Gerenda (matematika)

A köteg egy olyan struktúra, amelyet valamilyen matematikai objektum lokális és globális tulajdonságai vagy jellemzői közötti kapcsolatok létrehozására használnak. A tárcsák jelentős szerepet játszanak a topológiában , a differenciálgeometriában és az algebrai geometriában , de alkalmazhatók számelméletben , elemzésben és kategóriaelméletben is .

Intuitív definíció

Nagyjából elmondható, hogy egy topologikus téren kétféle adat ad, két további tulajdonsággal. $F$ $x$

Az adatok első részét egy leképezés tartalmazza, amely a tér minden nyitott részhalmazát leképezi valamilyen (absztrakt) halmazra . Ezenkívül megkövetelhetjük, hogy ezen a halmazon egy bizonyos szerkezetet adjunk meg, de egyelőre csak arra szorítkozunk, hogy ez csak egy halmaz. $U$ $x$ $F(U)$

Az adatok második része az, hogy minden nyitott halmazpárhoz rögzítve van valamilyen leképezés , amelyet szűkítésnek neveznek . (Hasonlóan működik, mint a -n definiált funkciók körének leszűkítése ) $V\alhalmaz U$ $\rho _{{VU}}:F(U)\-F(V)$ $V$ $U.$

Ezenkívül az adatoknak a következő két tulajdonsággal kell rendelkezniük:

Normalizációs axióma : - egyetlen elem halmaza. $F(\varnothing)$
Ragasztási axióma : ha konzisztens elemrendszert adunk meg(a konzisztencia azt jelenti, hogy az elemeknekésa területre ugyanaz a megszorítása van), akkor egyértelműen meghatározzák azt az elemet, amelyből(hol van az összes egyesülése), amelynek a megfelelő területre vonatkozó korlátozásai mindegyikük. $x_{i}\in F(U_{i})$ $x_{i}$ $x_{j}$ $U_{i}\sapka U_{j}$ $x$ $F(U)$ $U$ $U_{i}$

Példák

Funkciócsomagok

A fő példa a folytonos függvények kötege egy X topológiai téren. A folytonos függvénynek egy nyitott részhalmazra való korlátozása ezen a részhalmazon folytonos függvény, és a nyitott részhalmazokon részben meghatározott függvény visszaállítható az egyesülésükön.

Pontosabban, a tér minden nyitott részhalmazára jelöljük az összes folytonos valós értékű függvény halmazát . Adott egy nyílt halmazt , amely benne van, és egy függvényt , akkor leszűkíthetjük a függvény hatókörét egy halmazra , és egy függvényt kaphatunk . A megszorítás egy folytonos függvény, ezért a halmaz eleme . Így a kényszerleképezés definiálva van . $U$ $x$ $F(U)$ $f:U\to {\mathbb {R}}$ $V$ $U$ $f$ $F(U)$ $f$ $V$ $f|_{V}$ $f|_{V}$ $V$ $F(V)$ $\rho _{{VU}}:F(U)\-F(V)$

A normalizálás axiómája nyilvánvalóan teljesül, mivel az R -ben lévő üres halmazból csak egy folytonos függvény van - az üres függvény . Annak bizonyítására, hogy a ragasztási axióma is érvényes, feltételezzük, hogy konzisztens folytonos függvényrendszert kapunk , . Ez azt jelenti, hogy a funkciók és a készülék korlátozásainak egybe kell esnie. Határozzuk meg most a függvényt a következőképpen: mivel az összes uniója , ezért minden pontját lefedi egy halmaz néhány . Határozzuk meg a függvény értékét a -val egyenlő pontban . Ez a definíció helyes: ha ez is benne van , akkor a konzisztenciafeltétel alapján, tehát nem mindegy, hogy ezek közül melyik függvényt használjuk a meghatározásához . Ráadásul a függvény folytonos a pontban , mivel a szomszédságában egybeesik a folytonos függvénnyel . Ennek eredményeként a függvény minden ponttól kezdve folytonos , azaz folytonos a pontban . Sőt, ez az egyetlen folytonos függvény, amelynek a tartományra való korlátozása egybeesik a -val , mivel a függvényt teljes mértékben a pontokban lévő értékei határozzák meg. Következésképpen egy és egyetlen függvény van összeragasztva a függvényekből , mégpedig . $f_{i}:U_{i}\to {\mathbb {R}}$ $i\in I$ $f_{i}$ $f_{j}$ $U_{i}\sapka U_{j}$ $f:U\to {\mathbb {R}}$ $U$ $U_{i}$ $x$ $U$ $U_{i}$ $én$ $f$ $x$ $f_{i}(x)$ $x$ $U_{j}$ $f_{i}(x)=f_{j}(x)$ $f(x)$ $f$ $x$ $U_{i}$ $f_{i}(x)$ $f$ $U$ $U$ $f$ $U_{i}$ $f_{i}$ $f_{i}$ $f$

