Impulzus

Impulzus
${\vec p}=m{\vec v}$
Dimenzió	LMT- 1
Egységek
SI	kg m/s
GHS	g cm/s
Megjegyzések
vektor mennyiség

Az impulzus ( mozgás mennyisége ) egy vektorfizikai mennyiség , amely a test mechanikai mozgásának mértéke .

A klasszikus mechanikában egy test lendülete egyenlő a test tömegének és sebességének szorzatával; az impulzus iránya egybeesik a sebességvektor irányával : $m$ ${\vec {v)),$

{\vec {p}}=m{\vec {v}}.

A relativisztikus fizikában a lendületet a következőképpen számítják ki:

{\vec {p}}={\frac {m{\vec {v}}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}},

hol a fénysebesség ; a kis limitben a képlet klasszikussá válik. $c$ $v$

A legfontosabb fizikai törvény, amelyben a test lendülete megjelenik, Newton második törvénye :

{\frac {{\mbox{d}}{\vec {p}}}{{\mbox{d}}t}}={\vec {F}},

itt az idő, a testre ható erő . $t$ $\vec{F}$

A lendületen keresztül történő írásnál (ellentétben a gyorsítással ) a törvény nemcsak a klasszikus, hanem a relativisztikus mechanikában is alkalmazható. ${\vec {F}}=m{\vec {a)),$ ${\vec {a}}$

A definíció legáltalánosabb formájában így hangzik: az impulzus egy mechanikai rendszer mozgásának additív integrálja, amely Noether tétele szerint kapcsolódik az alapvető szimmetriához - a tér homogenitásához .

A "lendület" fogalmának vannak általánosításai az elméleti mechanikában , az elektromágneses tér jelenléte esetén (mind egy részecskére a mezőben, mind pedig magára a mezőre), valamint a kvantummechanikában .

A kifejezés története

A középkori természetfilozófusok Arisztotelész tanításaival összhangban úgy vélték, hogy bizonyos erő szükséges a mozgás fenntartásához, erő nélkül a mozgás megáll. Egyes tudósok kifogást emeltek ezzel a kijelentéssel szemben: miért mozog tovább az eldobott kő, bár megszakad a kapcsolat a kéz erejével?

Az ilyen kérdések megválaszolására Jean Buridan (XIV. század) megváltoztatta a filozófiában korábban ismert „ lendület ” fogalmát . Buridan szerint a repülő kőnek van egy "lökete", amely légellenállás hiányában is megmaradna. Ebben az esetben a "lökés" egyenesen arányos a sebességgel. Máshol azt írja, hogy a nagyobb súlyú testek több lendületet képesek magukban tartani.

A 17. század első felében Rene Descartes bevezette a „lendület” fogalmát. Azt javasolta, hogy ne csak egy, a külső hatásoktól elszigetelt test lendülete maradjon meg, hanem minden olyan testrendszeré is, amely csak egymással kölcsönhatásba lép. A tömeg fizikai fogalma ekkor még nem volt formalizálva – a mozgás mennyiségét a „test méretének a mozgás sebességével” szorzataként határozta meg. Sebesség alatt Descartes a sebesség abszolút értékét (modulját) értette, annak irányát figyelmen kívül hagyva. Ezért Descartes elmélete csak néhány esetben volt összhangban a tapasztalattal (például Wallis , Rehn és Huygens 1678-ban a tömegközéppontban bekövetkező abszolút rugalmas ütközést tanulmányozta).

Wallis volt az első, aki 1668-ban javasolta, hogy a lendületet ne skalárnak , hanem irányított mennyiségnek tekintsék, figyelembe véve a plusz és mínusz jeleket használó irányokat . A törvény kísérleti bizonyítéka az volt, hogy az új törvény lehetővé tette a rugalmatlan hatások számítását, valamint bármilyen vonatkoztatási rendszerben bekövetkező hatások kiszámítását.

A lendület megmaradásának törvényét elméletileg Isaac Newton igazolta Newton harmadik és második törvényén keresztül . Newton szerint "a mozgás mértéke ennek mértéke, amelyet a sebességgel és a tömeggel arányosan állapítanak meg".

Formális absztrakt definíció

Az impulzus egy konzervált fizikai mennyiség, amely a tér homogenitásához kapcsolódik (vagyis invariáns a fordítások alatt ).

