Russell paradoxona

Russell paradoxona ( Russell antinómiája , Russell paradoxona is - Zermelo ) egy halmazelméleti paradoxon ( antinómia ), amelyet Bertrand Russell brit matematikus fedezett fel 1901 -ben [1] , és bemutatja Frege logikai rendszerének következetlenségét , amely egy korai kísérlet volt. hogy formalizáljuk George Cantor naiv halmazelméletét . Ernst Zermelo korábban felfedezte, de nem publikálta .

Informális nyelven a paradoxon a következőképpen írható le. Egyezzünk meg abban, hogy egy halmazt "közönségesnek" nevezünk, ha az nem a saját eleme. Például az összes ember halmaza "hétköznapi", mert maga a halmaz nem személy. Példa a "szokatlan" halmazra az összes halmaz halmaza , mivel maga is halmaz, ezért maga is megfelelő elem [2] .

Lehetséges olyan halmazt tekinteni, amely csak az összes "közönséges" halmazból áll, az ilyen halmazt Russell halmaznak nevezzük . Paradoxon merül fel, amikor azt próbáljuk meghatározni, hogy ez a halmaz „hétköznapi”-e vagy sem, azaz tartalmazza-e önmagát elemként. Két lehetőség van.

Mindenesetre ellentmondást kapunk [2] .

A paradoxon kijelentése

Russell paradoxona a naiv halmazelméletben is megfogalmazható . Ezért a naiv halmazelmélet inkonzisztens . A naiv halmazelmélet vitatott töredéke, amely bináris tagsági relációval és szelekciós sémával rendelkező elsőrendű elméletként definiálható : a naiv halmazelméletben minden egy szabad változós logikai formulára van egy axióma

.

Ez az axiómaséma azt mondja, hogy bármely feltételhez létezik egy halmaz , amely azokból áll, amelyek teljesítik a [3] feltételt .

Ez elég ahhoz, hogy Russell paradoxonját a következőképpen fogalmazzuk meg. Legyen egy képlet (Azaz azt jelenti, hogy a halmaz önmagát nem tartalmazza elemként, vagy a mi terminológiánk szerint „közönséges” halmaz.) Ekkor a kiválasztás axiómája szerint van egy halmaz ( Russell készlet) olyan, hogy

.

Mivel ez bármelyikre igaz , akkor igaz az Ezre is

Ebből következik, hogy a naiv halmazelméletben ellentmondás következik [3] .

A paradoxon nem merülne fel, ha feltételeznénk, hogy a Russell-halmaz nem létezik. Ez a feltevés azonban maga paradox: Cantor halmazelméletében úgy vélik, hogy bármely tulajdonság meghatározza azon elemek halmazát, amelyek kielégítik ezt a tulajdonságot. Mivel egy halmaz "közönséges" tulajdonsága jól meghatározottnak tűnik, léteznie kell minden "közönséges" halmaznak. Most egy ilyen elméletet naiv halmazelméletnek neveznek [4] [5] .

A paradoxon népszerű változatai

Russell paradoxonának több változata is létezik. Magától a paradoxontól eltérően általában nem fejezhetők ki formális nyelven .

A hazug paradoxon

Russell paradoxona összefügg az ősidők óta ismert hazug paradoxonnal, ami a következő kérdés. Adott egy nyilatkozatot:

Ez az állítás hamis.

Ez az állítás igaz vagy sem?

Könnyű kimutatni, hogy ez az állítás nem lehet sem igaz, sem hamis.

Russell ezt írta erről a paradoxonról [6] :

Ez egy ősi rejtvény, amelyet senki sem kezelt csak viccként, amíg fel nem fedezték, hogy ez a kérdés olyan fontos és gyakorlati problémákkal kapcsolatos, mint a legnagyobb kardinális vagy sorszám létezése .

Eredeti szöveg  (angol)[ showelrejt] Ez egy ősi feladvány, és senki sem kezelte az ilyesmit semmi másként, csak viccként, amíg kiderült, hogy olyan fontos és gyakorlati problémákkal van összefüggésben, mint hogy létezik-e legnagyobb kardinális vagy sorszám.