Valójában az így kapott köteg nem csupán készletek kötege. Mivel a folytonos függvények pontonként hozzáadhatók, hogy ismét folytonos függvényeket kapjunk, ez a köteg egyben Abel-csoportok kötege is . Mivel ezek is szaporíthatók, ez a köteg kommutatív gyűrűk kötege . Mivel a folytonos függvények egy halmazon vektorteret alkotnak R felett , ez a köteg az R feletti algebrák kötege .

Differenciálegyenletek megoldásainak kövei

Az egyszerűség kedvéért az R szóközzel fogunk dolgozni . Tegyük fel, hogy egy differenciálegyenletet adunk meg R -en , és sima megoldásokat keresünk, vagyis olyan sima függvényeket , amelyek kielégítik ezt az egyenletet. Az előző példa azt írta le, hogyan készül egy folytonos függvényekből álló köteg R -en . Egy hasonló konstrukció szó szerint, amelyben a "folyamatos" szavakat a "sima" szavak helyettesítik, használható sima függvények kötegének összeállítására az R -en . Jelöljük ezt a köteget . a sima függvények halmaza . Egyes elemek az egyenlet megoldásai . Kiderül, hogy ezek a megoldások maguk alkotnak egy köteget. $F(x,y,y',y'',...)=0$ $y:{\mathbb {R}}\to {\mathbb {R}}$ $G$ $G(U)$ $U\to {\mathbb {R}}$ $G(U)$ $F=0$

Legyen minden nyitott halmazra a sima függvények halmaza úgy, hogy . A kényszerleképezések továbbra is funkciókorlátozások, akárcsak a . minden egy üres függvényből is áll. A ragasztási axióma teszteléséhez legyen nyílt halmazok halmaza, és legyen ezek egyesítése. Legyenek metszéspontokban konzisztens elemek , azaz . Határozzuk meg ugyanúgy, mint korábban: mindig, amikor definiáljuk. Annak érdekében, hogy megbizonyosodjon arról, hogy ez továbbra is a differenciálegyenlet megoldása, vegye figyelembe, hogy az mindegyik halmazban kielégíti , mivel ott egybeesik a függvénnyel . Ezért van megoldása az egyenletnek . Annak ellenőrzéséhez, hogy mi az egyedi, a korábbiakhoz hasonlóan jegyezze meg, hogy mit határoznak meg az értékek a pontokban, és ezeknek az értékeknek meg kell egyeznie az értékekkel . Tehát az egyetlen ragasztás a funkciók , így van egy köteg. $U$ $HU)$ $y:U\to {\mathbb {R}}$ $F(x,y,y',y'',\pontok )=0$ $G$ $H(\varnothing)$ $\{U_{i}\},i\in I$ $U$ $f_{i}$ $H(U_{i})$ $f_{i}|_{{U_{i}\cap U_{j}}}=f_{j}|_{{U_{i}\cap U_{j}}}$ $f$ $f(x)=f_{i}(x)$ $f_{i}(x)$ $f$ $f$ $U_{i}$ $f_{i}(x)$ $f$ $F=0$ $f$ $f$ $f_{i}(x)$ $U_{i}$ $f$ $\{f_{i}\}$ $H$

Ne feledje, hogy minden . Ezen túlmenően, ha egy eleme a , és egy nyitott halmaz, amelyet tartalmaz , akkor a korlátozási leképezés ceruzában lévő függvényekre történő alkalmazásának eredménye ugyanaz lesz, mint a ceruzában . Ilyen esetekben a kévéről azt mondják, hogy a kéve egy alköve . $HU)$ $G(U)$ $U$ $f$ $HU)$ $V$ $U$ $V$ $f$ $H$ $G$ $H$ $G$

A differenciálegyenlettől függően előfordulhat, hogy ennek az egyenletnek két megoldását összeadva ismét megkapjuk a megoldást - például ha lineáris. Ebben az esetben ez egy csomó csoport lesz, amelynek csoportművelete függvények pontonkénti összeadásával adható meg. Általában azonban - csak egy köteg készlet, és nem egy köteg csoport vagy gyűrű. $F$ $F$ $H$ $H$