A tér homogenitásának tulajdonságából következik egy zárt rendszer Lagrange függetlensége a térben elfoglalt helyétől: egy jól izolált rendszer esetében a viselkedése nem attól függ, hogy a térben hol helyezkedik el. Noether tétele szerint ez a homogenitás egy bizonyos fizikai mennyiség megmaradását jelenti, amit impulzusnak nevezünk.

A fizika különböző ágaiban, valós problémákra alkalmazva, az impulzus pontosabb definícióit adják meg, amelyekkel dolgozhat és számításokat végezhet.

A test lendületének definíciói a mechanikában

Klasszikus mechanika

A klasszikus mechanikában az anyagi pontrendszer teljes impulzusa egy vektormennyiség, amely egyenlő az anyagi pontok tömegének és sebességük szorzatának összegével:

{\vec p}=\sum _{{i}}m_{i}{\vec {v}}_{i},

ennek megfelelően a mennyiséget egy anyagi pont lendületének nevezzük. Ez egy vektormennyiség, amely ugyanabba az irányba van irányítva, mint a részecske sebessége. Az impulzus mértékegysége a Nemzetközi Mértékegységrendszerben (SI) a kilogramm-méter per másodperc (kg m/s). ${\vec p}_{i}=m_{i}{\vec {v}}_{i}$

Egy véges dimenziójú test lendületét úgy találjuk meg, hogy mentálisan apró részekre osztjuk, amelyek anyagi pontoknak tekinthetők, majd ezek fölött integráljuk:

{\vec {p}}=\int \rho (x,y,z){\vec {v}}(x,y,z)dxdydz.

Az integrál alatti szorzatot impulzussűrűségnek nevezzük . ${\vec {s}}=\rho {\vec {v}}$

Relativisztikus mechanika

A relativisztikus mechanikában az anyagi pontrendszer lendülete a mennyiség:

{\vec {p}}=\sum _{i}{\frac {m_{i}{\vec {v}}_{i}}{\sqrt {1-v_{i}^{2 }/c^{2}}}},

hol van az anyagi pont tömege,

m_i

én

\vec v_i

- sebessége.

Bevezetünk egy négydimenziós impulzusmomentumot is , amely egy tömegű anyagi pontra a következőképpen definiálható: $m$

p_{\mu }=(E/c,{\vec {p)))=\left({\frac {mc}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2)) )),{\frac {m{\vec {v))}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2))))\right).

A gyakorlatban gyakran használják a részecske tömege, lendülete és energiája közötti összefüggéseket:

E^{2}-\mathbf {p} ^{2}c^{2}=m^{2}c^{4},\qquad \qquad \mathbf {p} ={\frac {E }{c^{2}}}\,\mathbf {v} .

Momentum Properties

Additivitás. Ez a tulajdonság azt jelenti, hogy egy anyagi pontokból álló mechanikai rendszer impulzusa egyenlő a rendszerben szereplő összes anyagi pont impulzusainak összegével [2] .
Az impulzus abszolút értékének invarianciája az ISO forgásához képest. [2] Ebben az esetben általános esetben az IFR megváltoztatásakor sem a relativisztikus mechanikában, sem a klasszikus határértékben nincs invariancia sem az impulzusnak, sem a modulusának.
A lendület időbeli változásának oka az erő ( Newton második törvénye szerint , ). ${\mbox{d}}{\vec {p}}/{\mbox{d}}t={\vec {F}}$
Megőrzés. Egy olyan rendszer lendülete, amelyre semmilyen külső erő nem hat (vagy kompenzálódik) , időben megmarad : (lásd a Lendület megmaradásának törvényét ). ${\mbox{d}}{\vec {p}}/{\mbox{d}}t=0$

Az impulzusmegmaradás Newton második és harmadik törvényéből következik: a második törvény felírása a rendszert alkotó minden anyagi pontra, az egyes pontokra ható erő külsőként való bemutatása plusz az összes többi ponttal való kölcsönhatás erejét, majd összegzése. , kapunk: ${\vec {F}}_{i,ext}$

{\frac {d{\vec {p}}}{dt}}=\sum _{i}{\frac {d{\vec {p}}_{i}}{dt}}=\ összeg _{i}{\vec {F}}_{i}=\sum _{i}\left({\vec {F}}_{i,ext}+\sum _{j,j\neq j }{\vec {F}}_{i,j}\right)=\sum _{i}{\vec {F}}_{i,ext}+\sum _{i}\sum _{j, j\neq i}F_{i,j}.

