Perdület

perdület
${\vec {L}}={\vec {r}}\times {\vec {p}}\,$
Dimenzió	L 2 MT -1
Egységek
SI	m 2 kg / s _
GHS	cm 2 g / s _
Megjegyzések
pszeudovektor

A szögimpulzus ( ponthoz viszonyított impulzus , még: mozgási impulzus , szögimpulzus , pályamomentum , szögimpulzus ) egy fizikai mennyiség, amely a forgómozgás mértékét jellemzi, és attól függ, hogy mennyivel forog a tömeg , hogyan oszlik el a térben milyen szögsebességű forgás következik be [1] .

Egy anyagi pont esetében a szögimpulzus egyenlő a pont sugárvektorának és impulzusának vektorszorzatával, pontrendszer esetén az ilyen termékek összegével. Szabványos jelölés: , SI mértékegysége : m 2 kg/s. Az érték az O sugárvektorok origójának megválasztásától függ. $\mathbf{L}$ $\mathbf{L}$

A zárt rendszer szögimpulzusa megmarad . Egyike a három additív ( energia , lendület , szögimpulzus) mozgásintegrálnak . Külső erők jelenlétében a szögimpulzus időhöz viszonyított deriváltja megegyezik az erők nyomatékával (ugyanaz O kezdetre vonatkoztatva).

A szögimpulzus fogalmának fő használata a valós forgással járó problémákra vonatkozik (különösen központi vagy tengelyirányú szimmetria esetén; ekkor általában az O-t a középpontban vagy a tengelyen választják). De az értéket más helyzetekben is ki lehet számítani, például egy részecske egy tetszőleges O ponton túli egyenes vonalú mozgására, amely nem fekszik a mozgásvonalon, és hagyományosan középpontnak tekintjük. $\mathbf{L}$

Egy merev test fix tengely körüli forgása esetén gyakran nem magát a szögnyomatékot használják, hanem ennek a tengelyre való vetületét - ezt a mennyiséget a tengely körüli szögimpulzusnak nevezzük . $L_{\parallel }$

A szögimpulzus fogalmát eredetileg a klasszikus mechanikában vezették be, de vannak általánosításai a kvantummechanikában és az elektrodinamikában.

Szögimpulzus a klasszikus mechanikában

Definíció

Egy anyagi pont szögimpulzusát valamely vonatkoztatási ponthoz képest a sugárvektorának és impulzusának vektorszorzata határozza meg : $\mathbf L$

{\mathbf {L}}={\mathbf {r}}\times {\mathbf {p}}

ahol a részecske sugárvektora a kiválasztott rögzített referenciaponthoz viszonyítva, a részecske impulzusa. $\mathbf {r}$ ${\mathbf p}$

A szögimpulzus definíciójából adódik az additivitása : több anyagi pontból álló rendszernél

\mathbf {L} =\sum \limits _{i}\mathbf {L} _{i}=\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {p} _ {én}

A részecskék száma végtelen lehet, például elosztott tömegű szilárd test esetén.

Mivel a szögimpulzus a keresztszorzatból adódik , ez egy pszeudovektor , amely merőleges mind a, mind a vektorokra . $\mathbf {r}$ ${\mathbf p}$

A szögimpulzus bármely O origóra vonatkoztatva kiszámítható (az így kapott különböző értékek nyilvánvalóan összefüggenek egymással); leggyakrabban azonban (a kényelem és a határozottság kedvéért) a tömegközépponthoz, egy merev test fix forgáspontjához vagy valami által kiválasztott másik ponthoz viszonyítva számítják. $\mathbf{L}$

Az O pont megválasztása néha a probléma természetével függ össze. Tehát, ha egy bolygó Nap körüli keringési mozgását vizsgáljuk, természetes, hogy a Napot vesszük origónak, saját forgásának elemzésekor pedig ennek a bolygónak a középpontját. Természetesen két különböző szögnyomatékot kapunk: és . $\mathbf {L} _{\mathrm {orbit} }$ $\mathbf {L} _{\mathrm {spin} }$

Számítás általános esetben

Ha van egy anyagi pont, amelynek tömege sebességgel mozog és a sugárvektor által leírt pontban található , akkor a szögimpulzus is a képlettel számítható $m$ $\mathbf{v}$ $\mathbf {r}$ $\mathbf {p} =m\mathbf {v}$

\mathbf {L} =\mathbf {r} \times m\mathbf {v}

Egy test impulzusimpulzusának kiszámításához végtelenül kis darabokra ( -sűrűség) kell felosztani, és ezek nyomatékait anyagi pontok impulzusnyomatékaiként kell összeadni, vagyis vegyük az integrált : $dm=\rho (\mathbf {r} )dV$ $\rho$