Vektormezők kötegei

Legyen egy sima elosztó . A vektormező a leképezéseken minden pontot leképez egy vektorra az érintőtértől a pontig . Szükséges, hogy simán függjön a . Definiáljunk egy köteget , amely a vektormezőkről információkat hordoz . Minden nyitott halmazt tekintsünk sima sokaságnak, és legyen az összes (sima) vektormező halmaza a -n . Más szóval, van egy olyan függvénykészlet , amely egy pontot képez le a vektorból , simán attól függően. Mivel nyitva van, . A kényszerleképezéseket vektormezők korlátozásaként definiáljuk. $M$ $V$ $M$ $x$ $M$ $V(x)$ $T_{x}M$ $M$ $x$ $V(x)$ $x$ $\mathcal{T}$ $M$ $U$ $U$ ${\mathcal {T}}(U)$ $U$ ${\mathcal {T}}(U)$ $V$ $x$ $U$ $V(x)$ $T_{x}U$ $U$ $T_{x}U=T_{x}M$

Ahhoz, hogy megmutassa, hogy van egy köteg, először vegye figyelembe, hogy csak egy üres függvényből áll, mivel az üres halmazban nincsenek pontok. Most nézzük meg a ragasztási axiómát. Legyen , nyílt halmazok halmaza, és U az uniójuk. Minden nyitott halmazon kiválasztunk egy vektormezőt , és feltételezzük, hogy ezek a mezők konzisztensek a metszéspontokban, azaz . Most definiálunk egy új V vektormezőt U - n a következőképpen: U -ból bármelyik x -hez válasszuk az x -et tartalmazó -t . Határozzuk meg V(x) -t mint . Mivel a mezők konzisztensek a metszéspontokban, V jól definiált. Sőt, V(x) egy érintővektor -ból , amely simán függ x -től, mivel simán függ x -től, és a „sima függőség” egy lokális tulajdonság. Végül V a mezők egyetlen lehetséges ragasztása , mivel V -t az értékei egyedileg határozzák meg minden x pontban, és ezeknek az értékeknek meg kell egyeznie a mező értékeivel . $\mathcal{T}$ ${\mathcal {T}}(\varnothing )$ $\{U_{i}\}$ $i\in I$ $U_{i}$ $V_i$ $V_{i}|_{{U_{i}\cap U_{j}}}=V_{j}|_{{U_{i}\cap U_{j}}}$ $U_{i}$ $V_{i}(x)$ $V_i$ $T_{x}M$ $V_{i}(x)$ $V_i$ $V_i$ $U_{i}$

Az M elosztó TM érintőkötegének felhasználásával a köteg egy másik definíciója is megadható . Tekintsünk egy természetes vetületet , amely leképez egy x pontot egy (x, v) párra , ahol x egy pont M -en , v pedig egy vektor -ból . Egy U nyitott halmazon lévő vektormező megegyezik a p vetület egy szakaszával , azaz egy olyan sima leképezéssel , hogy hol van az U -n lévő azonosságleképezés . Más szavakkal, az s szakasz egy x pontot simán társít egy (x, v) párhoz . Az s leképezés nem tud x pontot társítani egy (y, v) párhoz a feltétel miatt . Ez lehetővé teszi, hogy az érintőköteget egy érintőköteg szakaszainak kötegeként ábrázoljuk. Más szóval, tetszőleges U esetén létezik a p vetület összes szakaszának halmaza , és a restrikciós térképek a függvények szokásos korlátozása. Analógia útján a topológiai terek tetszőleges folyamatos leképezésének szakaszaiból egy köteg megszerkeszthető. $\mathcal{T}$ $p:TM\To M$ $T_{x}M$ $s:U\toTM$ $p\circ s={{\rm {id}}}_{U}$ ${{\rm {id}}}_{U}$ $y\neq x$ $p\circ s={{\rm {id}}}_{U}$ $\mathcal{T}$ ${\mathcal {T}}(U)$

A köteg mindig olyan csoportok kötege, amelyek pontszerű vektorösszeadási műveleteket tartalmaznak. Általában azonban nincs gyűrűköteg, mivel a szorzás művelete a vektorokon természetesen nincs meghatározva. $\mathcal{T}$ $\mathcal{T}$

Formális definíció

A köteg fogalmának meghatározásának első lépése a presheaf fogalmának meghatározása , amely magában foglalja a topológiai tér minden nyitott részhalmazához társított adattereket, valamint az adatok nagyobb részhalmazokról kisebb részhalmazokra való korlátozásának műveleteit. A második lépésben további korlátozások lépnek fel - a normalizálás és a ragasztás axiómáinak teljesíthetőségére vonatkozó követelmények. Az ezeknek a követelményeknek eleget tevő előkötél egy köteg.

