Metszéspont (euklideszi geometria)

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. december 28-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 7 szerkesztést igényelnek .

Az euklideszi geometriában a metszéspont egy olyan pont vagy görbe , amelyen két vagy több objektum (például görbék, síkok és felületek ) osztozik. A legegyszerűbb eset két különböző egyenes metszéspontja a síkban, amely vagy egyetlen pont, vagy nem létezik, ha az egyenesek párhuzamosak .

A síkok – többdimenziós térbe ágyazott kétdimenziós lineáris geometriai objektumok – metszéspontjának megtalálása egy lineáris egyenletrendszer megoldására redukálódik .

Általában a metszéspontot nemlineáris egyenletrendszer határozza meg , amely numerikusan megoldható , például Newton módszerével . Az egyenes és a kúpszakasz ( kör , ellipszis , parabola stb.) vagy másodfokú ( gömb , henger , hiperboloid stb.) metszéspontjával kapcsolatos problémák könnyen megoldható másodfokú egyenletekhez vezetnek. A négyszögek metszéspontjai negyedfokú egyenletekhez vezetnek , amelyek algebrai úton is megoldhatók .

A repülőn

Két sor

Két nem párhuzamos egyenes metszéspontjának megkereséséhez:

{\displaystyle a_{1}x+b_{1}y=c_{1},\ a_{2}x+b_{2}y=c_{2))

használhatjuk például a Cramer-szabályt , vagy egy változó helyettesítésével a metszéspont koordinátáit : $(x_{s},y_{s})$

x_{s}={\frac {c_{1}b_{2}-c_{2}b_{1}}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}} ,\quad y_{s}={\frac {a_{1}c_{2}-a_{2}c_{1}}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}}

(Ha , akkor ezek az egyenesek párhuzamosak, ami azt jelenti, hogy ezek a képletek nem használhatók, mert 0-val osztanak.) $a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}=0$

Két szegmens

Két nem párhuzamos vonalszakasznál , és ez a pont nem feltétlenül a metszéspont (lásd az ábrát), mert a megfelelő egyenesek metszéspontjának nem kell szerepelnie a szakaszokban. A helyzet ellenőrzésére a vonalak parametrikus ábrázolásait használják: ${\megjelenítési stílus (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})}$ ${\megjelenítési stílus (x_{3},y_{3}),(x_{4},y_{4})}$ $(x_{0},y_{0})$

{\megjelenítési stílus (x(ek),y(s))=(x_{1}+s(x_{2}-x_{1}),y_{1}+s(y_{2}-y_{1} )),}

{\megjelenítési stílus (x(t),y(t))=(x_{3}+t(x_{4}-x_{3}),y_{3}+t(y_{4}-y_{3} )).}

A szakaszok csak a megfelelő egyenesek közös pontjában metszik egymást , ha a megfelelő paraméterek teljesítik a feltételt . A paraméterek a lineáris rendszer megoldása $(x_{0},y_{0})$ $s_{0},t_{0}$ $0\leq s_{0},t_{0}\leq 1$ $s_{0},t_{0}$

s(x_{2}-x_{1})-t(x_{4}-x_{3})=x_{3}-x_{1},

s(y_{2}-y_{1})-t(y_{4}-y_{3})=y_{3}-y_{1}\ .

Megoldható s és t esetén a Cramer-szabály segítségével (lásd fent ). Ha a feltétel teljesül , akkor vagy bekerül a megfelelő parametrikus ábrázolásba és megkapjuk a metszéspontot . $0\leq s_{0},t_{0}\leq 1$ $s_{0}$ $t_0$ $(x_{0},y_{0})$

Példa: Szegmensekhez és lineáris rendszert kapunk ${\megjelenítési stílus (1,1),(3,2)}$ ${\megjelenítési stílus (1,4),(2,-1)}$

2s-t=0

s+5t=3

és . Ez azt jelenti: az egyenesek egy pontban metszik egymást . $s_{0}={\tfrac {3}{11)),t_{0}={\tfrac {6}{11}}$ $({\tfrac {17}{11)),{\tfrac {14}{11)))$

Megjegyzés: Ha a pontpárok által meghatározott szakaszok helyett egyeneseket vesszük figyelembe, minden feltétel elhagyható, és a módszer megadja a vonalak metszéspontját (lásd fent ). $0\leq s_{0},t_{0}\leq 1$