{\displaystyle \mathbf {L} =\int \limits _{V}{\mathbf {dL} }=\int \limits _{V}{\mathbf {r} \times \mathbf {v} \,dm} =\int \limits _{V}{\mathbf {r} \times \mathbf {v} \,\rho dV))

A gyakorlatban három koordináta függvényében adják meg, és hármas integrációt kell végrehajtani: $\rho$

\mathbf {L} =\iiint {(x\mathbf {i} +y\mathbf {j} +z\mathbf {k} )\times \mathbf {v} \,\rho (x,y, z)\,dx\,dy\,dz}

Ha feltételezzük, hogy ez egy általánosított függvény , amely esetleg delta-szerű kifejezéseket is tartalmaz, akkor ez a képlet egyaránt alkalmazható elosztott és diszkrét rendszerekre. $\rho(x,y,z)$

Rögzített tengelyes eset

A "lendület" fogalmának fontos használata a rögzített tengely körüli mozgás. Ilyen helyzetben gyakran nem magát a szögmomentumot (pszeudovektort) veszik figyelembe, hanem annak a tengelyre vetítését pszeudoszkalárként , amelynek előjele a forgásiránytól függ:

L_{\parallel }=\pm |\mathbf {r_{\perp }} \times \mathbf {p_{\perp }} |

A párhuzamosság-merőlegesség ( , ) a tengelyhez képest értendő; , . Ebben az esetben a tengely és az anyagi pont közötti távolság, az úgynevezett "váll". Ennek a vetületnek az értéke, ellentétben magával a pillanattal, nem változik, ha az O origót eltoljuk a tengelyen. Elosztott rendszerhez $\párhuzamos$ $\perp$ $\mathbf {r} =\mathbf {r_{\perp }} +\mathbf {r_{\parallel }}$ $\mathbf {p} =\mathbf {p_{\perp }} +\mathbf {p_{\parallel }}$ ${\displaystyle r_{\perp ))$

L_{\parallel }=\pm \left|\int {\mathbf {r_{\perp }} \times \mathbf {v_{\perp }} \,\rho dV}\right|

Ha egyidejűleg a test minden pontja körben mozog (forog) azonos szögsebességgel , azaz numerikusan , akkor egy anyagi pontnál a tömeg , illetve a rendszer esetében a tömeg, ill. $\omega$ $v=\omega r_{\perp }$ $m$

L_{\parallel }=\pm \omega mr_{\perp }^{2}\quad

vagy .

{\displaystyle \quad L_{\parallel }=\pm \omega \int {r_{\perp }^{2}\,\rho dV))

A mennyiséget néha a tengely körüli szögimpulzusnak nevezik. Az y párhuzamos szimbólum és a kifejezés előtti jel elhagyható, ha nyilvánvaló a mondanivaló. $L_{\parallel }$ $L$

Abszolút merev test esetén az utolsó integrál értékét a forgástengely körüli tehetetlenségi nyomatéknak nevezzük, és jelöli . Ekkor a rekord alakot vagy vektoros formában felveszi . Ha a test tömegközéppontján átmenő tengelyről ismert a tehetetlenségi nyomaték, és a vele párhuzamos másik tengely körül forog, akkor a szükséges tehetetlenségi nyomatékot a Steiner-tétel határozza meg . $én$ $\,L_{\parallel }=\pm I\omega \,$ $\mathbf {L} =I{\boldsymbol {\omega }}$

A szögimpulzus megmaradása

A szögimpulzus megmaradásának törvénye : A teljes impulzusimpulzus bármely fix pont körül zárt rendszer esetén időben állandó marad.

A szögimpulzus időhöz viszonyított deriváltja az erőnyomaték :

{\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=\sum _{i}{\frac {d\mathbf {r} _{i}}{dt}}\times \mathbf {p } _{i}+\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\times {\frac {d\mathbf {p} _{i}}{dt}}=\sum _{i}\ mathbf {r} _{i}\times \mathbf {F} _{i}=\mathbf {\tau _{ext))

Így a rendszer zárásának követelménye gyengíthető arra a követelményre, hogy a külső erők fő (összes részecskékre vetített ) nyomatéka nulla legyen: $én$

\mathbf {L} =\mathrm {constant} \leftrightarrow \mathbf {\tau _{ext)) =0

ahol a részecskék rendszerére ható erők nyomatéka. (De természetesen, ha egyáltalán nincsenek külső erők, ez a követelmény is teljesül.) Hasonló megmaradási törvény érvényes a rögzített tengely körüli impulzusimpulzusokra is. $\mathbf {\tau _{ext}}$