A preheaf meghatározása

Legyen egy topológiai tér, C pedig valamilyen kategória . A C kategóriájú értékekkel rendelkező előcsavar egy szóköz fölé kerül, ha [1] : $x$ $x$ $F$

Minden nyitott részhalmaz F(U) -hoz van társítva – egy C kategóriájú objektumhoz . $U$ $x$
A nyílt halmazok minden egyes felvétele a C kategóriájú objektumok morfizmusához kapcsolódik : $V\alhalmaz U$

\rho _{{VU}}\colon F(U)\ to F(V)

Ezeket a morfizmusokat restrikciós morfizmusoknak nevezzük . E morfizmusok összességének meg kell felelnie a következő feltételeknek:

Minden nyitott halmaz esetében az objektum azonosság-morfizmusa . $U$ $\rho _{UU}$ $F(U)$
Minden kettős befogadásnál az egyenlőség $W\alhalmaz V\alhalmaz U$

\rho _{{WV}}\circ \rho _{{VU}}=\rho _{{WU}}

Az utolsó feltétel azt jelenti, hogy mindegy, hogy területről területre korlátozzuk az adatokat közvetlenül , vagy két lépcsőben - előzetes korlátozással -ra , és onnantól már - . $U$ $W$ $V$ $W$

Presheaves a kategóriaelméletben

A kategóriaelméleti szempontból egy nagyon tömör definíciót kapunk az előcsavarról. Először definiáljuk az X tér nyitott halmazainak O(X) kategóriáját, amelynek objektumai X nyitott részhalmazai , és egy ebbe a kategóriába tartozó V objektum morfizmusainak halmazát egy U objektummá abban az esetben, ha V egy részhalmaz. U , egyetlen morfizmusból áll – a V zárvány leképezéséből U -ba , és egyébként üres. Ekkor a C kategóriájú értékekkel rendelkező X szóköz feletti előcsavar bármely kontravariáns F függvény az O(X) kategóriából a C kategóriába . A presheaf ilyen definíciója további általánosítást tesz lehetővé, ha figyelembe vesszük a C -beli funktorokat , amelyek nem feltétlenül az O(X) alakú kategóriából származnak (lásd a presheaf-et (kategóriaelmélet) ).

Ha egy F elősort adunk meg egy X téren , amelynek értékei a C kategóriába tartoznak , és U az X nyitott részhalmaza , akkor az F(U) objektumot az F elősor U halmaz feletti szakaszterének nevezzük . Ha C egy meghatározott kategória , akkor az F(U) halmaz minden elemét az F szál U feletti szakaszának nevezzük , a szálas terek szakaszaihoz és a szál étateréhez analóg módon (lásd alább ). Az X feletti szakaszt globális szakasznak nevezzük . A szakaszkényszert általában a következővel jelölik . Az F(U) -t gyakran úgy is jelölik, mint , különösen a köteg-kohomológia elmélet kontextusában , amelyben az U tartomány rögzített és az F köteg változó. $\rho _{VU}(s)$ $s$ $s|_{V}$ $\gamma (U,F)$

A kéve definíciója

A kéve olyan előkötél, amelyben 2 axióma [2] tart .

$F(\varnothing)$ a C kategóriájú terminálobjektum .

Természetesen ahhoz, hogy az axióma értelmet nyerjen, a C kategóriának terminális objektummal kell rendelkeznie. A gyakorlatban általában ez a helyzet.

Azonban egy fontosabb axióma a ragasztási axióma . Emlékezzünk vissza, hogy a fent tárgyalt példákban ez az axióma megkövetelte, hogy a definíciós tartományuk metszéspontjában konzisztens adatok halmaza (a köteg szakaszai) mindig lehetővé tegye (sőt, egyedileg) ragasztásukat – egy szakasz a nyitott unió felett. halmazok, amelyeken ez a szakasz mintha részben szerepelne. Az egyszerűség kedvéért megfogalmazzuk a ragasztási axiómát abban az esetben, ha C konkrét kategória. Az általános esetre lásd a " ragasztási axióma " cikket.

