Implicit görbe

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. március 8-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

Az implicit görbe egy olyan sík görbe , amelyet egy implicit egyenlet határoz meg, amely két koordinátaváltozóra vonatkozik, amelyeket általában x -nek és y -nak jelölnek . Például az egységkört az egyenlet adja meg . Általános esetben bármilyen implicit görbét egy alakegyenlet ad meg $x^{2}+y^{2}=1$

F(x,y)=0

két változó valamelyik F függvényére. Ezért egy implicit függvényt két változó függvényének nullák halmazának tekinthetünk . Az " implicit" azt jelenti, hogy az egyenlőség nem fejezi ki sem az y változó x megoldását, sem fordítva.

Ha egy függvény két változóban polinom, akkor a megfelelő görbét algebrainak nevezzük, és vannak speciális módszerek a vizsgálatára. $F(x,y)$

Egy síkgörbe ábrázolható derékszögű koordinátákkal ( x , y koordináták ) a három módszer bármelyikével, amelyek közül az egyik a fenti implicit egyenlet. Egy másik módot - egy függvény gráfjának egyenlőséggel történő leírását, amelyben a függvény explicit módon van ábrázolva - explicit reprezentációnak nevezzük . A görbe leírásának harmadik fontos módja a parametrikus leírás, ahol a görbe pontjainak x és y koordinátáit két x ( t ), y ( t ) függvény reprezentálja, mind explicit ábrázolás formájában, mind egy közös függvénytől függően. paraméter $y=f(x)$ $t.$

Példák implicit görbékre:

egyenesen : $x+2y-3=0,$
kerülete : $x^{2}+y^{2}-4=0,$
Félköbös parabola : $x^{3}-y^{2}=0,$
Cassini oválisok (lásd a képet), $(x^{2}+y^{2})^{2}-2c^{2}(x^{2}-y^{2})-(a^{4}-c^{ 4})=0$
$\sin(x+y)-\cos(xy)+1=0$ (Lásd a képen).

Az első négy példa algebrai görbéket ábrázol, de az utolsó görbe nem. Az első három görbe egy egyszerű parametrikus ábrázolás, ellentétben a negyedik és ötödik példával. Az ötödik példa egy implicit görbe összetett geometriai szerkezetének lehetőségét mutatja be.

Az implicit függvénytétel azokat a feltételeket írja le, amelyek mellett az egyenlőség implicit módon megoldható x -ben és/vagy y-ben, azaz olyan feltételek mellett, amelyek mellett jogosan írhatunk vagy -t . Ez a tétel a kulcsa a görbék fontos geometriai tulajdonságainak kiszámításához – érintők , normálok és görbületek . A gyakorlatban az implicit görbéknek van egy jelentős hátránya – vizuális megjelenítésük gyakran nehézkes. Vannak azonban olyan számítógépes programok, amelyek lehetővé teszik implicit görbe rajzolását. $F(x,y)=0$ $x=g(y)$ $y=f(x)$

Egy egyenlettel rendelkező implicit görbe a felületre 0 értékű szinthalmaznak tekinthető ( lásd a harmadik ábrát). $F(x,y)=0$ $z=F(x,y)$

Döntés és görbület

Általában az implicit görbék nem illeszkednek a függvényteszthez egy függőleges vonallal (ami azt jelenti, hogy néhány x érték egynél több y értéknek felel meg ), ezért a görbe nem függvénygráf. Az implicit függvénytételnek azonban van egy feltétele, amely mellett az implicit görbét lokálisan adja meg a függvény grafikonja (különös tekintettel arra, hogy a görbe nem metszi magát). Ha a konstitutív viszonyok kellően simaak az ilyen területeken, akkor az implicit görbéknek jól meghatározott meredekségei, érintővonalai, normálvektorai és görbületei vannak.