Noether tétele szerint a szögimpulzus megmaradásának törvénye a tér izotrópiájából , vagyis a tér tetszőleges szögben történő forgással kapcsolatos invarianciájából következik. Egy tetszőleges infinitezimális szögben elforgatva a számmal rendelkező részecske sugárvektora -kal, a sebességek pedig -kal változnak . A rendszer Lagrange-függvénye a tér izotrópiája miatt nem változik ilyen forgás közben. Ezért $\delta \varphi$ $én$ ${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}=\delta \varphi \times \mathbf {r} _{i))$ ${\displaystyle \delta \mathbf {v} _{i}=\delta \varphi \times \mathbf {v} _{i))$ ${\mathcal L}$

\delta \mathcal L = \mathcal L(\mathbf{r}_i + \delta\mathbf{r}_i,\; \mathbf{v}_i + \delta\mathbf{v}_i) - \mathcal L(\ mathbf{r}_i,\; \mathbf{v}_i) = \sum \limits_i \left( \frac{\partial \mathcal L}{\partial \mathbf r_i} \delta \varphi \times\mathbf r_i + \ frac{\partial \mathcal L}{\partial \mathbf v_i} \delta \varphi \times \mathbf v_i \right)=0.

Figyelembe véve , hol van a -edik részecske általános impulzusa , az utolsó kifejezés összegének minden tagja átírható $\frac{\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\mathbf v_{i}}} = \mathbf {p_{i}},\; \frac{\partial \mathcal {L}}{\partial \mathbf {r_{i}}} = \mathbf {\pont p_{i}}$ ${\mathbf p}_{i}$ $én$

\dot {\mathbf p_i} \,\delta \varphi \times \mathbf r_i + \mathbf p_i\,\delta \varphi \times \mathbf {\pont r_i}.

Most a vegyes szorzat tulajdonság felhasználásával vektorok ciklikus permutációját hajtjuk végre, melynek eredményeként a közös tényezőt kivonva megkapjuk:

\delta \mathcal L = \delta \varphi \sum \limits_i \left( \mathbf r_i \times \dot {\mathbf p_i} + \dot {\mathbf r_i} \times \mathbf p_i \right) = \delta \frac{d}{dt} \sum \limits_i (\mathbf r_i \times \mathbf p_i) = \delta \varphi \frac{d \mathbf L}{dt} = 0,

hol van a rendszer szögimpulzusa. Tekintettel az önkényesre , az egyenlőségből következik $\mathbf L = \sum \mathbf L_i = \sum \mathbf r_i \times \mathbf p_i$ $\delta \varphi$ $\delta \mathcal L = 0$ ${\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=0.$

Kapcsolódó fogalmak

A rotációval kapcsolatos problémák mérlegelésekor a fent részben említett fogalmak jelennek meg:

szögnyomaték a tengelyhez képest (a kifejezés négy szóból áll) - a szögimpulzus vetülete a tengelyre;
merev test tehetetlenségi nyomatéka (lásd még egyes testek tehetetlenségi nyomatéka );
erőnyomaték (más néven: nyomaték, forgónyomaték, csavarónyomaték);
az erőnyomaték impulzusa (egység - N m s ) - az erőnyomaték adott tengelyhez viszonyított hatásának mértéke egy adott ideig ( forgó mozgásban ). $\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {r} \times \mathbf {F} (t)\;dt$

A „lendülettel” való összhang ellenére ezek a fogalmak nem szinonimák a „lendület” kifejezéssel, és önálló jelentéssel bírnak.

Szögimpulzus az elektrodinamikában

Amikor egy töltött részecske mozgását írjuk le elektromágneses térben, a kanonikus impulzus nem invariáns . Ennek következtében a kanonikus szögimpulzus sem invariáns. Ekkor veszi fel az igazi lendületet, amit "kinetikus momentumnak" is neveznek: $p$ $\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p}$

\mathbf {p} -{\frac {e\mathbf {A} }{c)),

ahol az elektromos töltés , a fénysebesség , a vektorpotenciál . Így az elektromágneses térben lévő töltött tömegű részecske (invariáns) Hamilton -félesége: $e$ $c$ $A$ $m$

H =\frac{1}{2m} \left( \mathbf{p} -\frac {e \mathbf{A} }{c}\right)^2 + e\varphi,

hol van a skaláris potenciál . Ebből a potenciálból Lorentz törvénye következik . Az invariáns impulzusimpulzus vagy "kinetikus szögimpulzus" a következőképpen definiálható: $\varphi$

K= \mathbf{r} \times \left( \mathbf{p} -\frac {e \mathbf{A} }{c}\jobbra).