Russell maga magyarázta így a hazug paradoxont. Ahhoz, hogy valamit mondjunk a megnyilatkozásokról, először magát a „kimondás” fogalmát kell meghatározni, de nem szabad olyan fogalmakat használni, amelyeket még nem definiáltunk. Így definiálhatók az első típusú állítások, amelyek semmit sem mondanak az állításokról. Ezután lehet definiálni a második típusú állításokat, amelyek az első típusú állításokról beszélnek, és így tovább. Az „ez az állítás hamis” állítás nem tartozik ezen definíciók egyikébe sem, így nincs értelme [6] .

A borbély paradoxona

Russell a paradoxon következő, talányként megfogalmazott változatát említi, amelyet valaki felvetett neki [6] .

Egy bizonyos faluban éljen borbély, aki a falu összes lakosát, aki nem borotválja meg magát, csak őket borotválja meg.

A borbély borotválja magát?

Minden válasz ellentmondáshoz vezet. Russell megjegyzi, hogy ez a paradoxon nem egyenértékű az ő paradoxonjával, és könnyen megoldható [6] . Valójában, ahogy Russell paradoxona azt mutatja, hogy nincs Russell-halmaz, a borbély paradoxona azt mutatja, hogy nem létezik ilyen borbély. A különbség az, hogy nincs semmi meglepő abban, hogy ilyen borbély nem létezik: nem akármilyen ingatlanhoz tartozik olyan borbély, aki ezzel a tulajdonsággal borotválja meg az embereket. Az a tény azonban, hogy nincs bizonyos jól meghatározott tulajdonság által adott elemhalmaz, ellentmond a halmazok naiv elképzelésének, és magyarázatot igényel [5] [7] .

Lehetőség a könyvtárakra

Russell paradoxonához megfogalmazásában az előadásának következő változata áll a legközelebb [8] :

A bibliográfiai katalógusok olyan könyvek, amelyek más könyveket írnak le. Egyes könyvtárak más könyvtárakat is leírhatnak. Egyes könyvtárak le is írhatják magukat.

Lehet-e katalogizálni minden olyan katalógust, amely nem írja le önmagát?

Paradoxon merül fel, amikor megpróbáljuk eldönteni, hogy ennek a könyvtárnak le kell-e írnia magát. A megfogalmazások látszólagos közelsége ellenére (ez tulajdonképpen Russell paradoxona, amelyben készletek helyett katalógusokat használnak) ez a paradoxon, akárcsak a borbély paradoxona, egyszerűen feloldódik: ilyen katalógust nem lehet összeállítani.

A Grelling-Nelson paradoxon

Ezt a paradoxont ​​Kurt Grelling és Leonhard Nelson német matematikusok fogalmazták meg 1908-ban. Valójában ez a paradoxon Russell eredeti változatának az állítmánylogikával kapcsolatos változatának (lásd lent Fregének írt levele ) fordítása nem matematikai nyelvre.

A melléknevet reflexívnek nevezzük, ha ennek a melléknévnek van egy tulajdonsága, amelyet ez a melléknév határoz meg. Például az „orosz”, „többszótagú” melléknevek rendelkeznek az általuk meghatározott tulajdonságokkal (az „orosz” jelző orosz, a „többszótagú” pedig többszótagú), tehát visszahatóak, a „német”, „ egyszótagú” nem reflexív .

A "nem reflexív" jelző visszaható lesz vagy sem?

Minden válasz ellentmondáshoz vezet [8] [9] . A borbély paradoxonával ellentétben ennek a paradoxonnak a megoldása nem olyan egyszerű. Nem lehet egyszerűen azt mondani, hogy ilyen ("nem reflexív") jelző nem létezik, hiszen az imént definiáltuk. A paradoxon abból adódik, hogy a „nem reflexív” fogalom meghatározása önmagában téves. Ennek a kifejezésnek a meghatározása annak a melléknévnek a jelentésétől függ , amelyre alkalmazzák. És mivel a "nem reflexív" szó maga is melléknév a meghatározásban, ördögi kör alakul ki [10] .