Vonal és kör

Egy szakasz és egy kör metszéspontjához oldjon meg egy lineáris egyenletet x vagy y számára , és helyettesítse be a köregyenletet, és kapja meg a megoldást (a másodfokú egyenlet képletével) : $ax+by=c$ $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ ${\megjelenítési stílus (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})}$

x_{1/2}={\frac {ac\pm b{\sqrt {r^{2}(a^{2}+b^{2})-c^{2)))){ a^{2}+b^{2}}}

y_{1/2}={\frac {bc\mp a{\sqrt {r^{2}(a^{2}+b^{2})-c^{2)))){ a^{2}+b^{2}}}

ha . Ha ez a feltétel szigorú egyenlőtlenséggel teljesül, akkor két metszéspont van; ebben az esetben az egyenest a kör metszővonalának , a metszéspontokat összekötő szakaszt pedig a kör húrjának nevezzük . $r^{2}(a^{2}+b^{2})-c^{2}\geq 0$

Ha , akkor csak egy metszéspont van, és az egyenes érinti a kört. Ha a gyenge egyenlőtlenség nem teljesül, az egyenes nem metszi a kört. $r^{2}(a^{2}+b^{2})-c^{2}=0$

Ha a kör közepe nem az origó [1] , akkor egy egyenes és egy parabola vagy hiperbola metszéspontját tekinthetjük.

Két kör

Két kör metszéspontjának meghatározása:

(x-x_{1})^{2}+(y-y_{1})^{2}=r_{1}^{2},\ \quad (x-x_{2})^ {2}+(y-y_{2})^{2}=r_{2}^{2}

egy egyenes és egy kör metszéspontjának előző esetére redukál. A két egyenlet kivonásával egy lineáris egyenletet kapunk:

2(x_{2}-x_{1})x+2(y_{2}-y_{1})y=r_{1}^{2}-x_{1}^{2}-y_ {1}^{2}-r_{2}^{2}+x_{2}^{2}+y_{2}^{2}.

Ez a konkrét egyenes a két kör gyöktengelye .

Különleges eset ; ebben az esetben az origó az első kör középpontja, a második középpont pedig az x tengelyen található (lásd az ábrát $\;x_{1}=y_{1}=y_{2}=0$ [ finomítás ] ). A gyökvonal egyenlete leegyszerűsödik: és a metszéspontok úgy írhatók fel, mint $\;2x_{2}x=r_{1}^{2}-r_{2}^{2}+x_{2}^{2}\;$ $(x_{0},\pm y_{0})$

x_{0}={\frac {r_{1}^{2}-r_{2}^{2}+x_{2}^{2}}{2x_{2}}},\quad y_ {0}={\sqrt {r_{1}^{2}-x_{0}^{2))}\ .

Kör esetén nincs közös pontjuk. A körök esetében egy közös pontjuk van, a gyöktengely pedig egy közös érintő. ${\displaystyle r_{1}^{2}<x_{0}^{2))$
${\displaystyle r_{1}^{2}=x_{0}^{2))$

Bármely általános eset, amint azt fent leírtuk, váltással és forgatással speciális esetté alakítható.

Két kör metszéspontja (két kör belseje) egy lencsének nevezett alakzatot alkot .

Két kúpos szakasz

Az ellipszis , hiperbola , parabola és egy másik kúpszelet metszéspontjának problémája másodfokú egyenletrendszerre redukálódik , amely bizonyos esetekben könnyen megoldható egy koordináta kiiktatásával. A kúpszelvények speciális tulajdonságai segítségével megoldást nyerhetünk . Általában a metszéspontok az egyenlet Newton-iterációval történő megoldásával határozhatók meg. Ha a) mindkét kúprész implicit módon (egyenlet segítségével) adott, akkor kétdimenziós Newton-iterációra van szükség; b) az egyik implicit módon, a másik pedig paraméteresen - szükséges, hogy Newton 1-dimenziós iterációja legyen megadva.

Két sima görbe

Két (kétdimenziós térbeli) görbének , amelyek folytonosan differenciálhatók (azaz nincs éles kanyar), akkor van metszéspontjuk, ha van közös pontjuk a síkban és abban a pontban $\mathbb {R} ^{2}$

a: különböző érintők ( keresztirányú metszéspont ) ill b: az érintő egyenes közös, és metszik egymást (tangenciális metszéspont , lásd az ábrát).

Ha mindkét görbének van közös S pontja és érintője, de nem metszik egymást, egyszerűen "összeérnek" az S pontban .