Szögimpulzus a kvantummechanikában

Moment operátor

A kvantummechanikában a szögimpulzus kvantálva van , ami azt jelenti, hogy csak pontosan meghatározott értékek közötti "kvantumszintekben" változhat. A részecskék szögimpulzusának tetszőleges tengelyére vetítésének a térbeli mozgásukból adódóan egész számnak kell lennie, szorozva a ( oszloppal - Planck -állandó osztva -vel ). $\hbar$ $h$ $2\pi$

A kísérletek azt mutatják, hogy a legtöbb részecske állandó belső szögimpulzussal rendelkezik, amely független a térben való mozgásától. Ez a forgási szögimpulzus mindig a fermionok és a bozonok többszöröse . Például egy nyugalmi elektron szögimpulzusa van . [2] $\hbar/2$ $\hbar$ $\hbar/2$

A klasszikus definícióban a szögimpulzus 6 változótól függ: , , , , és . Ha ezt kvantummechanikai definíciókra fordítjuk a Heisenberg-féle bizonytalansági elv segítségével , azt találjuk, hogy nem lehetséges mind a hat változót egyidejűleg bármilyen pontossággal kiszámítani . Ezért van egy határa annak, amit a gyakorlati szögimpulzusról tanulhatunk vagy számíthatunk. Ez azt jelenti, hogy a legjobb, amit tehetünk, ha egyszerre számítjuk ki a szögimpulzusvektor és bármely összetevőjének (vetületeinek) nagyságát. ${\displaystyle r_{x))$ ${\displaystyle r_{y))$ ${\displaystyle r_{z))$ $p_{x}$ $p_{y}$ $p_{z}$

Matematikailag a teljes szögimpulzus a kvantummechanikában úgy definiálható, mint egy fizikai mennyiség operátora a térbeli mozgáshoz kapcsolódó két rész összegéből - az atomfizikában az ilyen momentumot orbitálisnak, illetve a részecske belső spinének nevezik. spin. Az első operátor a hullámfüggvény térbeli függéseire hat:

{\hat {\mathbf {L} }}={\kalap {\mathbf {r} }}\times {\hat {\mathbf {p} }}

ahol és a koordináta- és impulzusoperátorok, a második pedig a belső, spin. Egyetlen, elektromos töltés és spin nélküli részecske esetében a szögimpulzus operátor a következőképpen írható fel: $\hat{\mathbf{r}}$ $\hat{\mathbf{p}}$

{\hat {\mathbf {L} }}=-i\hbar (\mathbf {r} \times \nabla )

hol van a nabla operátor . Ez a szögmomentum operátor gyakori formája, de nem a legfontosabb, a következő tulajdonságokkal rendelkezik: $\nabla$

[L_i,\; L_j ] = i \hbar \varepsilon_{ijk} L_k, \quad\left[L_i,\; \mathbf{L}^2 \right] = 0

hol van Levi-Civita szimbóluma ; $\varepsilon_{ijk}$

és még fontosabb helyettesítések egy töltés és spin nélküli részecske Hamilton -rendszerével:

\left[L_i,\; H \jobbra] = 0

Forgásszimmetria

A lendületi operátorokkal gyakran találkozunk a gömbi koordináták gömbszimmetria -feladatainak megoldása során . Ezután a szögimpulzus a térbeli ábrázolásban:

-{\frac {1}{\hbar ^{2}}}\mathbf {L} ^{2}={\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{ \partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\ frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}.

Ha megtaláljuk ennek az operátornak a sajátértékeit , a következőt kapjuk:

L^{2}\mid l,\;m\rangle ={\hbar }^{2}l(l+1)\mid l,\;m\rangle ,

L_z \közép l,\; m \rang = \hbar m \mid l,\; csengett,

ahol , olyan egész számok, amelyek a gömbfüggvényei . $l$ $m$ $-l\leq m\leq l,$ $\lang\theta ,\; \varphi \midl,\; m \rang = Y_{l,\;m}(\theta,\;\varphi)$

Jegyzetek

↑ Pivarski, Jim Spin . Symmetry Magazin (2013. március). Letöltve: 2014. április 28. Az eredetiből archiválva : 2014. április 15.. (határozatlan)
↑ [ Információ a Nobel-bizottság honlapján (angol) . Letöltve: 2017. november 3. Az eredetiből archiválva : 2008. május 18.. (határozatlan) Információ a Nobel-bizottság webhelyéről (angolul) ]

Irodalom

Biedenharn L., Lauck J. Szögimpulzus a kvantumfizikában. Elmélet és alkalmazások. - M. : Mir, 1984. - T. 1. - 302 p.
Blokhintsev D. I. A kvantummechanika alapjai. — M .: Nauka, 1976. — 664 p.
Boum A. Kvantummechanika: alapok és alkalmazások. — M .: Mir, 1990. — 720 p.
Varshalovich D. A. , Moszkalev A. N., Hersonsky V. K. A szögimpulzus kvantumelmélete . - L .: Nauka, 1975. - 441 p.
Zar R. A szögimpulzus elmélete. A térhatásokról a fizikában és a kémiában. — M .: Mir, 1993. — 352 p.