Történelem

Russell valószínűleg 1901 májusában vagy júniusában fedezte fel paradoxonját [11] . Maga Russell szerint hibát próbált találni Cantor bizonyításában annak a paradox ténynek ( Cantor paradoxonaként ismert ), hogy nincs maximális bíborszám (vagy az összes halmaz halmaza ). Ennek eredményeként Russell egy egyszerűbb paradoxont ​​kapott [12] . Russell közölte paradoxonát más logikákkal, nevezetesen Whiteheaddel [13] és Peanóval [14] . Fregének 1902. június 16-án írt levelében azt írta, hogy ellentmondást talált a Calculus of Concepts , Frege 1879-ben megjelent könyvében. Paradoxonát a logika, majd a halmazelmélet szempontjából, Frege függvénydefinícióját felhasználva [14] fektette le :

Egyetlen helyen tapasztaltam nehézségeket. Ön azt állítja (17. o.), hogy egy függvény maga is ismeretlenként működhet. Én is azt hittem régen. De most ez a nézet számomra kétségesnek tűnik a következő ellentmondás miatt. Legyen w állítmány: „olyan állítmány legyen, amely önmagára nem vonatkozik”. Alkalmazható -e önmagára ? Bármilyen válasz az ellenkezőjét jelenti. Ezért azt a következtetést kell levonnunk, hogy w  nem állítmány. Hasonlóképpen nincs olyan osztály (mint egész) azoknak az osztályoknak, amelyek összességében nem tartoznak önmagukhoz. Ebből arra következtetek, hogy néha egy bizonyos halmaz nem alkot holisztikus képződményt.

Eredeti szöveg  (német)[ showelrejt] Nur in einem Punkte ist mir eine Schwierigkeit begget. Sie behaupten (S. 17) es könne auch die Funktion das unbestimmte Element bilden. Dies habe ich früher geglaubt, jedoch jetzt scheint mir diese Ansicht zweifelhaft, wegen des folgenden Widerspruchs: Sei w das Prädicat, ein Prädicat zu sein welches von sich selbst nicht werden prädicirt. Kann man w von sich selbst prädiciren? Aus jeder Antwort folgt das Gegentheil. Deshalb muss man schließen dass w kein Prädicat ist. Ebenso giebt es keine Klasse (als Ganzes) derjenigen Klassen die als Ganze sich selber nicht angehören. Daraus schliesse ich dass unter gewissen Umständen eine definierbare Menge kein Ganzes bildet [15] .

Frege éppen akkor kapta meg a levelet, amikor befejezte Az aritmetika alaptörvényei ( németül:  Grundgesetze der Arithmetik ) második kötetét. Fregének nem volt ideje korrigálni halmazelméletét. A második kötethez csak egy függeléket csatolt kifejtéssel és a paradoxon elemzésével, amely a híres megjegyzéssel kezdődött:

Nem valószínű, hogy valami rosszabb történhet egy tudóssal, mint ha kihúzzák a talajt a lába alól abban a pillanatban, amikor befejezi munkáját. Ebben a helyzetben találtam magam, amikor levelet kaptam Bertrand Russelltől, amikor munkám már elkészült [16] .

Eredeti szöveg  (német)[ showelrejt] Einem wissenschaftlichen Schriftsteller kann kaum etwas Unerwünschteres begegnen, als daß ihm nach Vollendung einer Arbeit eine der Grundlagen seines Baues erschüttert wird. In diese Lage wurde ich durch einen Brief des Herrn Bertrand Russell versetzt, als der Druck dieses Bandes sich seinem Ende näherte [17] .

Frege a következő módszert javasolta elméletének korrekciójára, hogy elkerülje Russell paradoxonát. Axióma helyett:

,

amely azt mondta, hogy fel lehet építeni egy olyan elemkészletet , amely kielégíti az általa javasolt tulajdonságot a következő axióma segítségével:

,

így kiküszöböli annak lehetőségét, hogy egy halmaz önmagának tagja legyen. A Russell-paradoxon enyhe módosítása azonban azt bizonyítja, hogy ez az axióma is ellentmondáshoz vezet: nevezetesen az összes szingli halmazt úgy tekinthetjük , hogy , akkor az állítás antinómia lesz [18] .

Russell 1903-ban publikálta paradoxonát Principles of Mathematics című könyvében [11] .