Legyen nyílt halmazok halmaza az X térben , és legyen U ezek egyesülése. Adjuk meg mindegyikre egy F (elő)kötél egy szakaszát . Ezeknek a szakaszoknak a halmazát kompatibilisnek nevezzük , ha bármely i és j esetén $U_{i}$ $s_{i}\in F(U_{i})$

\rho _{{U_{i}\cap U_{j},U_{i}}}(s_{i})=\rho _{{U_{i}\cap U_{j},U_{j}} }(s_{j})

Az F ragasztási axiómája teljesül, ha

minden következetes vágáskészlet egyedi vágást határoz meg úgy, hogy minden i . $s_{i}$ $s\in F(U)$ $s_{i}=\rho _{{U_{i},U}}s$

Az s szakaszt metszetek ragasztásának ( angol ragasztásnak, összefűzésnek, összeállításnak ) nevezik , mivel mintegy kisebb szakaszokból ragasztják össze. $s_{i}$

A fenti példákban bizonyos funkciók megfeleltek a gerendák keresztmetszetének. Ilyen esetekben a ragasztási axióma a metszéspontokban egybeeső függvényekből indul ki, és egy egyedi f függvény létezését állítja, amely egyidejűleg kiterjeszti az összes függvényt az U halmazra , éppen azt, amit azokban a példákban mutattunk be annak bizonyítására, hogy egy köteg valóban szerepel bennük. . $f_{i}$ $U_{i}\sapka U_{j}$ $f_{i}$

A ragasztás axiómája gyakran két részre oszlik - a létezés axiómájára és az egyediség axiómájára. A csak az egyediség axiómáját kielégítő presheave-eket szeparálható ( angolul separated ) presheave-nek nevezzük.

További példák

Mivel a tekercsek pontosan tartalmazzák azokat az adatokat, amelyek a lokális helyzetből a globális helyzetbe való átálláshoz szükségesek, számos példa van a matematikában előforduló tekercsekre. Íme néhány további példa a csomagokra:

A topológiai terek bármilyen folyamatos leképezése meghatározza a halmazok kötegét. Legyen f : Y → X folytonos leképezés. A köteget egyenlőnek definiáljuk a leképezés összes szakaszának halmazával , azaz az összes leképezés halmaza : U → Y úgy , hogy a kényszermorfizmusokat a leképezés szokásos megszorítása adja meg a definíciós tartomány részhalmazaira. . Ezt a köteget f szakaszok kötegének nevezzük , és különösen akkor fontos, ha f a rostos tér vetülete az alapterére . Meg kell jegyezni, hogy abban az esetben, ha f képe nem tartalmazza teljes egészében U -t, a halmaz üres. Konkrét példaként veheti a és . Ekkor a logaritmusnak sok ága van a halmazon . $\Gamma (Y/X)$ $\Gamma (Y/X) (U)$ $f|_{U}:U\-ig$ $\Gamma (Y/X) (U)$ $fs=id_{U}.$ $\Gamma (Y/X) (U)$ $\scriptstyle X=\mathbb {C} \backslash 0,$ $\scriptstyle Y=\mathbb {C}$ $f(z)=\exp(z)$ $\Gamma (Y/X) (U)$ $U$
Legyen M egy C k -sokaság (k simasági sokaság). Minden nyitott U részhalmazhoz M -ben U → R -t az összes C k -sima függvény halmazaként definiáljuk . A restrikciós morfizmusok szokásos függvénykorlátozások. Aztán van egy köteg gyűrűk összeadása és szorzása függvények pontonkénti összeadásával és szorzásával. Ezt a kévét nevezzük M szerkezeti kéjének . ${\mathcal {O}}_{M}(U)$ ${\mathcal {O}}_{M}$
Minden j ≤ k esetén egy lánc is definiálva van M felett , amelyet az M -en lévő j -szeres folytonosan differenciálható függvények kötegének nevezünk . a tekercsnek egy részsorozata, amely egy nyitott U halmazon meghatározza az összes C j -függvény halmazát U -n . ${\mathcal {O}}_{{M,j}}$ ${\mathcal {O}}_{{M,j}}$ ${\mathcal {O}}_{M}$
A nullák nélküli függvényköteg M felett van definiálva. Ez azt jelenti, hogy minden U - hoz ott van az U -n lévő összes valós értékű függvény halmaza, amely nem tűnik el. Ez egy csomó csoport, amelynek csoportművelete függvények pontonkénti szorzásával van megadva. ${\mathcal {O}}_{X}^{\times }$ ${\mathcal {O}}_{X}^{\times }(U)$
M -nek van egy Ω M kotangens kéve is . Minden nyitott U , Ω M ( U ) halmazon van egy 1. fokú differenciálforma halmaz az U -n . A kényszermorfizmusok a differenciálformák szokásos kényszerei. Hasonlóképpen, bármely p > 0 esetén a differenciális p-formák Ω p kötege definiálva van.
Ha M egy sima sokaság, minden U nyitott halmaz esetén a halmaz az összes valós értékű eloszlás ( általánosított függvény ) halmaza U -n . A korlátozásokat a funkciók korlátozása határozza meg. Ezután általánosított függvények kötegévé válik . ${\mathcal {DB}}(U)$ ${\mathcal {DB}}$
Legyen X egy komplex sokaság, U pedig X nyitott részhalmaza , amelyet U -n véges rendű holomorf differenciáloperátorok halmazaként definiálunk . Ha a megszorítást közönséges függvénykényszerként adjuk meg, akkor a holomorf differenciáloperátorok köteget kapunk . ${\mathcal {D}}_{X}(U)$ ${\mathcal {D}}_{X}$
Rögzítünk egy x pontot az X -ből és néhány C kategóriájú S objektumból . Az S szálas x feletti felhőkarcoló egy S x köteg , amelyet a következőképpen definiálunk: Ha U egy x - et tartalmazó nyitott halmaz , akkor S x ( U ) = S , ellenkező esetben S x ( U ) a C kategóriájú terminális objektum . A restrikciós térképek vagy egy S objektum identitásmorfizmusa, ha mindkét nyitott halmaz tartalmaz x -et, vagy S ugyanaz az egyedi morfizmusa a C kategóriájú terminális objektumra .

