binom {x+n-1}{n}}n!\\x^{n}&=\sum _{k=0}^{n}\left\{{\begin{mátrix}n\\nk\end{mátrix}}\jobbra\}x^{\aláhúzás {nk}}\\&=\sum _ {k=0}^{n}\left\{{\begin{mátrix}n\\k\end{mátrix}}\jobbra\}(-1)^{nk}(x)_{k}.\ vége{igazított}}

Mivel a csökkenő faktoriálisok képezik egy polinomgyűrű alapját , kettőjük szorzatát kifejezhetjük csökkenő faktoriálisok lineáris kombinációjaként:

(x)_{m}(x)_{n}=\sum _{k=0}^{m}{m \choose k}{n \choose k}k!\,(x)_ {m+nk}.

Az at együtthatókat csatolási együtthatóknak nevezzük , és kombinatorikus értelmezésük van, mint a k elem összeragasztásának módjai egy m elemből és egy n elemből álló halmazból. Van egy kapcsolódási képletünk is két Pochhammer szimbólum arányára ${\displaystyle (x)_{m+nk))$

{\frac {(x)_{n}}{(x)_{i}}}=(x+i)_{ni},\ n\geq i.

Ezen túlmenően az általánosított hatványszabályt és a negatív növekvő és csökkenő hatványokat a következő azonosságokkal bővíthetjük:

{\begin{aligned}x^{(m+n)}&=x^{(m)}(x+m)^{(n)}\\(x)_{m+n}& =(x)_{m}(xm)_{n}\\(x)_{-n}&={\frac {1}{(xn)_{n))}={\frac {1} {(x-1)^{\aláhúzás {n}}}}\\x^{\aláhúzás {-n}}&={\frac {1}{(x+1)_{n}}}={ \frac {1}{n!{\binom {x+n}{n))))={\frac {1}{(x+1)(x+2)\cdots (x+n))). \end{igazított}}

Végül a duplázó képlet és a szorzási képlet a faktoriálisok növelésére a következő összefüggéseket adja:

(x)_{k+mn}=(x)_{k}m^{mn}\prod _{j=0}^{m-1}\left({\frac {x+j+ k }{m}}\jobbra)_{n},\ m\in \mathbb {N}

(ax+b)_{n}=x^{n}\prod _{k=0}^{x-1}\left(a+{\frac {b+k}{x}}\right )_{n/x},\ x\in \mathbb {Z} ^{+}

(2x)_{2n}=2^{2n}(x)_{n}\left(x+{\frac {1}{2}}\right)_{n}.

Alternatív megnevezések

Alternatív jelölés a faktoriális növelésére

x^{\overline {m}}=\overbrace {x(x+1)\ldots (x+m-1)} ^{m~\mathrm {faktorok} }

az egészért

m\geq 0,

És a csökkenő faktoriálisra

x^{\underline {m}}=\overbrace {x(x-1)\ldots (x-m+1)} ^{m~\mathrm {faktorok} }

az egészért

m\geq 0;

A. Capellire (1893), illetve L. Toscanóra (1939) nyúlik vissza [12] . Graham, Knuth és Patashnik [13] azt javasolták, hogy ezt a kifejezést a következőképpen ejtsék: " x növelése m -rel", illetve " x csökkentése m - rel ".

A csökkenő faktoriális egyéb jelölései közé tartozik a vagy . (Lásd a " Permutáció " és a " Kombináció " cikkeket.) ${\displaystyle P(x,n),^{x}P_{n},P_{x,n))$ $_{x}P_{n}$

A faktoriális növelésére szolgáló alternatív jelölést ritkábban használjuk. A félreértések elkerülése érdekében a növekvő faktoriális jelölése esetén a szokásos csökkenő faktoriális jelölése [5] . ${\displaystyle (x)_{n}^{+))$ ${\displaystyle x^{(n)))$ ${\displaystyle (x)_{n}^{+))$ ${\displaystyle (x)_{n}^{-))$

Általánosítások

A Pochhammer szimbólumnak van egy általánosított változata, az általánosított Pochhammer szimbólum , és többváltozós elemzésben használják . Van egy q -analóg is , a Pochhammer q -szimbólum .

A csökkenő faktoriális általánosítása, amelyben a függvényt csökkenő aritmetikai progresszióval értékeljük:

[f(x)]^{k/-h}=f(x)\cdot f(xh)\cdot f(x-2h)\cdots f(x-(k-1)h),

A növekvő faktoriális megfelelő általánosítása

[f(x)]^{k/h}=f(x)\cdot f(x+h)\cdot f(x+2h)\cdots f(x+(k-1)h).