Ernst Zermelo azt állította, hogy Russelltől függetlenül fedezte fel ezt a paradoxont, és 1903 előtt jelentette Hilbertnek és másoknak [19] . Ezt Hilbert is megerősítette, 1903. november 7-én Fregének írva, hogy tisztában volt ezzel a paradoxonnal. Hilbert ezt írta: "Azt hiszem, Zermelo 3-4 évvel ezelőtt talált rá... 4-5 évvel ezelőtt találtam más, még meggyőzőbb ellentmondásokat." Ezenkívül 1978-ban ennek a paradoxonnak a megfogalmazását fedezték fel Edmund Husserl irataiban , amelyeket Zermelo 1902. április 16-án közölt Husserl-lel. Ebben a megfogalmazásban bebizonyosodott, hogy az összes részhalmazát elemként tartalmazó M halmaz ellentmondáshoz vezet. A bizonyításhoz vegyünk egy M részhalmazt , amely olyan halmazokból áll, amelyek nem tartalmazzák magukat [20] .

Megoldások

Russell paradoxonában nincs tévedés: valóban bizonyítja a naiv halmazelmélet következetlenségét. Ahhoz, hogy megszabaduljunk az ellentmondástól, korrigálni kell a halmazelméletet, hogy ne ismerje el a russelli halmazt. Ezt többféleképpen is meg lehet tenni. A legtermészetesebb módszer az, ha ilyen vagy olyan módon tiltjuk azokat a halmazokat, amelyek elemként tartalmazhatják magukat. Így az összes halmaz halmaza is tiltott lesz ( legalábbis az összes halmaz halmaza nem lesz halmaz) [21] . Nem szabad azonban elfelejteni, hogy egyrészt pusztán annak megtiltása, hogy a halmaz önmagát elemként kezelje, nem elég ahhoz, hogy megszabaduljunk az ellentmondástól (amint azt Frege első kísérlete is megmutatta rendszerének kijavítására). Másrészt, ha megengedjük, hogy a halmazok maguk is tagként szerepeljenek, ez önmagában nem vezet ellentmondásokhoz. Például semmi sem akadályozza meg egy olyan könyvtár létrehozását, amely az összes könyvtárat tartalmazza, beleértve önmagát is. Sok programozási nyelv lehetővé teszi , hogy a konténerek elemként szerepeljenek [22] . Vannak olyan paradoxonoktól mentes logikai rendszerek, mint a Russell-féle, amelyek lehetővé teszik, hogy a halmazok magukban foglalják magukat (pl . New Foundations , W. V. O. Quine ) [23] .

Az alábbiakban bemutatunk néhány lehetséges megközelítést egy Russell-féle paradoxonoktól mentes axiómarendszer felépítéséhez.

Russell típuselmélete

Maga Russell volt az első, aki Russell paradoxonától mentes elméletet javasolt. Kidolgozta a típuselméletet, amelynek első változata Russell Matematikai alapelveiben jelent meg 1903-ban 24] . Ez az elmélet a következő elgondoláson alapul: ebben az elméletben az egyszerű objektumok típusa 0, az egyszerű objektumok halmazai az 1. típusúak, az egyszerű objektumok halmazai a 2. típusúak stb. Így egyetlen halmaznak sem lehet eleme önmagának. Ebben az elméletben sem az összes halmaz halmaza, sem a Russell-halmaz nem definiálható. Hasonló hierarchiát vezetünk be az utasításokra és tulajdonságokra. Az egyszerű objektumokra vonatkozó állítások az 1. típusba tartoznak, az 1. típusú állítások tulajdonságaira vonatkozó állítások a 2. típusba tartoznak, és így tovább. Általában egy függvény definíció szerint magasabb típusú, mint azok a változók, amelyektől függ. Ezzel a megközelítéssel nemcsak a Russell-paradoxontól szabadulhatunk meg, hanem sok más paradoxontól is, köztük a hazug paradoxontól ( lásd fent ), a Grelling-Nelson paradoxontól, a Burali-Forti paradoxontól . Russell és Whitehead háromkötetes Principia Mathematica című, 1910-1913-ban megjelent [25] című művükben megmutatták, hogyan lehet az egész matematikát a típuselmélet axiómáira redukálni .

