Calabi-Yau tér

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. április 14-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A Calabi-Yau tér ( Calabi-Yau elosztó ) egy kompakt komplex elosztó , Kähler-metrikával , amelynél a Ricci-tenzor eltűnik. A szuperhúrelméletben néha azt feltételezik, hogy a téridő extra dimenziói egy 6 dimenziós Calabi-Yau sokaság formáját öltik, ami a tükörszimmetria gondolatához vezet . A nevet 1985-ben [1] találták ki, Eugenio Calabi tiszteletére , aki először javasolta [2] [3] , hogy létezhetnek ilyen dimenziók, és Yau Shintuna , aki 1978-ban bebizonyította [4] Calabi sejtését .

Az összetett -dimenziós Calabi-Yau tér egy -dimenziós Riemann-féle sokaság Ricci-lapos metrikával és egy további szimplatikus szerkezettel. $n$ $2n$

Irányíthatóság és holomorf tájékozódás

A sima elosztókat orientálható és nem tájolható részekre osztják. Történelmileg a nem tájolható elosztó első példája a Möbius-szalag volt (és bizonyos értelemben ez a legfontosabb példa: egy kétdimenziós sima elosztó akkor és csak akkor nem tájolható, ha tartalmaz Möbius-szalagot). A differenciálformák tekintetében az orientálhatósági feltételt a következőképpen fogalmazzuk meg: egy sokaság akkor és csak akkor orientálható, ha beenged egy sehol el nem tűnő legmagasabb fokú differenciálformát ( térfogatforma ). Geometriában a nem tájolható elosztók inkább érdekességnek számítanak, mivel minden nem tájolható elosztó beenged egy dupla fedelet , amelynek teljes tere tájolható (ún. orientáló burkolat). Kényelmes megszerkeszteni a vektorkötegek elméletével . Nevezetesen figyelembe kell vennünk a kotangens köteg legmagasabb külső fokát – más szóval, minden pont fölött egy valós vonalat lógatva, amely ezen a ponton paraméterezi a térfogat minden lehetséges formáját az érintőtéren, minden rétegben válassza ki a skaláris szorzatot (a például az egység osztását használva , majd figyelembe véve benne egységnyi hosszúságú vektorokat (azaz minden pont felett két vektort). A pontban lévő érintőteret , ahol p a sokaságunk egy pontja, a pedig egy nem nulla térfogatelem, izomorf módon vetítjük rá -ra , és egy -vel egyenlő térfogatelemet beiktatva egy sehol eltűnő, legnagyobb fokú alakot kapunk. ennek a burkolatnak a teljes területe. Hasonló konstrukció, amikor minden pontot egy olyan térrel helyettesítünk, amely ezen a ponton mindenféle, bizonyos természetű struktúrát (jelen esetben egy pontpárt) paraméterez, majd a kapott szálas térre valamilyen struktúrát vezetünk be . bonyolult eseteket twistor konstrukciónak nevezzük . $(p,\nu )$ $\nu \in \Lambda ^{n}T_{p}^{*}$ $T_{p}$ $\nu$

A fentiek mindegyike csak a valódi sima sokaságra vonatkozik (vagyis olyan térképekből áll, amelyek közötti átmeneti függvények végtelenül differenciálhatók). A komplex geometriában a következőket lehet megadni

Meghatározás. Legyen összetett dimenziójú összetett sokaság . Kanonikus kötegnek nevezzük azt a holomorf köteget, amelynek rostja egy ponton összetett külső erő . Ha egy sokaság befogadja a kanonikus köteg sehol sem elfajult holomorf szakaszát, azt Calabi-Yau sokaságnak , ezt a szakaszt pedig holomorf térfogatformának nevezik . $x$ $n$ $K_{X}$ ${\displaystyle K_{x))$ $x\X-ben$ $\Lambda _{\mathbb {C} }^{n}T_{x}^{*}$ $x$

Például, amikor egy komplex görbe vagy egy Riemann-felület , a kanonikus köteg csak egy holomorf kotangens köteg. Metszetei holomorf 1-formák, vagy Abel-differenciálok . Az egyetlen Riemann-felület, amely lehetővé teszi a nullák nélküli Abeli-differenciált, a tórusz, azaz az elliptikus görbe . $x$

