Hexamino

A hexamino  egy hatsejtű poliomino , azaz egy lapos figura, amely hat egyenlő négyzetből áll, amelyeket oldalak kapcsolnak össze. A hexamino-figurákkal, mint minden poliominóval, sok probléma merül fel a matematika szórakoztatásában.

Ha nem számoljuk a forgatások és tükörreflexiók során egybeeső különböző alakzatokat, akkor a hexamino 35 különböző („szabad”) formája létezik (lásd az ábrát) [1] [2] . Az "egyoldalú" hexaminoknak 60 fajtája van (ha a tükörreflexiókat különböző ábráknak tekintjük) és 216 féle "rögzített" hexaminot (a fordulatokat is különbözőnek tekintik) [3] .

Hexamino osztályozás szimmetria alapján

A 35 szabad hexamino figura szimmetriatulajdonságaik szerint 5 kategóriába sorolható:

• 20 hexamino-figura (az ábrán szürkével látható) aszimmetrikus;
• 6 hexamino (pirossal ábrázolva) szimmetriatengelye párhuzamos a négyzetrács vonalaival;
• 2 hexamino (zöld színnel) átlós szimmetriatengelyű;
• 5 hexamino (kék színnel jelölve) központi (rotációs) másodrendű szimmetriával rendelkezik;
• A 2 hexamino (lilával) két szimmetriatengelye párhuzamos a rácsvonalakkal.

Az egyoldalas hexaminoknál (vagyis ha a darabok tükörképeit eltérőnek tekintjük) az első és a negyedik kategória száma megduplázódik, ami további 25 hexaminot ad, összesen 60-at. A rögzített hexaminoknál (vagyis ha a fordulatokat is különböző számokként kezeljük), akkor az első kategória nyolcszorosára nő a szabad hexaminokhoz képest, a következő három kategória négyszeresére, az utolsó kategória pedig kettővel. Ez fix hexaminokat ad.

A hexamino figuráinak összeállítása

Bár a teljes 35 hexaminos készlet összterülete 210 négyzet, lehetetlen ilyen területű (3x70, 5x42, 6x35, 7x30, 10x21, 14x15) téglalapot kialakítani - ellentétben a 12 pentominóval, amely lehet a 3x20, 4x15, 5x12 és 6x10 téglalapok bármelyikének kialakítására használható. Ezt bizonyíthatod, ha a hexaminot és a téglalapot sakktábla mintára színezed. Ekkor 11 hexamino darabon páros számú négyzet lesz mindkét színű (2 fehér és 4 fekete vagy fordítva), a maradék 24 hexamino darab páratlan számú (3 fehér és 3 fekete). Így a hexaminok teljes halmazából álló bármely számban az egyes színek négyzeteinek száma páros lesz. De minden 210 négyzetből álló téglalapban 105 fekete és 105 fehér négyzet lesz, ami páratlan szám.

Vannak azonban más, 210 négyzetből álló szimmetrikus alakok is, amelyek hexaminokból állhatnak. Például egy 15x15-ös négyzetben 3x5-ös téglalap alakú lyukkal a közepén 106 fehér és 104 fekete négyzet van (vagy fordítva), és 35 hexamino teljes halmazából állhat [4] .

Néhány szimmetrikus hexamino verem

• "Paralelogramma" 15×14 fogazott oldalakkal

• Téglalap 19x11 egy cella túlnyúlással

• Téglalap 13x16 2 füllel

• "Háromszög" szaggatott hipotenusszal

• 17×15-ös téglalap keresztfurattal

Ezen kívül 60 db egyoldalas hexaminoból 360 egységnyi négyzet összterülete 5x72, 6x60, 8x45, 9x40, 10x36, 12x30, 15x24 és 18x20 méretű téglalapokká alakítható [5] .

Kocka fejlesztések

A 35 hexaminofigura közül 11 kihajtott kocka (lásd az ábrát) [6] . Lehetetlen belőlük 66 egységnyi négyzet területű téglalapot hozzáadni [7] .

Jegyzetek

1. ↑ Golomb, 1975 .
2. ↑ Golomb, 1994 .
3. ↑ Weisstein, Eric W. Hexomino  a Wolfram MathWorld webhelyen .
4. ↑ Hexominók . Letöltve: 2011. szeptember 18. Az eredetiből archiválva : 2011. szeptember 27.. (határozatlan)
5. ↑ Gerard's Polyomino Solution oldal . Hozzáférés dátuma: 2011. szeptember 30. Az eredetiből archiválva : 2012. január 18. (határozatlan)
6. ↑ I. Konstantinov Pentamino et al. Archív másolat 2015. november 19-én a Wayback Machine Science and Life-ban, 2002. évi 4. szám
7. ↑ Gardner, Mathematical Novels, 1974 .

Irodalom

• Golomb S.V. . Polyomino \u003d Polyominoes / Per. angolról. V. Firsova. Előszó és szerk. I. Yagloma . —M.:Mir, 1975. — 207 p.
• Solomon W. Golomb . poliominók. — 2. kiadás. - Princeton, New Jersey: Princeton University Press , 1994. - ISBN 0-691-02444-8 .
• Gardner M. Matematikai regények. - M .: Mir, 1974.
• D. Hugh Redelmeier. Poliominók számolása: még egy támadás // Discrete Mathematics : Journal. - 1981. - 1. évf. 36. - P. 191-203. - doi : 10.1016/0012-365X(81)90237-5 .
• Daniel A. Rawsthorne. Kis n -ominók csempézési összetettsége ( n < 10)  // Diszkrét matematika: Journal. - 1988. - 1. évf. 70.—P. 71–75. - doi : 10.1016/0012-365X(88)90081-7 .
• Glenn C. Rhoads. Síkburkolatok poliominóval, polihexszel és poligyémánttal // Journal of Computational and Applied Mathematics : Journal. - 2005. - 20. évf. 174. - P. 329-353. - doi : 10.1016/j.cam.2004.05.002 .