Ez a megközelítés azonban nehézségekbe ütközött. Különösen akkor merülnek fel problémák, ha az ilyen fogalmakat a valós számok halmazainak legkisebb felső korlátjaként határozzuk meg. Definíció szerint a legkisebb felső korlát az összes felső korlát közül a legkisebb. Ezért a legkisebb felső korlát meghatározásakor a valós számok halmazát használjuk. Ezért a legkisebb felső korlát egy magasabb típusú objektum, mint a valós számok. Ez azt jelenti, hogy maga nem valós szám. Ennek elkerülésére be kellett vezetnünk az úgynevezett redukálhatósági axiómát . Önkényessége miatt sok matematikus nem volt hajlandó elfogadni a redukálhatósági axiómát, és maga Russell is elmélete hibájának nevezte. Ráadásul az elmélet nagyon összetettnek bizonyult. Ennek eredményeként nem kapott széles körű alkalmazást [25] .

Zermelo-Fraenkel halmazelmélet

A matematika axiomatizálásának legismertebb megközelítése a Zermelo-Fraenkel (ZF) halmazelmélet, amely Zermelo elméletének (1908) kiterjesztéseként jött létre. Russell-lel ellentétben Zermelo megtartotta a logikai elveket, és csak a halmazelmélet axiómáit változtatta meg [26] . Ennek a megközelítésnek az az ötlete, hogy csak a már felépített halmazokból épített halmazokat szabad használni egy bizonyos axiómakészlettel [5] . Így például Zermelo egyik axiómája azt mondja, hogy egy adott halmaz összes részhalmazából meg lehet alkotni egy halmazt ( a Boole-axióma ). Egy másik axióma ( szelekciós séma ) azt mondja, hogy minden halmazból ki lehet választani egy adott tulajdonsággal rendelkező elemek részhalmazát. Ez a fő különbség a Zermelo halmazelmélet és a naiv halmazelmélet között: a naiv halmazelméletben minden olyan elem halmazát figyelembe vehetjük, amelyeknek adott tulajdonsága van, míg a Zermelo halmazelméletben csak egy részhalmazt választhatunk ki egy már megszerkesztett halmazból. . A Zermelo halmazelméletben nem lehet megszerkeszteni az összes halmaz halmazát . Így a Russell halmaz ott sem konstruálható [21] .

Osztályok

A matematikában néha hasznos az összes halmazt egészként tekinteni, például az összes csoport összességét figyelembe venni . Ehhez a halmazelmélet kiterjeszthető egy osztály fogalmával , mint például a Neumann-Bernays-Gödel (NBG) rendszerben. Ebben az elméletben az összes halmaz gyűjteménye egy osztály . Ez az osztály azonban nem halmaz, és nem eleme egyetlen osztálynak sem, így elkerülhető a Russell-féle paradoxon [27] .

Például a Morse-Kelly halmazelmélet (MK) [28] egy erősebb rendszer, amely lehetővé teszi a kvantorok osztályok szerinti, és nem csak halmazok szerinti felvételét . Ebben az elméletben a fő fogalom az osztály fogalma , nem pedig egy halmaz . Ebben az elméletben halmazok azok az osztályok, amelyek maguk is egyes osztályok elemei [29] . Ebben az elméletben a képlet egyenértékűnek tekinthető a képlettel

.

Mivel ebben az elméletben azt jelenti, hogy egy osztály egy halmaz , ezt a képletet úgy kell érteni, hogy mi az összes halmaz (és nem osztályok) osztálya , így . Russell paradoxonját ebben az elméletben feloldja az a tény, hogy nem minden osztály halmaz [30] .

Továbbléphet, és megvizsgálhatja az osztályok gyűjteményeit - konglomerátumok , konglomerátumok gyűjteményei stb. [31] .

Befolyás a matematikára

A matematika axiomatizálása

Russell paradoxona, más , a 20. század elején felfedezett matematikai antinómiákkal [4] együtt ösztönözte a matematika alapjainak felülvizsgálatát, ami a matematika igazolására axiomatikus elméletek felépítését eredményezte, amelyek közül néhányat fentebb említettünk.

Az összes megkonstruált új axiomatikus elméletben a 20. század közepére ismert paradoxonokat (beleértve Russell paradoxonját is) kiküszöbölték [32] . Annak bizonyítása azonban, hogy a jövőben nem fedezhetők fel új, hasonló paradoxonok (ez a felépített axiomatikus elméletek konzisztenciájának problémája), a probléma modern felfogásában lehetetlennek bizonyult [33] [34] (lásd Gödel hiányosságát). tételek ).