Ugyanakkor van némi zavar a terminológiában (amit az alábbiakban magyarázunk): néha a Calabi-Yau fajták szükségesek ahhoz, hogy eltüntessék (vagy legalábbis végessé) az alapvető csoportot. Egyes szerzők még ennél is tovább mennek, és a "Calabi-Yau" definícióját csak azokra a sokaságra utalják, amelyeknél a Hodge-számok mindegyike egyenlő nullával (egy gyengébb konvenció hívei "szigorú Calabi-Yau"-nak nevezik az ilyen sokaságot). Szinte minden szerző megköveteli a Kähleri -feltételt , amely eleve nincs összefüggésben egy holomorf kötetforma jelenlétével. Végül a matematikusok számára, hacsak másképp nem jelezzük, a Calabi-Yau sokaságot kompaktnak tekintik, de a nem kompakt Calabi-Yau sokaságok is fontosak az alkalmazásokban: ilyen esetekben szokás a definícióban szerepeltetni az aszimptotikus feltételt. a holomorf térfogatforma viselkedése a végtelenben. A Calabi-Yau elosztók differenciálgeometriai tulajdonságaihoz kapcsolódó definíciónak más változatai is vannak. Mindezekkel összefüggésben a fenti definíciónak megfelelő sokréteket a szakzsargonban néha "holomorfikusan orientálhatónak" nevezik . A továbbiakban a "Calabi-Yau" kifejezés alatt egy kompakt Kähleri-féle holomorfikusan orientálható sokaságot értünk. $h^{p,0}$ $0<p<n$

Egy általános komplex elosztóból, amely nem holomorf módon orientálható, lehetetlen Calabi-Yau elosztót előállítani bármilyen egyszerű konstrukcióval, például orientáló burkolattal. Valójában az összetett köteg jellemző osztálya az első Chern osztály . Ahhoz, hogy holomorf kötetformát (vagyis trivializációt ) kapjunk, ezt az osztályt semmisíteni kell. Összehasonlításképpen, a valódi vonalkötegek jellemző osztályai, a Stiefel-Whitney osztályok értéket vesznek fel , a kohomológiai csoport pedig a maradékgyűrűben lévő együtthatókkal modulo two, és nem meglepő módon eltűnik egy megfelelő kettős lefedés után. $K$ $c_{1}(K_{X})\in H^{2}(X,\mathbb {Z} )$ $K_{X}$ $H^{1}(X,\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )$

Ricci-lapos metrika

A Kähleri-féle sokaságokon a Ricci-görbületnek van egy figyelemre méltó tulajdonsága: ha egy összetett szerkezet operátora, akkor az így definiált 2-forma zárt, és a kanonikus köteg kohomológiai osztályába, a Chern osztályába tartozik. Ez igazolható például a kanonikus köteg görbületének explicit koordinátaszámításával egy Kähler-sokaton, és igazolható a Chern-Weil elmélet segítségével . Az alakzatot Ricci alakzatnak nevezik . $én$ $\rho (x,y)=\mathrm {Ric} (Ix,y)$ $c_{1}(K)$ $\rho$

Calabi hipotézisét (1954, 1957) gyakorlatilag ő oldotta meg – csak egy rendkívül finom elemző mozzanat, amelynek nem volt közvetlen kapcsolata a geometriával, nem engedett neki. Miután ezt az analitikus állítást Yau (1977, 1978) bebizonyította, joggal nevezik Calabi-Yau tételnek (vagy Yau megoldásának a Calabi-sejtésre ).

Tétel. Legyen egy kompakt Kähler elosztó, annak Kähler formája, és legyen valamilyen forma, amely az első Chern osztályt képviseli. Ekkor létezik egy Kähler-metrika , amelynek Kähler-alakja ugyanabba a kohomológiai osztályba tartozik, mint (azaz a forma pontos), a metrika Ricci-alakja pedig . ${\megjelenítési stílus (X,g)}$ $\omega$ $R\in c_{1}(K_{X})$ $x$ ${\tilde {g))$ ${\tilde {\omega ))$ $\omega$ ${\tilde {\omega }}-\omega$ ${\tilde {g))$ $R$

Egy Calabi-Yau sokaság esetén alkalmazhatjuk a tételt a formára , és kaphatunk egy nem triviálist $c_{1}(K_{X})=0$ $R=0$

Következmény. A Calabi-Yau elosztón minden Kahler-osztály elfogad egy Ricci-lapos mérőszámot.

