Implicit felület

Az implicit felület az euklideszi térben az egyenlet által meghatározott felület

F(x,y,z)=0.

Az implicit felület egy három változóból álló függvény nullák halmaza . Az implicit kifejezés itt azt jelenti, hogy az egyenlet nincs megoldva az x , y vagy z változók egyikére sem .

Egy függvény grafikonját általában egyenlettel írják le, és az ilyen ábrázolást explicitnek nevezik . A felület leírásának harmadik fontos módja a parametrikus ábrázolás , ahol a felületi pontok x , y és z koordinátáit az általános paraméterek függvényében három függvény ábrázolja . Általában a felület reprezentációjának megváltoztatása egyszerűen csak akkor történik meg, ha explicit reprezentációt adunk meg . Ekkor a másik két reprezentáció (implicit) és (parametrikus) lesz. $z=f(x,y)$ ${\megjelenítési stílus (x(s,t),y(s,t),z(s,t))}$ ${\megjelenítési stílus x(s,t)\,,y(s,t)\,,z(s,t)}$ $s,t$ $z=f(x,y)$ $zf(x,y)=0$ ${\megjelenítési stílus (s,t,f(s,t))}$

Példák :

repülőgép $x+2y-3z+1=0.$
szféra $x^{2}+y^{2}+z^{2}-4=0.$
tórusz $(x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-a^{2})^{2}-4R^{2}(x^{2} +y^{2})=0.$
2. nemzetség felülete : (lásd az ábrát). $2y(y^{2}-3x^{2})(1-z^{2})+(x^{2}+y^{2})^{2}-(9z^{2 }-1)(1-z^{2})=0$
A forradalom felülete (lásd az üvegképet ). $x^{2}+y^{2}-(\ln(z+3.2))^{2}-0{,}02=0$

Van egy egyszerű parametrikus ábrázolás a síkra, gömbre és tóruszra, ami nem igaz a negyedik példára.

Az implicit függvénytétel azokat a feltételeket írja le, amelyek mellett egy egyenlet (legalább implicit módon) megoldható x , y vagy z esetén . De általános esetben nem biztos, hogy létezik egyértelmű megoldás. Ez a tétel a kulcs a felület fontos geometriai tulajdonságainak kiszámításához, például érintősíkok , felületi normálisok , görbületek (lásd alább). Ezeknek a felületeknek azonban van egy jelentős hátrányuk - nehézkes a vizualizálásuk. $F(x,y,z)=0$

Ha egy polinom x , y és z - ben , akkor a felületet algebrainak mondjuk . Az 5. példa nem algebrai felület. $F(x,y,z)$

A vizualizáció nehézsége ellenére az implicit felületek viszonylag egyszerű technikákat kínálnak elméleti generálásukhoz (pl. Steiner felület ), valamint gyakorlati célokra érdekes felületek (lásd alább).

Képletek

A következő konvenciók szerint az implicit felületet az egyenlet reprezentálja , ahol a függvény kielégíti a szükséges differenciálhatósági feltételeket. Az alábbiakban a függvény parciális deriváltjait jelöljük . $F(x,y,z)=0$ $F$ $F$ $F_{x},F_{y},F_{z},F_{xx},\ldots$

Érintősík és normálvektor

A felület egy pontját akkor és csak akkor mondjuk szabályosnak , ha a függvény gradiense a pontban nem egyenlő a nullvektorral , ami azt jelenti, hogy $(x_{0},y_{0},z_{0})$ $F$ $(x_{0},y_{0},z_{0})$ $(0,0,0)$

{\megjelenítési stílus (F_{x}(x_{0},y_{0},z_{0}),F_{y}(x_{0},y_{0},z_{0}),F_{z} (x_{0},y_{0},z_{0}))\neq (0,0,0)}

Ha a felület egy pontja nem szabályos, akkor szingulárisnak nevezzük (a szinguláris pont kifejezést is használják). $(x_{0},y_{0},z_{0})$

Érintősík egyenlet szabályos pontban $(x_{0},y_{0},z_{0})$

F_{x}(x_{0},y_{0},z_{0})(x-x_{0})+F_{y}(x_{0},y_{0},z_{0 })(y-y_{0})+F_{z}(x_{0},y_{0},z_{0})(z-z_{0})=0,

és a normálvektor - egyenlet

\mathbf {n} (x_{0},y_{0},z_{0})=(F_{x}(x_{0},y_{0},z_{0}),F_{y }(x_{0},y_{0},z_{0}),F_{z}(x_{0},y_{0},z_{0}))^{T}.