Intuicionizmus

Ezzel párhuzamosan a matematikában megjelent egy új irányzat, az intuicionizmus , amelynek alapítója L. E. Ya. Brouwer . Az intuicionizmus Russell paradoxonától és más antinómiáktól függetlenül keletkezett. Az antinómiák felfedezése a halmazelméletben azonban növelte az intuicionisták logikai elvekkel szembeni bizalmatlanságát, és felgyorsította az intuicionizmus kialakulását [25] . Az intuitionizmus fő tézise azt mondja, hogy valamely objektum létezésének bizonyításához egy módszert kell bemutatni annak megalkotására [35] . Az intuicionisták elutasítják az olyan elvont fogalmakat, mint az összes halmaz halmaza. Az intuicionizmus tagadja a kizárt közép törvényét , azonban meg kell jegyezni, hogy a kizárt középső törvénye nem szükséges ahhoz, hogy ellentmondást lehessen levezetni Russell vagy bármely más antinómiából (bármely antinómiában bebizonyosodik, hogy a tagadás magában foglalja és a tagadás magában foglalja a , még az intuicionista logikában is ellentmondás következik) [36] . Érdemes megjegyezni azt is, hogy az intuicionista matematika későbbi axiomatizálásaiban Russelléhez hasonló paradoxonokat találtak, mint például a Girard-féle paradoxon Martin-Löf intuicionista típuselméletének eredeti megfogalmazásában [37] .

Diagonális argumentum (önalkalmazhatóság)

Annak ellenére, hogy Russell érvelése paradoxonhoz vezet, ennek az érvelésnek a fő gondolatát gyakran használják a matematikai tételek bizonyítása során. Ahogy fentebb említettük, Russell paradoxonját azáltal kapta meg, hogy elemezte Cantor bizonyítékát, miszerint nincs legnagyobb kardinális szám . Ez a tény ellentmond az összes halmazból álló halmaz létezésének, mivel a számosságának maximálisnak kell lennie. A Cantor-tétel szerint azonban egy adott halmaz összes részhalmazának több kardinalitása van, mint magának a halmaznak. Ennek a ténynek a bizonyítása a következő átlós érvre épül:

Legyen egy egy az egyhez megfeleltetés , amely a halmaz minden eleméhez hozzárendeli a halmaz egy részhalmazát Legyen olyan halmaz , amely olyan elemekből áll , hogy ( átlós halmaz ). Ekkor ennek a halmaznak a komplementere nem lehet A egyik sem, ezért a megfeleltetés nem volt egy az egyhez.

Cantor az átlós argumentumot használta a valós számok megszámlálhatatlanságának bizonyítására 1891-ben. (Nem ez az első bizonyítéka a valós számok megszámlálhatatlanságára, hanem a legegyszerűbb) [38] .

A Cantor-paradoxont ​​úgy kapjuk meg, hogy ezt az argumentumot az összes halmazra alkalmazzuk. Valójában a Russell halmaz Cantor átlós halmaza [39] . Az átlós argumentumot Russell és Cantor előtt használták ( [40] -ben már Dubois-Reymond is használta a számítás során 1875-ben) [41] . Russell paradoxonában azonban a diagonális érvelés kristályosodik ki a legvilágosabban.

Az átlós argumentumot a matematika számos területén használták. Így például ez a központi érv Gödel befejezetlenségi tételében , egy eldönthetetlen felsorolható halmaz létezésének bizonyításában , és különösen a megállási probléma eldönthetetlenségének bizonyításában [42] .