Ez a jelölés egyesíti a növekvő és csökkenő faktoriálisokat, amelyek egyenlőek, ill . $[x]^{\tfrac {k}{1))$ $[x]^{\tfrac {k}{-1))$

Bármely rögzített aritmetikai függvény és szimbolikus paraméter esetén az űrlap kapcsolódó általánosított szorzatai $f:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {C}$ $x,t$

(x)_{n,f,t}:=\prod _{k=1}^{n-1}\left(x+{\frac {f(k)}{t^{k)) }\jobb)

tanulmányozható az első típusú általánosított Stirling-számok osztályaiban , amelyeket a következő együtthatók segítségével határozunk meg a bővítésben , majd a következő ismétlődési relációval: $x$ ${\megjelenítési stílus (x)_{n,f,t))$

{\begin{aligned}\left[{\begin{mátrix}n\\k\end{mátrix}}\jobbra]_{f,t}&=[x^{k-1}](x )_{n,f,t}\\&=f(n-1)t^{1-n}\left[{\begin{mátrix}n-1\\k\end{mátrix}}\jobbra] _{f,t}+\left[{\begin{mátrix}n-1\\k-1\end{mátrix}}\jobbra]_{f,t}+\delta _{n,0}\delta _{k,0}.\end{igazított}}

Ezek az együtthatók számos , az első típusú Stirling-számokhoz hasonló tulajdonságot kielégítenek , valamint az f-harmonikus számokhoz kapcsolódó ismétlődési relációkat és funkcionális egyenlőségeket [14] . ${\displaystyle F_{n}^{(r)}(t):=\sum _{k\leq n}t^{k}/f(k)^{r))$

Lásd még

k – Pochhammer szimbólum
Vandermonde identitás

Jegyzetek

↑ Koganov, 2007 .
↑ 1 2 Lando, 2008 .
↑ 1 2 Traub, 1985 , p. 106.
↑ Steffensen, 1950 , p. nyolc.
↑ 1 2 Knuth, 1992 , p. 403–422.
↑ Olver, 1999 , p. 101.
↑ Így például Abramovich és Stegun "Matetikai függvények kézikönyve" című könyvében, 256.
↑ Slater, 1966 , p. I. függelék.
↑ Knuth, A számítógép-programozás művészete, 1. évf. 1, 3. kiadás, p. ötven.
↑ A számtalan közös tulajdonság jelenlétét a binomiális szekvenciákban sokáig titokzatos és megmagyarázhatatlan dologként fogták fel, ezért is nevezték vizsgálatukat umbral calculusnak, i.e. árnyékkalkulus ( Lando 2008 ).
↑ Bevezetés a faktoriálisokba és a binomiálisokba . Wolfram Functions webhely . (határozatlan)
↑ Knuth szerint The Art of Computer Programming, Vol. 1, 3. kiadás, p. ötven.
↑ Graham, Knuth, Patashnik, 1988 , p. 47-48.
↑ Kombinatorikus identitások az általánosított Stirling-számokhoz, amelyek kiterjesztik az f-faktoriális függvényeket és az f-harmonikus számokat (2016).

Irodalom

Koganov L.M. Két feladat // Informatika. - 2007. - Kiadás. 10 .

Lando S.K. Shadow Calculus // Nyári iskola "Modern matematika". - 2008. - Kiadás. 2 lecke . Az eredetiből archiválva: 2017. december 15.
Traub J. Iteratív módszerek egyenletek megoldására. - M . : "Mir", 1985.
Steffensen JF interpoláció. — 2. - Dover Publications, 1950. - P. 8. - ISBN 0-486-45009-0 .
Donald E. Knuth. Két megjegyzés a jelölésről // American Mathematical Monthly

kötet=99. - 1992. - Kiadás. 5 . – S. 403–422 . - doi : 10.2307/2325085 . - arXiv : math/9205211 . — .. A Pochhammer szimbólumokra vonatkozó megjegyzés a 414. oldalon található. Donald E. Knuth. A számítógépes programozás művészete. - 3. kiadás .. - 1997. - T. 1. - S. 50. - ISBN 0-201-89683-4 .

- Donald E. Knuth. 1.2.5 Permutációk és faktoriálisok // A programozás művészete. - harmadik kiadás. - Williams, 2002. - V. 1 Alapvető algoritmusok. - ISBN 978-5-8459-1984-7 , 978-5-8459-0080-7.
Ronald L. Graham , Donald Knuth , Oren Patashnik . Konkrét matematika . - Addison-Wesley, Reading MA, 1988. - ISBN 0-201-14236-8 .
Peter J Olver. Klasszikus invariáns elmélet. - Cambridge University Press, 1999. - ISBN 0-521-55821-2 .
Lucy J. Slater. Általánosított hipergeometriai függvények . – Cambridge University Press, 1966.

Linkek

Weisstein, Eric W. Pochhammer szimbólum (angolul) a Wolfram MathWorld webhelyen .
Elemi bizonyítások