Számos lehetséges módja van ezeknek a mennyiségeknek az implicit görbére való kiszámítására. Az egyik módszer az, hogy implicit differenciálással számítjuk ki y deriváltját x - hez képest . Ezenkívül egy implicit egyenlettel adott görbe esetén ezeket a képleteket közvetlenül a függvény parciális deriváltjaival fejezhetjük ki . Az alábbiakban a következő jelölést használjuk: parciális deriváltok (derivált x -re vonatkozóan ), , (a második derivált x -re vonatkoztatva ), (vegyes második parciális deriváltra), $F(x,y)=0$ $F$ $F_{x}$ $F_{y}$ ${\displaystyle F_{xx))$ ${\displaystyle F_{xy))$ $F_{yy}.$

Érintő és normálvektor

A görbe pontját szabályosnak nevezzük, ha az első parciális deriváltak és nem egyenlők nullával egyidejűleg. $(x_0, y_0)$ $F_{x}(x_{0},y_{0})$ $F_{y}(x_{0},y_{0})$

A szabályos pontban lévő érintő egyenes egyenlete a következő: $(x_{0},y_{0})$

F_{x}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})+F_{y}(x_{0},y_{0})(y-y_{0}) =0,

úgy, hogy az érintővonal meredeksége és így a görbe meredeksége abban a pontban legyen

-{\frac {F_{x}(x_{0},y_{0})}{F_{y}(x_{0},y_{0}))).

Ha a feltétel egy pontban teljesül , akkor a görbe abban a pontban függőleges. $(x_{0},y_{0})$ $F_{y}(x,y)=0\neq F_{x}(x,y)$

Ha mindkét derivált és egyenlő nullával ezen a ponton , a görbe nem differenciálható, és van egy szinguláris pontja , vagy csúcspontja , vagy önmetszéspontja . $F_{y}(x,y)=0$ $F_{x}(x,y)=0$

A görbe normálvektorát egy pontban az egyenlőség adja meg

\mathbf {n} (x_{0},y_{0})=(F_{x}(x_{0},y_{0}),F_{y}(x_{0},y_{0 }))

(itt a vektor karakterláncként van írva).

Görbület

Az olvashatóság érdekében az érveket kihagytuk . Egy szabályos pont görbületét a képlet adja meg $(x_{0},y_{0})$ $\kappa$

\kappa ={\frac {-F_{y}^{2}F_{xx}+2F_{x}F_{y}F_{xy}-F_{x}^{2}F_{yy)) {(F_{x}^{2}+F_{y}^{2})^{3/2}}}

[1] .

Képletek származtatása

Az implicit függvénytétel garantálja egy függvény létezését egy pont szomszédságában úgy, hogy . $(x_{0},y_{0})$ $f$ $F(x,f(x))=0$

A komplex derivált képlet szerint a függvény deriváltjai egyenlőek $f$

f'(x)=-{\frac {F_{x}(x,f(x))}{F_{y}(x,f(x))))

és

f''(x)={\frac {-F_{y}^{2}F_{xx}+2F_{x}F_{y}F_{xy}-F_{x}^{2}F_ {yy}}{F_{y}^{3}}}

(ahol a második képlet jobb oldalán lévő érvek az olvashatóság kedvéért kimaradtak). ${\megjelenítési stílus (x,f(x))}$

Ha a függvény deriváltjait beillesztjük a gráf érintővonalának és görbületének képleteibe, akkor explicit egyenlőséget kapunk $f$ $y=f(x)$

y=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})

(tangenciális vonal)

\kappa (x_{0})={\frac {f''(x_{0})}{(1+f'(x_{0})^{2})^{3/2)) }

(görbület).

Az implicit görbék előnyei és hátrányai

Hátrányok

Az implicit görbe jelentős hátránya, hogy nincs egyszerű módszer egyetlen pont kiszámítására, ami fontos a görbe megjelenítéséhez (lásd a következő részt).