Egyes matematikai struktúrákat olyan terekként határozzák meg, amelyeken egy rögzített köteg található. Például azt a szóközt, amely felett (rajta) egy csomó gyűrű található, gyűrűs szóköznek nevezzük . Ha egy köteg minden szála (lásd alább) lokális gyűrű , akkor ez egy lokálisan gyűrűzött tér . Ha a lokális gyűrűk kötegének szakaszai lokálisan reprezentálhatók valamilyen kommutatív gyűrű elemeiként, akkor a sémát kapjuk .

Íme 2 példa azokra az előcsavarokra, amelyek nem kötegelők:

Legyen egy kétpontos topológiai tér diszkrét topológiával. Az F preheaf -et a következőképpen definiáljuk: A kényszerleképezés az első komponensre, a kényszerleképezés pedig a második komponensre való vetület . egy presheaf, amely nem szeparálható: bármely globális szakasz három számmal van definiálva, de a feletti szakaszok (nyitott halmazok) és csak kettőt határoznak meg. Bár a pontok fölé adott két szakasz ragasztható , az ilyen ragasztásnak nincs egyedisége. $\scriptstyle X$ $\scriptstyle \{x,y\}$ $\scriptstyle F(\varnothing )=\{\varnothing \},$ $\scriptstyle F(\{x\})=\mathbb{R},$ $\scriptstyle F(\{y\})=\mathbb{R},$ $\scriptstyle F(\{x,y\})=\mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R}.$ $\scriptstyle F(\{x,y\})\ to F(\{x\})$ $\scriptstyle \mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ $\scriptstyle F(\{x,y\})\ to F(\{y\})$ $\scriptstyle \mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ $\scriptstyle F$ $\scriptstyle \{x\}$ $\scriptstyle \{y\}$ $\scriptstyle \{x\}$ $\scriptstyle\{y\},$

Legyen X egy komplex sík , és az U nyitott részhalmazaihoz a szokásos restrikciós leképezésekkel tesszük fel F ( U ) korlátos holomorf függvények halmazát U -ra. Ez nem lesz gerenda, mivel a ragasztás ebben az esetben nem mindig lehetséges. Például legyen U r nyitott lemez | z | < r . Az f ( z )= z függvény minden U r lemezen korlátos . Ezért az U r-en konzisztens s r szakaszokat kapunk ( amelyek az f ( z ) függvény U r-re vonatkozó korlátozásai ) . A ragasztást azonban nem teszik lehetővé, mivel az f függvény nem korlátos a teljes komplex síkon. Ennélfogva F egy előkötél, de nem köt. Vegyük észre, hogy F elválasztható, mert az X -en lévő holomorf függvények kötegének egy része .

Kagylómorfizmusok

Mivel a tekercsek X minden nyitott részhalmazához társított adatokat tartalmaznak , a köteg-morfizmust leképezések halmazaként határozzuk meg, minden nyitott halmazhoz egyet, amely megfelel bizonyos konzisztenciafeltételeknek.

A kévék egy speciális előkötvények, ahogyan az Abel-csoportok is a csoportok speciális esetei (a kévék egy teljes alkategóriát alkotnak a presheaves kategóriában). Más szóval, a kévék morfizmusa ugyanaz, mint az előszövegek kategóriájában lévő morfizmus, de olyan tárgyak között, amelyek kévék; a ragasztási axiómát semmilyen módon nem használjuk a morfizmus meghatározásában.

Kévés morfizmusok egy szóközön

Ebben a részben az összes tárcsa az X tér felett van definiálva, és egy rögzített C kategóriába tartozó értékeket vesz fel (amikor a morfizmusok magjáról és kokszmagjáról beszélünk, feltételezzük, hogy C egy Abel-kategória ).