Ugyanakkor egy Kähler-sokaság Ricci-görbületének eltűnése még nem jelenti a kanonikus köteg trivialitását (és ennek megfelelően egy holomorf kötetforma jelenlétét): természetesen a Ricci-forma osztálya a de Rham-kohomológia nulla lesz, de ez nem zárja ki azt a tényt, hogy az integrál Chern osztály nem nulla osztály a torziós alcsoportban . Néha az ilyen fajták is szerepelnek a Calabi-Yau fajták meghatározásában. $[\rho ]\in H_{\mathrm {dR} }^{2}(X)$ $c_{1}(K_{X})$ $H^{2}(X,\mathbb {Z} )$

A Ricci-lapos Kahleri-metrika Levi-Civita kapcsolata nemcsak a hermitiánus szerkezetet őrzi meg érintőterekben (vagyis holonómiája nem csak a csoportban $\mathrm {U} (n)$ rejlik ), ahogy ez bármely Kahleri-féle sokaságon megtörténik, hanem a holomorf térfogatformát is ( vagyis a holonómia a csoportban ${\mathrm {SU}}(n)$ rejlik ) . Ez az egyik csoport a Berger-táblázatban , és ez alkotja a Calabi-Yau sokaságok differenciálgeometriai definícióját. A differenciálgeométerek rutinszerűen megtagadják a "Calabi-Yau" nevet azoktól az elosztóktól, amelyeken a Levi-Civita kapcsolat holonómiacsoportja szigorúan szerepel (mint például a tórusz lapos metrikáinál), és nem pontosan egyenlő ezzel a csoporttal. . ${\mathrm {SU}}(n)$

Példák és osztályozás

Az egydimenziós esetben bármely Calabi-Yau tér tórusz , amelyet elliptikus görbeként kezelünk . Általánosságban elmondható, hogy bármely dimenziójú komplex tórusz egy Calabi-Yau sokaság. A Ricci-lapos metrika ebben az esetben egyszerűen egy lapos metrika, és ez az egyetlen ismert eset, amikor emészthető képletben írható fel. $\mathbf {T} ^{2}$

Minden kétdimenziós Calabi-Yau tér tori és úgynevezett K3 felület . A magasabb dimenziókba való besorolás nem teljes, beleértve a fontos háromdimenziós esetet is. Példa a -dimenziós Calabi-Yau sokaságra egy B fokú sima hiperfelület ( vagy általában egy sima antikanonikus osztó – vagyis a köteg kanonikushoz képest duális szakaszának nulla szintje – minden olyan elosztón, ahol az antikanonikus köteg szakaszokat engedélyez). $\mathbf {T} ^{4}$ $n$ $n+2$ $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{n+1}$

Bogomolov dekompozíciós tétele

A Calabi-Yau sokaságok elméletének fontos szerkezeti eredménye a Bogomolov (néha Beauville -Bogomolov ) dekompozíciós tétel .

Tétel. Bármely kompakt Kähler-elosztó , amelynek holomorf térfogata van (és ennek megfelelően egy Ricci-sík metrikája), beenged egy véges burkolatot , amely ortogonális szorzatra bomlik , ahol: $x$ $X'\to X$ ${\displaystyle X'=T\times \prod _{i=1}^{m}Y_{i}\times \prod _{j=1}^{k}Z_{j))$

$T$ egy összetett tórusz lapos metrikával,
$Y_{i}$ szigorú Calabi-Yau sokaság, azaz olyan, hogy for és , $h^{p,0}(Y_{i})=0$ ${\displaystyle 0<p<\dim Y_{i))$ $h^{0,0}(Y_{i})=h^{\dim Y_{i},0}(Y_{i})=1$
${\displaystyle Z_{j))$ redukálhatatlanul holomorf szimplektikus sokaság , azaz olyan, hogy és . $h^{2p,0}(Z_{j})=1$ $h^{2p+1,0}(Z_{j})=0$

Itt vannak a Hodge-számok . A holomorf szimplektikus sokaságokat a differenciálgeometria hyperkähler- sokatóként is ismeri (a nómenklatúra ebben az esetben, akárcsak a Calabi-Yau sokaságok esetében, kissé zavaros). ${\displaystyle h^{p,q))$

Egy korábbi Calabi-tétel, amelyet az ő nevének hipotézise alapján igazoltak, hasonló tényt állított fel, de nem tett különbséget a szigorú Calabi-Yau és az irreducibilis, holomorf szimplektikus sokaságok között. [5] A tételt 1974-ben Bogomolov igazolta (zárójelben lévő megjegyzés nélkül, akkor még nem állapították meg) A Kähleri-féle sokaságok triviális kanonikus osztállyal történő dekompozíciójáról című tanulmányában . [6] 1978-ban Bogomolov ezt az eredményt használta annak bizonyítására, hogy a holomorf szimplektikus sokaságok osztályát kimerítik a K3 felületek . Ez a bizonyíték tévesnek bizonyult: 1983-ban Beauville példákat hozott holomorf szimplektikus sokaságra ( a Hilbert-séma a K3-felület pontjairól vagy az Abeli-felület nullával összegző pontjainak Hilbert-séma, az ún. általánosított Kummer elosztó ). Ezzel egyidejűleg Bogomolov tételének egy másik, differenciálgeometriai bizonyítását adta, amely Yau Calabi-sejtésre adott megoldásán alapult. [7] $n$ $n+1$

