Stiefel-Whitney osztály

A Stiefel-Whitney osztály a valós vektorkötegnek megfelelő specifikus jellemző osztály . Általában jelöli . Az értékeket -ben veszi fel , egy kohomológiai gyűrűt együtthatókkal -ban . $E\rightarrow X$ $w(E)$ $H^{*}(X;\;\mathbb {Z} _{2})$ $\mathbb {Z} _{2}=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$

A kohomológiában lévő komponenst a köteg th Stiefel-Whitney osztályának nevezzük , így $w(E)$ $én$ $H^{i}(X;\;\mathbb {Z} _{2})$ $w_{i}(E)$ $én$ $E$

w(E)=w_{0}(E)+w_{1}(E)+w_{2}(E)+\ldots \,.

Az osztályok akadályozzák a . vázon határolt . lineárisan független szakasz felépítését . $w_{i}(E)$ $H^{i}(X;\;\mathbb {Z} _{2})$ ${\megjelenítési stílus (n-i+1)}$ $E$ $én$ $x$

Axiomatikus definíció

Itt és lent egy tér szinguláris kohomológiáját jelöli együtthatókkal a csoportban . $H^{i}(X;\;G)$ $x$ $G$

A Stiefel-Whitney osztály egy olyan leképezés, amely a homológiagyűrű egy elemét rendeli hozzá egy köteghez oly módon, hogy a következő axiómák teljesüljenek: $E$ $w(E)$

Természetesség :bármely köteghezés leképezéshez, ahola megfelelő indukált köteget jelöli. $w(f^{*}E)=f^{*}w(E)$ $E\to X$ $f:X'\to X$ $f^{*}E$ $X'$
$w_{0}(E)=1$ -ban . $H^{0}(X;\;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )$
$w_{1}(\gamma ^{1})$ egy generátor (normalizációs feltétel). Íme a tautológiai köteg . $H^{1}(\mathbb {R} P^{1};\;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ $\gamma ^{1}$
$w(E\oplus F)=w(E)\smallsmile w(F)$ ( Whitney termékformula ).

Kimutatható, hogy az ezeket az axiómákat kielégítő osztályok valóban léteznek és egyediek (legalábbis egy parakompakt térben ) [1] $x$

Kezdeti építés

A Stiefel-Whitney osztályokat E. Stiefel és H. Whitney javasolta 2 osztály modulo redukciójaként, amelyek az akadályokat mérik a th. csontvázon határolt, lineárisan független szakasz felépítésében . (Itt látható a rostszál mérete ). $w_{i}(E)$ ${\megjelenítési stílus (n-i+1)}$ $E$ $én$ $x$ $n$ $F$ $E$

Pontosabban, ha egy CW-komplex , Whitney osztályokat definiált a th celluláris kohomológia csoportban nem szabványos együtthatókkal. $x$ $W_{i}(E)$ $én$ $x$

Ugyanis a rétegbeli lineárisan független vektorból származó halmazok Stiefel-sokaságának -. homotópiacsoportját vesszük együtthatónak . Whitney bebizonyította, hogy az általa megszerkesztett osztályokra akkor és csak akkor, ha a -skeletonra korlátozódó kötegnek van lineárisan független szakasza. $(i-1)$ $V_{n-i+1}(F)$ $n-i+1$ $F$ $W_{i}(E)=0$ $E$ $én$ $x$ $n-i+1$

Mivel egy Stiefel-fajta homotópiacsoportja mindig végtelenül ciklikus vagy izomorf , az osztályokat kanonikusan osztályokká redukálják , amelyeket Stiefel-Whitney osztályoknak neveznek . $\pi _{i-1}V_{n-i+1}(F)$ $\mathbb{Z } _{2}$ $W_{i}(E)$ $w_{i}(E)\in H^{i}(X;\;\mathbb {Z} _{2})$

Különösen, ha , akkor ezek az osztályok egyszerűen egybeesnek. ${\displaystyle \pi _{i-1}V_{n-i+1}(F)=\mathbb {Z} _{2))$

Kapcsolódó definíciók

Ha egy dimenziósokaságon dolgozunk , akkor a Stiefel-Whitney általános fokú osztályok bármely terméke párosítható ennek a sokaságnak a -alapvető osztályával , ami egy elemet eredményez ; az ilyen számokat a vektorköteg Stiefel-Whitney-számainak nevezzük. Például egy háromdimenziós sokaságon lévő köteghez három lineárisan független Stiefel-Whitney szám van, amelyek megfelelnek a , és . Általános esetben, ha a sokaság -dimenziós, akkor különböző Stiefel-Whitney számok felelnek meg a partícióknak egész tagok összegére. $n$ $n$ $\mathbb{Z } _{2}$ $\mathbb{Z } _{2}$ ${\displaystyle w_{1}^{3))$ ${\displaystyle w_{1}w_{2))$ ${\displaystyle w_{3))$ $n$ $n$
- A sima sokaság érintőkötegének Stiefel-Whitney-számait a sokaság Stiefel-Whitney-számainak nevezzük. Ezek a kobordizmus invariánsai .
A természetes redukciós térkép modulo two, , megfelel a Bockstein homomorfizmusnak ${\displaystyle \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} _{2))$ $\beta \colon H^{i}(X;\;\mathbb {Z} _{2})\ to H^{i+1}(X;\;\mathbb {Z} ).$

A művelet alatt álló osztály képét a th egész Stiefel-Whitney osztálynak nevezzük .

w_{i}

\beta w_{i}\in H^{i+1}(X;\;\mathbb {Z} )

(i+1)

Különösen a harmadik teljes Stiefel-Whitney osztály akadályozza a szerkezet felépítését . $\mathrm {Spin} ^{C}$

Tulajdonságok

Ha a kötegnek vannak olyan szakaszai, amelyek minden ponton lineárisan függetlenek, akkor . $E^{k}$ ${\displaystyle s_{1},\;\ldots ,\;s_{\ell ))$ $w_{k-\ell +1}=\ldots =w_{k}=0$
$w_{i}(E)=0$ at . $i>\mathrm {rang} (E)$
Az első Stiefel-Whitney osztály akkor és csak akkor tűnik el, ha a köteg tájolható. Konkrétan egy elosztó akkor és csak akkor orientálható, ha . $M$ $w_{1}(TM)=0$
A köteg akkor és csak akkor engedélyez spinor szerkezetet , ha az első és a második Stiefel-Whitney osztály is eltűnik.
Egy orientálható köteg esetében a második Stiefel-Whitney osztály a természetes térkép képében rejlik (vagy ezzel egyenértékűen az ún. harmadik egész Stiefel-Whitney osztály eltűnik), akkor és csak akkor, ha a köteg befogad egy -struktúrát. $H^{2}(M,\;\mathbb {Z} )\ to H^{2}(M,\;\mathbb {Z} _{2})$ $\mathrm {Spin} ^{C}$
Egy sima kompakt elosztó összes Stiefel-Whitney-száma akkor és csak akkor tűnik el, ha ez az elosztó (iránytól függetlenül) a sima kompakt elosztó határa. $x$

Irodalom

Prasolov V. V. A homológiaelmélet elemei.
Husemoller D. Szálkötegek . — Springer-Verlag, 1994.
Milnor J. , Stashev J. Jellegzetes osztályok. - M . : Mir, 1979. - 371 p.

Jegyzetek

↑ lásd Hughesmoller könyvének 3.5. és 3.6. szakaszát vagy Milnor-Stashew 8. fejezetét.