Nonamino

Nonamino (vagy 9-mino ) - kilenccellás poliomino vagy sokszögek , amelyek 9 egyenlő négyzetből állnak, amelyeket oldalak kapcsolnak össze [1] [2] .

Ha nem teszünk különbséget az egymástól elforgatással és visszaverődéssel kapott ábrák között, akkor 1285 nonomino van [1] [2] [3] . Ha megállapodunk abban, hogy különbséget teszünk a tükörreflexiók között, akkor a nem aminok száma 2500-ra nő [4] , ha pedig elforgatások között, akkor 9910-ig [5] [6] [7] .

Részhalmazok

1285 nem aminoból 37 tartalmaz lyukat [7] [8] . Az egyik nonamino dominó alakú lyukat tartalmaz ; a kisebb poliominóknak csak egyetlen lyukuk van.

Csak egy nonominó olyan sokszög, amelynek minden oldalának hossza egyenlő eggyel (a mononominóknak ez a tulajdonsága a nemnominók előtt van, X a pentominó és a 369 oktominó egyike ) [9] [10] .

Szimmetriák

Az 1285 bilaterális nonominó szimmetriacsoportjaik szerint több részhalmazra osztható [6] :

• 1196 nem aminocsoport aszimmetrikus - szimmetriacsoportjuk triviális [11] ;
• 38 nonamino-nak van egy szimmetriatengelye , párhuzamos a négyzet alakú parketta éleivel, és szimmetriacsoportjuk két elemből áll - azonos transzformációból és visszaverődésből [12] ;

• 26 nem aminocsoportnak egy átlós szimmetriatengelye van, és szimmetriacsoportjuk is két elemből áll [13] ;

• 19 nem aminocsoport központi szimmetriája másodrendű, és szimmetriacsoportjuk két elemből áll – azonos transzformációból és 180°-os elforgatásból [14] ;

• 4 nemnominónak két egymásra merőleges szimmetriatengelye van, amelyek párhuzamosak a poliominók oldalaival; szimmetriacsoportjuk négy elemből áll – egy azonos transzformációból, két visszaverődésből és egy 180°-os elforgatásból [15] ;

• 2 nemnominónak négy szimmetriatengelye van (kettő párhuzamos a poliominó oldalaival és két átlós) és egy negyedrendű központi szimmetria. Szimmetriacsoportjuk 8 elemből áll [16] .

Az oktaminótól eltérően a nem aminok között nincs 4-es rendű központi szimmetria vagy két átlós szimmetriatengelyű alak.

A kétoldalas vagy szabad nonomino (forgatható és átfordítható figurák) száma tehát

az egyoldalú nemnominók (forgatható, de nem fordítható figurák) száma a képlettel kereshető

és a rögzített nonomino (sem elforgatható, sem át nem fordítható figurák) száma - a képlet szerint

Sík csempézés

1050 kétoldalas nem-amino (mind a 235 kivételével, amely 37 "szivárgó" nem aminocsoportot tartalmaz) fedi a síkot [17] [18] [19] ; Ebből az 1050 nonominoból 1048 vagy önmagában teljesíti Conway kritériumát , vagy képes a nonomino két példányából egy "foltot" alkotni, amely megfelel Conway kritériumának. A két kivételes nonomino, amelyek a Conway-teszt sikertelensége ellenére fedik le a gépet, a jobb oldali ábrán látható; A 9 a legkisebb szám, amelyre vonatkozóan vannak ilyen kivételek [20] .

Konfigurációk készítése nonamino-ból

37 nonomino tartalmaz "lyukat", így az 1285 nonominóból egyetlen téglalap sem hajtható be [1] . Azonban az 1972-1973. D. Bird (David Bird) számos szimmetrikus konfigurációt épített mind az 1285 nonomino felhasználásával; két konstrukció elfér egy 109  ×  109 -es négyzetben [2] [21] . 2005-ben Peter Esser mind az 1285 nonomino öt egybevágó 17  ×  137 téglalapból épített, amelyek mindegyike 12 szimmetrikusan elrendezett lyukat tartalmazott, összesen 16 cellával [22] ; 16 darab 18  ×  39 -es téglalapot is szerkesztett 1248 egyszerűen összekapcsolt nonominóból [22] .  Patrick Hamlyn 48 darab 18 × 13 -as téglalapot épített 1248 egyszerűen összekapcsolt nonominóból  ; nem kizárt 96 egyforma téglalap [22] felépítésének lehetősége .