Előnyök

Az implicit reprezentációk lehetővé teszik a metszéspontok kiszámítását - ha az egyik görbe implicit, a másik pedig parametrikusan van ábrázolva, csak egy egyszerű (egydimenziós) Newton-iterációra van szükség a metszéspontok kiszámításához , ellentétben az implicit-implicit és parametrikus- paraméteres esetek (lásd Metszéspont ).
Az implicit ábrázolás lehetővé teszi a görbén kívüli pontok előjellel történő elkülönítését . Ez például akkor lehet hasznos, ha Newton iterációja hamis pozíciómódszereket használunk. $F(x,y)=0$ $F(x,y)$
Könnyű olyan görbéket létrehozni, amelyek geometriailag szinte hasonlóak egy adott implicit görbéhez , ha egyszerűen hozzáadunk egy kis számot: (lásd a Smooth Fit részt ). $F(x,y)=0,$ $F(x,y)-c=0$

Implicit görbék használata

A matematikában fontos szerepet játszanak az algebrai görbék formájában megjelenő implicit görbék .

Ezenkívül implicit görbéket használnak a kívánt geometriájú görbék létrehozására. Íme két példa.

Sima közelítések

Konvex sokszögek

Egy konvex sokszög sima közelítése a következőképpen érhető el: legyenek a sokszög éleit tartalmazó egyenesek egyenletei, míg a sokszög belső pontjai adnak pozitív értékeket a függvényeknek. Ezután az implicit görbék részhalmaza $g_{i}(x,y)=a_{i}x+b_{i}y+c_{i}=0,\ i=1,\dotsc ,n$ $GI$

F(x,y)=g_{1}(x,y)\cdots g_{n}(x,y)-c=0

megfelelő kis paraméterrel egy sima (differenciálható) sokszög közelítés. Például görbék $c$

F(x,y)=(x+1)(-x+1)y(-x-y+2)(x-y+2)-c=0

számára

c=0{,}03;\dotsc ;0{,}6

5 élű sokszög sima közelítését tartalmazzák (lásd az ábrát).

Sorpárok

Két sor esetén

F(x,y)=g_{1}(x,y)g_{2}(x,y)-c=0

kapunk

párhuzamos vonalak ceruza , ha az adott vonalak párhuzamosak egy ceruza hiperbolákból, amelyek görbéket adtak aszimptotaként.

Például a koordinátaváltozók szorzata egy ceruzát ad hiperbolákat , amelyeknél a koordinátatengelyek aszimptoták. $xy-c=0,\ c\neq 0$

Egyéb

Ha az egyeneseken kívül más egyszerű implicit görbéket (köröket, parabolákat,...) használunk, új érdekes görbék széles skáláját kapjuk. Például,

F(x,y)=y(-x^{2}-y^{2}+1)-c=0

(a körképlet és az egyenes képlet szorzata - az y tengely) egy félkör sima közelítését adja (lásd az ábrát),

F(x,y)=(-x^{2}-(y+1)^{2}+4)(-x^{2}-(y-1)^{2}+4) -c=0

(két kör képleteinek szorzata) két kör sima közelítését adja (lásd az ábrát).

Keverési görbék

A CAD implicit görbéket használ görbeillesztések létrehozásához [ 2] [3] , egy speciális görbét, amely lehetővé teszi az egyik görbéből a másikba történő sima illesztést. Például,

F(x,y)=(1-\mu )f_{1}f_{2}-\mu (g_{1}g_{2})^{3}=0

összekötő görbéket képez két kör között

f_{1}(x,y)=(x-x_{1})^{2}+y^{2}-r_{1}^{2}=0,

f_{2}(x,y)=(x-x_{2})^{2}+y^{2}-r_{2}^{2}=0.