Legyen és legyen két ilyen köteg. Az X-en lévő C-korongok morfizmusa X minden U nyitott halmazához egy morfizmust társít , így ezek a morfizmusok kompatibilisek egymással és a két tárcsa restrikciós leképezéseivel. Más szavakkal, minden V nyitott halmazhoz és nyitott U részhalmazához van egy kommutatív diagram : ${\mathcal {F}}$ ${\mathcal {G}}$ $\varphi \colon {\mathcal {G}}\ to {\mathcal {F}}$ $\varphi _{U}\colon {\mathcal {G}}(U)\to {\mathcal {F}}(U),$

Ez a konzisztenciafeltétel azt jelenti, hogy a G lánc minden s szakasza egy V nyitott halmazon az F lánc V feletti valamely szakaszához kapcsolódik , és a V halmaz egy nyitott U részhalmazára vonatkozó korlátozásaik egy morfizmussal kapcsolódnak egymáshoz . ( Egy s szakasz V -képére vonatkozó korlátozás megegyezik a V -re való korlátozásának -képével .) $\varphi _{V}(s)$ $\varphi _{U}$ $\varphi _{U}$ $\varphi _{V}$

Az az egyszerű tény, hogy a tekercsek morfizmusa izomorfizmus (azaz inverz morfizmusa van), pontosan akkor, amikor minden morfizmus izomorfizmus (visszafordítható). Ugyanez igaz a monomorfizmusokra , és nem igaz az epimorfizmusokra . Ez annak a ténynek köszönhető, hogy a tekercsek morfizmusának magja mindig egy köteg, míg a kép és a cokernel nem biztos, hogy az (de mindig elkülöníthető előkötél lesz). Lásd a " Kévék kohomológiája " című cikket . $\varphi _{U}$

Kagylómorfizmusok különböző tereken

Továbbá a tárcsák egy rögzített C kategóriájú értékeket vesznek fel , de különböző helyeken is meghatározhatók.

Legyen X és Y topológiai terek, amelyeken O X és O Y tárcsa van definiálva . Egy ( X , O X ) pár ( Y , O Y ) morfizmusát a következő adatok adják meg:

Folyamatos leképezés f : X → Y
a φ V : O Y ( V ) → O X ( f −1 ( V )) C - morfizmusok családja az Y tér minden V nyitott részhalmazára , amelyek restrikciós leképezésekkel ingáznak. Azaz, ha V 1 ⊂ V 2 Y két nyitott részhalmaza , a következő diagramnak kommutatívnak kell lennie (a függőleges nyilak részhalmaz restrikciós morfizmusai):

Ez a definíció arra is alkalmas, hogy meghatározzuk a különböző terek feletti előcsavarok morfizmusát.

A presheaf-hez tartozó köteg

Gyakran hasznos, ha az előgerendát alkotó adatokat egy köteg segítségével ábrázoljuk. Kiderült, hogy van egy nagyon kényelmes eljárás, amely lehetővé teszi ezt. Vegyünk egy előköteget , és készítsünk egy új kévet , amelyet a presheaf - hez társított kötegnek neveznek . társított kagylófunktornak nevezik ( angolul sheaving functor, sheafification functor, associated sheaf functor ). Létezik egy természetes presheaf morfizmus azzal az univerzalitási tulajdonsággal, hogy bármely kéve és presheaf morfizmusa esetén létezik egy egyedi köteg morfizmus , amely . Valójában van egy járulékos funktor a tekercsek kategóriájának beágyazó funkciójához a presheaves kategóriájába, és van egy konjugációs egység . $F$ $aF$ $F$ $a$ $i:F\to aF$ $G$ $f:F\ to G$ ${\tilde f}:aF\ to G$ $f={\tilde f}\cdot i$ $a$ $én$

Gerenda szakaszok csírái

A kötegréteg lehetővé teszi a kéve tulajdonságainak leírását az x ∈ X ponthoz „közel” . Itt a "közel" azt jelenti, hogy a pont lehető legkisebb környékét nézzük . Természetesen egyetlen környék sem elég kicsi önmagában, de figyelembe vehetjük a határukat (vagy pontosabban a colimit ). ${\mathcal {F}}_{x}$ ${\mathcal {F}}$

Az x pont feletti réteget a következőképpen határozzuk meg

{\mathcal {F}}_{x}=\varinjlim _{{U\ni x}}{\mathcal {F}}(U),

az x pont összes környezetének közvetlen határa . Más szóval, a réteg egy eleme a köteg egy szakasza az x szomszédságában, és két ilyen szakasz megfelel a köteg egy elemének, ha az x pont valamely szomszédságára ugyanaz a korlátozás vonatkozik .