Mivel a kereszteződések érintései ritkák és nehezen kezelhetők, a következő megfontolások ezt az esetet nem veszik figyelembe. Mindenesetre az alábbiakban feltételezzük az összes szükséges differenciálfeltételt. A metszéspontok meghatározása mindig egy-két nemlineáris egyenletet eredményez, amelyek Newton iterációjával megoldhatók. Az előforduló esetek listája a következő:

Ha mindkét görbe explicit módon adott : , akkor ezek egyenlítésével az egyenlet jön létre $y=f_{1}(x),\ y=f_{2}(x)$

f_{1}(x)=f_{2}(x)\ .

Ha mindkét görbe paraméteresen van megadva : $C_{1}:(x_{1}(t),y_{1}(t)),\ C_{2}:(x_{2}(s),y_{2}(s)).$

Ha ezeket egyenlővé tesszük, két egyenletet kapunk két változóval:

x_{1}(t)=x_{2}(s),\ y_{1}(t)=y_{2}(s)\ .

Ha az egyik görbe paraméteresen, a másik implicit módon van megadva : $C_{1}:(x_{1}(t),y_{1}(t)),\ C_{2}:f(x,y)=0.$

Ez a legegyszerűbb eset az explicit mellett. Be kell illesztenie egy paraméteres ábrázolást a görbeegyenletbe , és megkapja az egyenletet :

C_{1}

f(x,y)=0

C_{2}

f(x_{1}(t),y_{2}(t))=0\ .

Ha mindkét görbe implicit módon adott : $C_{1}:f_{1}(x,y)=0,\ C_{2}:f_{2}(x,y)=0.$

Itt a metszéspont a rendszer megoldása

f_{1}(x,y)=0,\ f_{2}(x,y)=0\ .

Newton bármilyen iterációjához kényelmes kezdeti értékekre van szükség, amelyeket mindkét görbe megjelenítésével kaphatunk. Egy parametrikusan vagy explicit módon definiált görbe könnyen megjeleníthető, mivel bármely t vagy x paraméterre könnyen kiszámítható a megfelelő pont. Az implicit módon meghatározott görbék esetében ez a feladat nem olyan egyszerű. Ebben az esetben meg kell határozni a görbe pontját a kezdeti értékek és az iteráció segítségével [2] .

Példák:

1: és kör (lásd az ábrát).

C_{1}:(t,t^{3})

C_{2}:(x-1)^{2}+(y-1)^{2}-10=0

Newton-iteráció egy függvényhez

t_{n+1}:=t_{n}-{\frac {f(t_{n})}{f'(t_{n))}}

f(t)=(t-1)^{2}+(t^{3}-1)^{2}-10

meg kell csinálni. Kiindulási értékként –1 és 1,5 választható. Metszéspontok: (-1,1073, -1,3578), (1,6011, 4,1046) 2:

C_{1}:f_{1}(x,y)=x^{4}+y^{4}-1=0,

C_{2}:f_{2}(x,y)=(x-0,5)^{2}+(y-0,5)^{2}-1=0

(lásd az ábrát). Newton iteráció

{x_{n+1} \choose y_{n+1}}={x_{n}+\delta _{x} \choose y_{n}+\delta _{y}}

teljesülnie kell, hol van a lineáris rendszer megoldása

{\delta _{x} \choose \delta _{y))

{\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x}}&{\frac {\partial f_{1}}{\partial y}}\\{\frac { \partial f_{2}}{\partial x}}&{\frac {\partial f_{2}}{\partial y}}\end{pmatrix}}{\delta _{x} \choose \delta _{ y}}={-f_{1} \choose -f_{2}}

pontban . Kiindulási értékként választhat (-0,5, 1) és (1, -0,5).

(x_{n},y_{n})

A lineáris rendszer a Cramer-szabály segítségével oldható meg. A metszéspontok (-0,3686, 0,9953) és (0,9953, -0,3686).