A módszer garantálja az érintők és a görbület folytonosságát az érintőpontokban (lásd az ábrát). két egyenes vonal

g_{1}(x,y)=x-x_{1}=0,\ g_{2}(x,y)=x-x_{2}=0

definiáljon érintkezési pontokat a körökkel. Az ábrán látható paraméter . $\mu$ $0{,}05;\dotsc ;0{,}2$

Kétpontos töltések izovonalai

Két egyenlő ponttöltés izolinai pontokban ábrázolhatók az egyenlőséggel $P_{1}=(1,0),\;P_{2}=(-1,0)$

f(x,y)={\frac {1}{|PP_{1}|}}+{\frac {1}{|PP_{2}|}}-c

={\frac {1}{\sqrt {(x-1)^{2}+y^{2))))+{\frac {1}{\sqrt {(x+1)^{ 2}+y^{2}}}}-c=0.

A görbék úgy néznek ki, mint a Cassini oválisok , de nem azok.

Implicit görbe vizualizáció

Az implicit görbe megjelenítéséhez általában meghatározunk egy sokszöget a görbén, és megrajzoljuk. Paraméteres görbe esetén ez a feladat egyszerű - csak számítsa ki a paraméteres értékek sorozatának megfelelő pontokat. Egy implicit görbe esetén két részproblémát kell megoldani:

a görbe első pontjának meghatározása egy adott kezdőpont közelében,
egy görbe pontjának meghatározása a görbe ismert pontjából kiindulva.

Mindkét esetben természetes a . A gyakorlatban ez a feltételezés egyetlen elszigetelt ponton sérül. $\operatorname {grad} F\neq (0,0)$

Pontalgoritmus

Mindkét fent említett probléma megoldásához szükség van egy programra (amelyet ) -nak nevezünk , amely adott ponton egy implicit görbe közelében talál egy pontot , amely ezen a görbén fekszik: ${\mathsf {CPPoint}}$ $Q_{0}=(x_{0},y_{0})$ $P$

(P1) Beállítjuk

j=0

(P2) ismételje meg

(x_{j+1},y_{j+1})=(x_{j},y_{j})-{\frac {F(x_{j},y_{j})}{F_ {x}(x_{j},y_{j})^{2}+F_{y}(x_{j},y_{j})^{2}}}\,\left(F_{x}( x_{j},y_{j}),F_{y}(x_{j},y_{j})\jobbra)

( Newton lépése a függvényhez ) (P3) addig, amíg a pontok közötti távolság elég kicsi lesz.

g(t)=F\left(x_{j}+tF_{x}(x_{j},y_{j}),y_{j}+tF_{y}(x_{j},y_{ j})\jobbra)\ .

(x_{j+1},y_{j+1}),\,(x_{j},y_{j})

(P4) egy pont a görbén a kezdőpont közelében .

P=(x_{j+1},y_{j+1})

Q_0

Nyomkövetési algoritmus

A görbével majdnem megegyező sokszög létrehozásához válasszon lépéshosszt és $s$

(T1) válasszon egy megfelelő kezdőpontot a görbe közelében (T2) programonként határozza meg az áramgörbét

P_1

{\mathsf {CPPoint}}

(T3) határozza meg az érintőt (lásd fent), válassza ki az érintő kezdőpontját lépéshosszal elválasztva (lásd az ábrát), és keresse meg a görbe második pontját a program segítségével .

s

P_2

{\mathsf {CPPoint}}

\cdots

Mivel az algoritmus egymás után talál pontokat egy görbe mentén, nyomkövetési algoritmusnak nevezzük .

Az algoritmus csak a görbe összefüggő részeit követi nyomon. Ha az implicit görbe több részből áll, akkor az algoritmust többször is újra kell indítani különböző megfelelő kiindulási pontokról.

Raszteres algoritmus

Ha az implicit görbe több vagy akár ismeretlen részből áll, célszerűbb lehet egy raszterizációs algoritmus használata . Ahelyett, hogy pontosan követné a görbét, a raszteres algoritmus a teljes görbét lefedi annyi ponttal, hogy azok összeolvadnak, és görbének tűnnek.