Pseudononamino

A pszeudopoliomino a poliomino általánosítása, egy végtelen sakktábla mezőinek halmaza, amelyet a király megkerülhet [1] . 118 133 kétoldalas pszeudononamino [23] , 235 456 egyoldalas pszeudononamino [24] és 940 982 rögzített pszeudononamino [25] létezik .

Jegyzetek

1. ↑ 1 2 3 4 Golomb, 1975 .
2. ↑ 1 2 3 Golomb, 1994 .
3. ↑ A000105 sorozat az OEIS -ben
4. ↑ OEIS szekvencia A000988 _
5. ↑ A001168 sorozat az OEIS -ben
6. ↑ Redelmeier 12. , 1981 .
7. ↑ 1 2 Weisstein, Eric W. Polyomino  (angol) a Wolfram MathWorld webhelyén .
8. ↑ OEIS szekvencia A001419 _
9. ↑ ezredes Sicherman György. Egységes poliominók katalógusa (2014. július 29.). Letöltve: 2015. november 15. Az eredetiből archiválva : 2015. november 17.. (határozatlan)
10. ↑ A245620 szekvencia az OEIS -ben
11. ↑ OEIS szekvencia A006749 _
12. ↑ OEIS szekvencia A006746 _
13. ↑ OEIS szekvencia A006748 _
14. ↑ OEIS szekvencia A006747 _
15. ↑ OEIS szekvencia A056877 _
16. ↑ OEIS szekvencia A142886 _
17. ↑ Rawsthorne, 1988 .
18. ↑ Joseph Myers. Polyomino, polyhex és poligyémánt burkolólapok . Letöltve: 2015. november 15. Az eredetiből archiválva : 2015. november 17.. (határozatlan)
19. ↑ OEIS szekvenciák A054359 , A054360 , A054361 _
20. ↑ Rhoads, 2005 .
21. ↑ David Bird Polyomino-konstrukciói . A Poly oldalak. Letöltve: 2015. november 20. Az eredetiből archiválva : 2016. március 4.. (határozatlan)
22. ↑ 1 2 3 Polyominoes . A Poly oldalak. Letöltve: 2015. november 20. Az eredetiből archiválva : 2015. május 14. (határozatlan)
23. ↑ OEIS szekvencia A030222 _
24. ↑ OEIS szekvencia A030233 _
25. ↑ OEIS szekvencia A006770 _

Irodalom

• Golomb S.V. . Polyomino \u003d Polyominoes / Per. angolról. V. Firsova. Előszó és szerk. I. Yagloma . —M.:Mir, 1975. — 207 p.
• Solomon W. Golomb . poliominók. — 2. kiadás. - Princeton, New Jersey: Princeton University Press , 1994. - ISBN 0-691-02444-8 .
• D. Hugh Redelmeier. Poliominók számolása: még egy támadás // Discrete Mathematics : Journal. - 1981. - 1. évf. 36. - P. 191-203. - doi : 10.1016/0012-365X(81)90237-5 .
• Daniel A. Rawsthorne. Kis n -ominók csempézési összetettsége ( n < 10)  // Diszkrét matematika: Journal. - 1988. - 1. évf. 70.—P. 71–75. - doi : 10.1016/0012-365X(88)90081-7 .
• Glenn C. Rhoads. Síkburkolatok poliominóval, polihexszel és poligyémánttal // Journal of Computational and Applied Mathematics : Journal. - 2005. - 20. évf. 174. - P. 329-353. - doi : 10.1016/j.cam.2004.05.002 .