Normál görbület

A képletek egyszerűsítése érdekében az alábbi képlet argumentumait kihagyjuk. Akkor $(x_{0},y_{0},z_{0})$

\kappa _{n}={\frac {\mathbf {v} ^{\top }H_{F}\mathbf {v} }{\|\operatorname {grad} F\|}}

a felület normál görbülete egy szabályos pontban egységnyi érintő irányvektor esetén . a függvény (második derivált mátrixa) Hess-je. $\mathbf {v}$ $H_{F}$ $F$

Ennek a képletnek a bizonyítása (mint az implicit görbe esetében) az implicit függvénytételen és a parametrikus felület normálgörbületének képletén alapul .

Implicit felületek alkalmazásai

Akárcsak az implicit görbék esetében, egyszerű primitívek algebrai műveleteivel (összeadás, szorzás) könnyen létrehozhatunk kívánt alakú implicit felületeket.

Kétpontos töltések ekvipotenciális felülete

Egy pontban lévő ponttöltés potenciált képez egy pontban (fizikai állandók kihagyva) $q_{i}$ $\mathbf {p} _{i}=(x_{i},y_{i},z_{i})$ $\mathbf {p} =(x,y,z)$

F_{i}(x,y,z)={\frac {q_{i}}{\|\mathbf {p} -\mathbf {p} _{i}\|}}.

A potenciálérték ekvipotenciális felülete egy implicit felület , amely egy pontban középpontos gömb . $c$ $F_{i}(x,y,z)-c=0$ ${\mathbf p}_{i}$

A négypontos töltések potenciálját a képlet számítja ki

F(x,y,z)={\frac {q_{1}}{\|\mathbf {p} -\mathbf {p} _{1}\|}}+{\frac {q_{ 2}}{\|\mathbf {p} -\mathbf {p} _{2}\|}}+{\frac {q_{3}}{\|\mathbf {p} -\mathbf {p} _ {3}\|}}+{\frac {q_{4}}{\|\mathbf {p} -\mathbf {p} _{4}\|}}.

Az ábrán négy töltés nagysága 1, és pontokban helyezkednek el . Az ábrázolt felület egy ekvipotenciális felület (implicit felület) . $(\pm 1,\pm 1,0)$ $F(x,y,z)-2{,}8=0$

A távolságok állandó szorzatának felülete

A Cassini ovális olyan pontok halmazaként definiálható, amelyeknél a két adott pont távolságának szorzata állandó (ellentétben az ellipszissel, amelynél a távolságok összege állandó). Hasonlóképpen, az implicit felületek bizonyos rögzített pontoktól való távolságok állandó szorzataként definiálhatók.

A metamorfózis ábrán a bal felső felület ennek a szabálynak megfelelően alakul ki. Ez a felület a függvény szintfelülete , ahol $F(x,y,z)-1{,}1=0$

{\begin{aligned}F(x,y,z)={}&{\Big (}{\sqrt {(x-1)^{2}+y^{2}+z^{2 ))}\cdot {\sqrt {(x+1)^{2}+y^{2}+z^{2))}\\&\qquad \cdot {\sqrt {x^{2}+( y-1)^{2}+z^{2))}\cdot {\sqrt {x^{2}+(y+1)^{2}+z^{2))}{\Big )} \end{igazított}}

Implicit felületek metamorfózisai

Egy másik egyszerű módszer új implicit felületek létrehozására az implicit felületi metamorfózis :

Két implicit felületre (az ábrán ez a távolságok és a tórusz állandó szorzatának felülete) új felületek adhatók meg a paraméterrel : $F_{1}(x,y,z)=0,F_{2}(x,y,z)=0$ $\mu \in [0,1]$

F(x,y,z)=\mu F_{1}(x,y,z)+(1-\mu )F_{2}(x,y,z)=0

Az ábrán felületek láthatók paraméterértékekkel . $\mu =0,\,0{,}33,\,0{,}66,\,1$

Néhány implicit felület sima közelítése

$\Pi$ -felületek [1] használhatók bármely olyan sima és korlátos objektum közelítésére -ben , amelynek felületét egy polinom határozza meg, amely egyenlő más polinomok szorzatával. Más szóval, bármilyen sima objektumot létrehozhatunk egyetlen algebrai felülettel. Jelöljük a polinomokat . Ekkor a közelítő objektumot a polinom határozza meg $R^{3}$ $f_{i}\in \mathbb {R} [x_{1},\ldots ,x_{n}](i=1,\ldots ,k)$