(R1) Alkossunk ponthálózatot (rasztert) a számunkra érdekes tartományban az xy síkban. (R2) A raszter minden egyes pixelére végrehajtjuk az algoritmust a P kezdőponttal, és megjelöljük az eredményt.

P

{\mathsf {CPPoint}}

Ha a hálózat elég sűrű, akkor az eredmény közelíti az implicit görbe összekapcsolt részeit. Ha a jövőben szüksége lesz egy sokszögre a görbén, akkor futtathatja a nyomkövetési algoritmust a kívánt részen.

Implicit térgörbék

Bármely térgörbe , amelyet két egyenlet határoz meg

{\begin{mátrix}F(x,y,z)=0,\\G(x,y,z)=0\end{mátrix))

implicit térgörbének nevezzük .

A görbe pontját szabályosnak mondjuk , ha a gradiensek keresztszorzata, és nem egyenlő abban a pontban: $(x_{0},y_{0},z_{0})$ $F$ $G$ $(0,0,0)$

\mathbf {t} (x_{0},y_{0},z_{0})=\operátornév {grad} F(x_{0},y_{0},z_{0})\times \ operátornév {grad} G(x_{0},y_{0},z_{0})\neq (0,0,0);

Egyébként a pontot szingulárisnak (szingulárisnak) nevezzük . A vektor a görbe érintővektora a pontban $\mathbf {t} (x_{0},y_{0},z_{0})$ $(x_{0},y_{0},z_{0}).$

Példák:

$(1)\quad x+y+z-1=0\ ,\ x-y+z-2=0$

egyenes.

$(2)\quad x^{2}+y^{2}+z^{2}-4=0\ ,\ x+y+z-1=0$

a gömbnek egy sík, azaz egy kör metszete.

$(3)\quad x^{2}+y^{2}-1=0\ ,\ x+y+z-1=0$

egy ellipszis (a henger egy síkszelvénye).

$(4)\quad x^{2}+y^{2}+z^{2}-16=0\ ,\ (y-y_{0})^{2}+z^{2} -9=0$

a gömb és a henger metszéspontja.

A görbepontok kiszámításához és az implicit térbeli görbe megjelenítéséhez lásd a Metszéspont című cikket .

Lásd még

Implicit felület

Jegyzetek

↑ Goldman, 2005 , p. 632.
↑ Hoffmann, Hopcroft, 1985 , p. 347-365.
↑ Hartmann, 1990 , p. 500-507.
↑ Taubin, 1994 .

Irodalom

Gomes A., Voiculescu I., Jorge J., Wyvill B., Galbraith C. Implicit Curves and Surfaces: Mathematics, Data Structures and Algorithms. - Springer-Verlag, 2009. - ISBN 978-1-84882-405-8 .
CL Bajaj, CM Hoffmann, RE Lynch. Felületi metszéspontok nyomon követése // Összeg. Segített Geomnak. tervezés. - 1988. - Kiadás. 5 . - S. 285-307 .
C. Hoffmann, J. Hopcroft. A felületek és sarkok keverésének lehetséges módja // Geometric-Modeling / G. Farin (Ed). – Philadelphia: SIAM, 1985.
E. Hartmann. Implicit felületek keverése funkcionális spline-ekkel // CAD,. - Butterworth-Heinemann, 1990. - T. 22 , no. 8 .
Goldman R. Görbületi képletek implicit görbékhez és felületekhez // Computer Aided Geometric Design. - 2005. - T. 22 , sz. 7 . - doi : 10.1016/j.cagd.2005.06.005 .
G. Taubin. Távolság-megközelítések implicit görbék raszterezéséhez // ACM-tranzakciók a grafikán. - 1994. - T. 13 , 1. sz .
A SZÁMÍTÓGÉPES TERVEZÉS geometriája és algoritmusai Archiválva : 2017. október 30. a Wayback Machine -nél

Linkek

Famous Curves archiválva 2006. április 13-án a Wayback Machine -nél