Az F ( U ) → F x természetes morfizmus egy F ( U ) szomszédságában lévő s szakaszt visz csírájába . Ez általánosítja a csíra szokásos definícióját .

Történelem

1936-ban P. S. Aleksandrov egy fedőideg felépítését javasolta , amely egy tetszőleges nyitott burkolatot egy egyszerű komplexummal társít .
1938-ban Hassler Whitney megadta a kohomológia „modern” definícióját, összefoglalva az azóta végzett munkát, amióta Alexander és Kolmogorov meghatározta a kochainokat .
Jean Leray 1945-ben publikálta a német fogságban végzett munka eredményeit, amely a nyalábok és spektrális sorozatok elméletét eredményezte .
1948-ban egy cartani szemináriumon először írták le teljesen a kévék elméletének kezdeteit.
1950-ben a Cartan szemináriumon a kévék elméletének "második változatát" javasolták - a kéve étale terének meghatározását és a rétegek szerkezetét használják. Ugyanakkor Kiyoshi Oka felvetette az ideálok kötegének ötletét.
1954-ben Serre megírta a Faisceaux algébriques cohérents (1955-ben megjelent) című dolgozatot, amely a kévék alkalmazásának kezdetét jelentette az algebrai geometriában . Ötleteit azonnal átvette Hirzebruch , aki 1956-ban írt egy jelentős könyvet az algebrai geometria topológiai módszereiről.
1955-ben Grothendieck Kansasban tartott előadásaiban meghatározza az Abeli-kategóriát és a presheaf-et, és az injektív felbontások segítségével lehetővé teszi a tekercsek kohomológiájának használatát egy tetszőleges topológiai térben származtatott függvényként .
1957-ben Grothendieck az algebrai geometria igényeinek megfelelően kidolgozza a tekercsek elméletét, bevezetve a következő fogalmakat: sémák és általános tárcsák, helyi kohomológia , származtatott kategóriák és Grothendieck topológiák .

Lásd még

Topoi elmélet

Jegyzetek

↑ Schwartz, 1964 , p. 181.
↑ Schwartz, 1964 , p. 180.

Irodalom

Bredon, Glen E. (1997) Sheaf theory - vol. 170 (2. kiadás), Graduate Texts in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, MR 1481706 , ISBN 978-0-387-94905-5 (hagyományos topológiai alkalmazások felé orientálva) (angol)
Godement, Roger (1973) Topologie algébrique et théorie des faisceaux – Párizs: Hermann, MR 0345092 (fr.)
Grothendieck, Alexander (1957), Sur quelques points d'algèbre homologique, The Tohoku Mathematical Journal. Second Series Vol. 9: 119–221, ISSN 0040-8735
Hirzebruch, Friedrich (1995) Topológiai módszerek az algebrai geometriában – Classics in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, MR 1335917 , ISBN 978-3-540-58663-0 (egy klasszikus frissített kiadása, amely elegendő mennyiségű elméletet tartalmaz az ereje )
Kashiwara, Masaki & Schapira, Pierre (1990) Sheaves on osztók - vol. 292, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [A matematikai tudományok alapelvei], Berlin, New York: Springer-Verlag, MR 1074006 , ISBN 978-3-540-51861-7 (fejlett technikák és a legeltűnőbb ciklusokból származó kategória ésszerű terek (angol)
Mac Lane, Saunders & Moerdijk, Ieke (1994) Keverékek a geometriában és a logikában - Universitex, Berlin, New York: Springer-Verlag, MR 1300636 , ISBN 978-0-387-97710-2 ( a kategóriaelmélet és a topózok kiemelve)
Serre, Jean-Pierre (1955), Faisceaux algébriques cohérents , Annals of Mathematics (The Annals of Mathematics, Vol. 61, No. 2). — T. 61(2): 197–278, ISSN 0003-486X , doi : 10.2307/1969915 , < http://www.mat.uniroma1.it/people/arbarello/FAC.pdf >
Swan, R. G. (1964) The Theory of Sheaves – University of Chicago Press (tömör előadásjegyzet) (angol)
Tennison, BR (1975) Sheaf theory – Cambridge University Press , MR 0404390 (pedagógiai kezelés )
Schwartz L. Komplex analitikai elosztók. Elliptikus egyenletek parciális deriváltokkal. - M . : Mir, 1964. - 212 p.

Szótárak és enciklopédiák	Nagy orosz Britannica (online)
Bibliográfiai katalógusokban	J9U : 987007536441005171 LCCN : sh85121203