F(x,y,z)=\prod _{i}f_{i}(x,y,z)-r

[egy]

ahol a közelítési hibát szabályozó keverési paramétert határozza meg. $r\in \mathbb {R}$

Az implicit görbék sima közelítéséhez hasonlóan az egyenlet

F(x,y,z)=F_{1}(x,y,z)\cdot F_{2}(x,y,z)\cdot F_{3}(x,y,z)- r=0

megfelelő paraméterek esetén három egymást metsző tori sima közelítését jelenti az egyenletekkel $c$

{\begin{aligned}F_{1}=(x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-a^{2})^{2}- 4R^{2}(x^{2}+y^{2})=0,\\[3pt]F_{2}=(x^{2}+y^{2}+z^{2}+ R^{2}-a^{2})^{2}-4R^{2}(x^{2}+z^{2})=0,\\[3pt]F_{3}=(x ^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-a^{2})^{2}-4R^{2}(y^{2}+z^{2 })=0.\end{igazított}}

(Az ábrán a paraméterek egyenlőek ) $R=1,\,a=0{,}2,\,r=0{,}01.$

Implicit felületek megjelenítése

Számos algoritmus létezik implicit felületek renderelésére [3] , köztük a „ marching cubes ” algoritmus [4] . Valójában két ötlet létezik az implicit felületek megjelenítésére – az egyik sokszögekből álló hálózatot hoz létre, amelyeket aztán megrajzol (lásd : Felület háromszögelése ), a másik pedig a sugárkövetésre támaszkodik , amikor a sugarak metszéspontjai felületét határozzák meg [5] .

Lásd még

implicit görbe

Jegyzetek

↑ Raposo 12. , Gomes, 2019 .
↑ A POV-Ray ( angolul: The Persistence of Vision Ray-Tracer ) fordított sugárkövetést használ a 3D fotorealisztikus képek létrehozásához. A POV-Ray jelenetét az SDL ( Eng. Scene Description Language ) írja le - egy C-szerű szintaxisú értelmezett programozási nyelv. Az SDL használatával a felhasználó beállítja a kamera helyzetét, a fényforrásokat, az objektumok elhelyezését és tulajdonságaikat, a légköri hatásokat stb. Lásd a Tudományos illusztrációk a POV-Ray-ben című cikket, archiválva 2019. december 20-án a Wayback Machine -n
↑ Bloomenthal, Bajaj, Wyvill, 1997 .
↑ Stephenson, 2004 .
↑ Haines, Akenine-Moller, 2019 .

Irodalom

Adriano N. Raposo, Abel JP Gomes. Pi-felületek: implicit felületek termékei a 3D objektumok konstruktív kompozíciója felé // Journal of WSCG. - 2019. - arXiv : 1906.06751 . (Nemzetközi konferencia Közép-Európában a számítógépes grafikáról, vizualizációról és számítógépes látásról)

Jules Bloomenthal, Chandrajit Bajaj, Brian Wyvill. Bevezetés az implicit felületekbe . - Morgan Kaufmann, 1997. - ISBN 978-1-55860-233-5 .
Ian Stephenson. Gyártási rendering: Tervezés és megvalósítás . - Springer Science & Business Media, 2004. - ISBN 978-1-85233-821-3 .
Eric Haines, Tomas Akenine-Moller. Ray Tracing drágakövek. - Springer, 2019. - ISBN 978-1-4842-4427-2 .
Gomes A., Voiculescu I., Jorge J., Wyvill B., Galbraith C. Implicit Curves and Surfaces: Mathematics, Data Structures and Algorithms . — London: Springer-Verlag, 2009. — ISBN 978-1-84882-405-8 .
Thorpe JA elemi témakörök a differenciálgeometriában. - New York: Springer-Verlag, 1979. - (Matematika alapképzési szövegei). — ISBN 0-387-90357-7 .
- Thorp J. A differenciálgeometria kezdeti fejezetei. - "Mir", 1982. - (Modern matematika. Bevezető kurzusok).

Linkek

Sultanow: Implizite Flächen archiválva 2021. január 19-én a Wayback Machine -nél
Hartmann: Geometry and Algorithms for SZÁMÍTÓGÉPES TERVEZÉS Archiválva : 2017. október 30. a Wayback Machine -nél
GEOMVIEW archiválva 2000. július 11-én a Wayback Machine -nél
K3Dsurf: 3D felületgenerátor archiválva 2020. november 10-én a Wayback Machine -nél
SURF: Visualisierung algebraischer Flächen archiválva 2021. március 8-án a Wayback Machine -nél