Kapcsolódó paradoxonok

Az önalkalmazhatóságot a fent tárgyaltakon kívül sok más paradoxon is alkalmazza:

Lásd még

Jegyzetek

  1. ↑ Godehard Link (2004), Russell paradoxonának száz éve , p. 350, ISBN 9783110174380 , < https://books.google.com/?id=Xg6QpedPpcsC&pg=PA350 >  .
  2. ↑ 1 2 Russell antinómiája // Logikai szótár. Ivin A. A., Nikiforov A. L.  - M .: Tumanit, VLADOS, 1997. - 384 p. — ISBN 5-691-00099-3 .
  3. ↑ 1 2 Andrew David Irvine, Harry Deutsch. Russell paradoxona  // The Stanford Encyclopedia of Philosophy / Edward N. Zalta. — 2014-01-01. Az eredetiből archiválva : 2019. március 18.
  4. ↑ 1 2 Antinómia – egy cikk az Encyclopedia of Mathematics -ból . A. G. Dragalin
  5. ↑ 1 2 3 A. S. Gerasimov. Matematikai logika és kiszámíthatóságelmélet tanfolyam . - Harmadik kiadás, átdolgozva és bővítve. - Szentpétervár: LEMA, 2011. - S. 124-126. — 284 p. Archiválva : 2016. augusztus 17. a Wayback Machine -nál
  6. ↑ 1 2 3 4 Russell, Bertrand . A logikai atomizmus filozófiája . - P. 101-104. — ISBN 0-203-86477-8 . Archiválva : 2014. január 4. a Wayback Machine -nél
  7. ↑ Frenkel, Bar-Hillel, 1966 , p. 17-18.
  8. ↑ 1 2 Gardner M. Gyerünk, tippelj!: Per. angolról. = Ah! megvagy. Paradoxonok a fejtöréshez és az örömhöz. - M .: Mir , 1984. - S. 22-23. — 213 p.
  9. ↑ I. V. Jascsenko. A halmazelmélet paradoxonai . - M . : A Moszkvai Matematikai Folyamatos Oktatási Központ kiadója, 2012. - P. 5. - ("Matematikai oktatás" könyvtár, 20. szám). — ISBN 5-94057-003-8 . Archiválva : 2016. augusztus 17. a Wayback Machine -nál
  10. ↑ J. Bell. Az érthető művészete: A matematika elemi áttekintése fogalmi fejlődésében . — Springer Science & Business Media, 2012-12-06. - S. 200. - 260 p. — ISBN 9789401142090 .
  11. ↑ Bertrand Russell. Bevezetés a matematikai filozófiába . - 1920. - P. 136. Archív másolat 2017. május 17-én a Wayback Machine -nél
  12. ↑ Bertrand Russell. Filozófiai fejlődésem . - Psychology Press, 1995. - S. 58. - 228 p. — ISBN 9780415136013 . Archiválva : 2022. április 7. a Wayback Machine -nél
  13. ↑ 12 Michael Beaney . A Frege olvasó . – Wiley, 1997.07.07. - S. 253. - 430 p. — ISBN 9780631194453 . Archiválva : 2016. május 9. a Wayback Machine -nál
  14. ↑ Rövidzár Bertrand Russell-lel . Bibliotheca Augustana. Letöltve: 2016. június 28. Az eredetiből archiválva : 2016. március 5..
  15. ↑ E. Sinitsyn, O. Sinitsyna. A zsenik kreativitásának titka . Archiválva : 2016. augusztus 15. a Wayback Machine -nál
  16. ↑ Gottlob Frege: Grundlagen der Arithmetik , II, 1903, Anhang S. 253-261.
  17. ↑ John P. Burgess. Frege rögzítése . - Princeton University Press, 2005. - S. 32-33. — 276 p. — ISBN 0691122318 .
  18. ↑ E. Zermelo. Neuer Beweis für die Möglichkeit einer Wohlordnung  (német)  // Mathematische Annalen. - 1908. - Bd. 65 . - S. 118-119 . — ISSN 0025-5831 . Archiválva az eredetiből 2016. augusztus 7-én.
  19. ↑ B. Rang és W. Thomas. Zermelo felfedezése a "Russell-paradoxon"  (angol)  // Historia Mathematica. - 1981. - 1. évf. 8 , sz. 1 . - P. 15-22 . - doi : 10.1016/0315-0860(81)90002-1 . Archiválva az eredetiből 2019. április 11-én.
  20. ↑ 1 2 Frenkel, Bar-Hillel, 1966 , p. tizennyolc.