Használata a húrelméletben

A húrelmélet háromdimenziós (valós dimenziós 6) Calabi-Yau sokaságot használ a tér-idő tömörítés rétegeként , így a négydimenziós téridő minden pontja egy Calabi-Yau térnek felel meg.

Ismeretes, hogy több mint 470 millió 3D Calabi-Yau tér [8] elégíti ki a húrelmélet extradimenziós követelményeit.

A húrelmélet egyik fő problémája (a fejlődés jelenlegi állapotát figyelembe véve) egy olyan minta a háromdimenziós Calabi-Yau terek jelzett kielégítő részhalmazából, amely a legmegfelelőbb indoklást adná a családok számára és összetételére. ismert részecskék. A Calabi-Yau terek szabad megválasztásának jelenségét és ezzel összefüggésben a húrelméletben hatalmas számú hamis vákuum megjelenését a húrelmélet tájproblémájaként ismerik . Ugyanakkor, ha ezen a területen az elméleti fejlemények egyetlen Calabi-Yau tér kiválasztásához vezetnek, amely megfelel az extra dimenziókkal szemben támasztott összes követelménynek, ez nagyon nyomós érv lesz a húrelmélet igazsága mellett [9] .

Jegyzetek

↑ Candelas, Fülöp; Horowitz, Gary; Strominger, Andrew és Witten, Edward (1985), Vákuumkonfigurációk szuperhúrokhoz , Nuclear Physics B. 258: 46–74 , DOI 10.1016/0550-3213(85)90602-9
↑ Calabi, Eugenio (1954), The space of Kähler metrics, Proc. Internat. Kongresszusi matematika. Amszterdam , p. 206–207
↑ Calabi, Eugenio (1957), A Kähler sokaságokról eltűnő kanonikus osztályokkal, Algebrai geometria és topológia. Szimpózium S. Lefschetz tiszteletére , Princeton University Press , p. 78-89, MR : 0085583
↑ Yau, Shing Tung (1978), Egy kompakt Kähler-sokató Ricci-görbületéről és az összetett Monge-Ampère egyenletről. I , Communications on Pure and Applied Mathematics 31 (3): 339-411, MR : 480350 , ISSN 0010-3640 , DOI 10.1002/cpa.3160310304
↑ E. Calabi. Kähler sokaságon eltűnő kanonikus osztállyal , algebrai geometriával és topológiával. Szimpózium S. Lefschetz tiszteletére, pp. 78–89. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1957.
↑ F. A. Bogomolov. On the decomposition of Kählerian sokaság egy triviális kanonikus osztállyal Archiválva : 2013. július 27., a Wayback Machine Mat. Ült. , 1974, 93. kötet (135), 4. szám, 573-575.
↑ A. Beauville. Variétés Kähleriennes dont la première classe de Chern est nulle Archivált : 2019. december 21., a Wayback Machine , J. Differential Geom., 18. kötet, 4. szám (1983), 755-782.
↑ Shintan Yau , Steve Nadis. Húrelmélet és az Univerzum rejtett dimenziói. - Szentpétervár. : Piter Kiadó, 2016. - 400 p. - ISBN 978-5-496-00247-9 .
↑ B. Zöld Elegáns Univerzum. Szuperhúrok, rejtett dimenziók és a végső elmélet keresése . Per. angolból, tábornok szerk. V. O. Malysenko, - M. : SzerkesztőségURSS, 2004. - 288 p. — ISBN 5-354-00161-7 .

Irodalom

Tian, Gang & Yau, Shing-Tung (1990), Komplett Kähler elosztók nulla Ricci görbülettel, I , Amer. Math. szoc. Vol. 3 (3): 579–609 , DOI 10.2307/1990928
Tian, Gang & Yau, Shing-Tung (1991), Komplett Kähler elosztók nulla Ricci görbülettel, II , Invent. Math. V. 106 (1): 27–60 , DOI 10.1007/BF01243902