Két sokszög

Ha meg akarjuk határozni két sokszög metszéspontját, ellenőrizhetjük a sokszög bármely szakaszának metszéspontját (lásd fent ). A sok szegmenssel rendelkező sokszögeknél ez a módszer meglehetősen munkaigényes. A gyakorlatban a metszésponti algoritmust ablaktesztekkel gyorsítják fel . Ebben az esetben feloszthatja a sokszögeket kis részpoligonokra, és meghatározhatja a legkisebb ablakot (téglalap, amelynek oldalai párhuzamosak a koordinátatengelyekkel) bármely részpoligonhoz. Mielőtt elkezdené a két vonalszakasz metszéspontjának fáradságos meghatározását, minden ablakpárt ellenőrizni kell közös pontok jelenlétére [3]

Térben (három dimenzió)

A 3D térben metszéspontok (közös pontok) vannak a görbék és a felületek között. A következő szakaszokban csak a keresztirányú metszéspontot vesszük figyelembe .

Vonal és sík

Egy egyenes és egy sík metszéspontja általános helyzetben három dimenzióban egy pont.

Általában egy vonalat a térben paraméteresen ábrázolunk , a síkot pedig egy egyenlet . A paraméterábrázolást beillesztve az egyenletbe a lineáris egyenletet kapjuk ${\megjelenítési stílus (x(t),y(t),z(t))}$ $ax+by+cz=d$

ax(t)+by(t)+cz(t)=d\ ,

a metszéspont paraméterhez . $t_0$ ${\megjelenítési stílus (x(t_{0}),y(t_{0}),z(t_{0}))}$

Ha a lineáris egyenletnek nincs megoldása, az egyenes vagy a síkon fekszik, vagy párhuzamos vele.

Három sík

Ha egy egyenest két egymást metsző sík határoz meg, és egy harmadik síkkal kell metszeni, akkor meg kell becsülni a három sík közös metszéspontját. $\varepsilon _{i}:\ {\vec {n}}_{i}\cdot {\vec {x}}=d_{i},\ i=1,2$ $\varepsilon _{3}:\ {\vec {n}}_{3}\cdot {\vec {x}}=d_{3}$

Három lineárisan független normálvektorú síknak van metszéspontja $\varepsilon _{i}:\ {\vec {n}}_{i}\cdot {\vec {x}}=d_{i},\ i=1,2,3$ ${\vec {n}}_{1},{\vec {n}}_{2},{\vec {n}}_{3}$

{\vec {p}}_{0}={\frac {d_{1}({\vec {n}}_{2}\times {\vec {n}}_{3})+ d_{2}({\vec {n}}_{3}\times {\vec {n}}_{1})+d_{3}({\vec {n}}_{1}\times { \vec {n}}_{2})}{{\vec {n}}_{1}\cdot ({\vec {n}}_{2}\times {\vec {n}}_{3 })}}\ .

A bizonyításhoz a hármas skalárszorzat szabályaival kell megállapítani . Ha a hárompontos szorzat 0, akkor a síkok vagy nem rendelkeznek hármas metszésponttal, vagy egyenes (vagy sík, ha mindhárom sík azonos). ${\vec {n}}_{i}\cdot {\vec {p}}_{0}=d_{i},\ i=1,2,3,$

Görbe és felület

Hasonlóan a sík esethez, a következő esetek nemlineáris rendszerekhez vezetnek, amelyek Newton 1- vagy 3-dimenziós iterációjával oldhatók meg [4] :

parametrikus görbe és ${\megjelenítési stílus C:(x(t),y(t),z(t))}$

parametrikus felület

S:(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\ ,

parametrikus görbe és ${\megjelenítési stílus C:(x(t),y(t),z(t))}$

implicit felület

S:f(x,y,z)=0\ .

Példa:

parametrikus görbe és

C:(t,t^{2},t^{3})

implicit felület (lásd az ábrát).

S:x^{4}+y^{4}+z^{4}-1=0

Metszéspontok: (−0,8587, 0,7374, −0,6332), (0,8587, 0,7374, 0,6332).

Egy egyenes és egy gömb metszéspontja speciális eset.

Ahogy az egyenes és a sík esetében, a görbe és a felület metszéspontja általános helyzetben diszkrét pontokból áll, de a görbét részben vagy egészben a felület tartalmazhatja.

Vonal és poliéder

Két felület

Két keresztirányban metsző felület ad egy metszésponti görbét . A legegyszerűbb eset két nem párhuzamos sík metszésvonala.

Jegyzetek

↑ Hartmann, 2003 , p. 17.
↑ Hartmann, 2003 , p. 33.
↑ Hartmann, 2003 , p. 79.
↑ Hartmann, 2003 , p. 93.

Irodalom

Erich Hartmann. Geometria és algoritmusok a számítógéppel segített tervezéshez . – Darmstadti Műszaki Egyetem, 2003.