  21. ↑ Gyűjtemény (Java Platform SE 8) . Jóslat. Letöltve: 2016. szeptember 23. Az eredetiből archiválva : 2016. november 18..
  22. ↑ Frenkel, Bar-Hillel, 1966 , p. 180.
  23. ↑ Szurovcev, Valerij Alekszandrovics. B. Russell egyszerű típuselméletéről (előszó a kiadványhoz)  // Tomsk State University Bulletin. Filozófia. Szociológia. Politológia. - 2008. - Kiadás. 1 (2) bekezdése alapján . — ISSN 1998-863X . Archiválva az eredetiből 2016. augusztus 17-én.
  24. ↑ 1 2 3 X. Logicism vs. Intuitionism Archiválva : 2016. augusztus 14. a Wayback Machine -nél // Kline M. Mathematics: The Loss of Curtainty  (angolul) - 1980. - ISBN 978-0-19-502754-9
  25. ↑ Frenkel, Bar-Hillel, 1966 , p. 175.
  26. ↑ Frenkel, Bar-Hillel, 1966 , p. 139.
  27. ↑ Monk, JD Bevezetés a halmazelméletbe. - McGraw-Hill, 1969. - 193 p.
  28. ↑ Abhijit Dasgupta. Halmazelmélet: Bevezetés a valós ponthalmazokba . — Springer Science & Business Media, 2013-12-11. - S. 396. - 434 p. — ISBN 9781461488545 .
  29. ↑ Kelly, J.L. Általános topológia . - Nauka, 1968. - S. 327-328,333. — 383 p. Archiválva : 2016. szeptember 18. a Wayback Machine -nál
  30. ↑ Jiri Adámek, Horst Herrlich, George E. Strecker. Absztrakt és konkrét kategóriák: A  macskák öröme . - Dover Publications , 1990. - P. 15-16. — ISBN 978-0-486-46934-8 .
  31. ↑ M. Foreman, A. Kanamori. Halmazelmélet kézikönyve.
  32. ↑ P. S. Novikov Axiomatikus módszer. Matematikai enciklopédia.
  33. ↑ D.C. Goldrei. Klasszikus halmazelmélet: irányított független tanulmány
  34. ↑ Frenkel, Bar-Hillel, 1966 , p. 250.
  35. ↑ Frenkel, Bar-Hillel, 1966 , p. 17.
  36. ↑ 12 Antonius JC Hurkens . A Girard-paradoxon egyszerűsítése // Typed Lambda Calculi and Applications  (angol) . — 1995-04-10. — Vol. 902.—P. 266-278. — ( Számítástechnikai előadásjegyzetek ). - doi : 10.1007/BFb0014058 .
  37. ↑ Gray, Robert (1994), Georg Cantor and Transcendental Numbers , American Mathematical Monthly 101: 819–832, doi : 10.2307/2975129 , < http://www.maa.org/sites/default/files/pdf/ upload_library/22/Ford/Gray819-832.pdf > Archiválva : 2022. január 21. a Wayback Machine -nél 
  38. ↑ N. Griffin. Russell-paradoxon őstörténete // Russell-paradoxon száz éve: matematika, logika, filozófia / szerkesztette: Godehard Link. - Walter de Gruyter, 2004. - S. 522. - 673 p. — ISBN 9783110199680 . Archiválva : 2022. április 7. a Wayback Machine -nél
  39. ↑ Du Bois-Reymond, Paul (1875), Über asymptotische Werte, infinitäre Approximationen und infinitäre Auflösungen von Gleichungen , Mathematische Annalen vol. 8: 363–414, doi : 10.10107 , 10.10144 . goettingen.de/dms/load/img/?PID=GDZPPN002243067 > 
  40. ↑ DC McCarty. Hilbert és Paul Du Bois-Reymond // Russell-paradoxon száz éve: matematika, logika, filozófia / szerkesztette: Godehard Link. - Walter de Gruyter, 2004. - S. 522. - 673 p. — ISBN 9783110199680 . Archiválva : 2022. április 7. a Wayback Machine -nél
  41. ↑ John B. Bacon, Michael Detlefsen, David Charles McCarty. Diagonális argumentum // Logika A-tól Z-ig: A Routledge filozófiai enciklopédiája Logikai és matematikai kifejezések szószedete . — Routledge, 2013-09-05. — 126 p. — ISBN 9781134970971 .

Irodalom

  Ugrás a Wikidata elemre  Szótárak és enciklopédiák