Az első tag nullával egyenlő a külső erők kompenzációja miatt, a második pedig Newton harmadik törvénye miatt (a és a kettős összegben páronként kioltják egymást). ${\vec {F}}_{a,b}$ ${\vec {F}}_{b,a}$

Az impulzus nem változik olyan kölcsönhatások során, amelyek csak a rendszer mechanikai jellemzőit változtatják meg. Ez a tulajdonság invariáns a galilei transzformációk tekintetében [2] . A mozgási energia megmaradásának, az impulzusmegmaradásnak és a Newton második törvényének a tulajdonságai elegendőek ahhoz, hogy az impulzus matematikai kifejezését megkapjuk [3] [4] .

Az anyagi pontok közötti elektromágneses kölcsönhatás jelenlétében előfordulhat , hogy Newton harmadik törvénye nem teljesül – és akkor nem marad fenn a pontok impulzusának összege. Ilyen esetekben, különösen a relativisztikus mechanikában, kényelmesebb, ha a „rendszer” fogalmába nemcsak a pontok gyűjteményét foglaljuk bele, hanem a köztük lévő kölcsönhatás területét is. Ennek megfelelően nem csak a rendszert alkotó részecskék nyomatékát veszik figyelembe, hanem a kölcsönhatási mező lendületét is. Ebben az esetben bevezetünk egy mennyiséget - az energia-impulzus tenzort , amely teljes mértékben megfelel a megmaradási törvényeknek.

Ami a 4-es lendületet illeti , a nem kölcsönható anyagpontok rendszerében ezek teljes 4-impulzusa megegyezik az összes részecske összegével. Interakció jelenlétében az ilyen összegzés értelmét veszti.

Általános lendület

Az elméleti mechanikában általában

Az elméleti mechanikában az általánosított impulzus a rendszer Lagrange parciális deriváltja az általánosított sebességhez képest:

p_{i}={{\partial {\mathcal {L}}} \over {\partial {\dot {q}}_{i}}}.

Az általánosított impulzust, akárcsak a nem általánosított impulzust, betűvel jelöljük , általában a szövegkörnyezetből kiderül, mi a tét. ${\vec {p));$

Az általánosított impulzus mérete az általánosított koordináta méretétől függ . Ha a méret hossz, akkor egy közönséges impulzus dimenziója lesz, de ha a koordináta a szög (dimenzió nélküli érték), akkor az impulzus pillanatának dimenzióját kapja. Ha a rendszer Lagrange-ja nem függ valamilyen általánosított koordinátától, akkor a Lagrange-egyenletekből $q_{i}$ $p_{i}$ $q_{i}$ $p_{i}$ $dp_{i}/dt=0.$

Ha az általánosított koordináta egy közönséges koordináta (és akkor az idő deriváltja egyszerűen a sebesség), és nincsenek külső mezők, akkor az általánosított impulzus megegyezik a szokásos impulzussal. Tehát egy szabad részecskére a Lagrange függvény alakja a következő:

{\mathcal L}=-mc^{2}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2))}

, innen: .

{\displaystyle {\vec {p}}=m{\vec {v}}/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2))))

Elektromágneses térben lévő részecskére

Elektromágneses térben egy részecske Lagrange - ja további tagok jelenlétében tér el a fent megadotttól, nevezetesen . Ennek megfelelően a részecske általános impulzusa egyenlő: ${\mathcal {L}}=-mc^{2}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}-q\varphi +q{\vec {v}}\ cdot {\vec {A).$

{\mathbf {p}}={\frac {m{\mathbf {v}}}{{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}+q{\mathbf A} ,

ahol az elektromágneses tér vektorpotenciálja , a részecske töltése ; a skaláris potenciál a kifejezésben is megjelent . ${\mathbf A}$ $q$ ${\mathcal L}$ $\varphi$

Az elektromágneses mező lendülete

Az elektromágneses térnek, mint minden más anyagi tárgynak, van egy impulzusa, amely könnyen megtalálható a Poynting-vektor térfogaton való integrálásával :

{\mathbf p}={\frac {1}{c^{2))}\int {\mathbf S}dV={\frac {1}{c^{2))}\int [{\mathbf E }\times {\mathbf H}]dV

( SI rendszerben ).

Az elektromágneses térben az impulzus létezése megmagyarázza például az olyan jelenséget, mint az elektromágneses sugárzás nyomása .

Lendület a kvantummechanikában

Definíció a

A kvantummechanikában a részecske lendületi operátorát operátornak nevezik – a transzlációs csoport generátorának. Ez a Hermitian operátor , amelynek sajátértékeit a részecskék rendszerének lendületével azonosítják. A nem relativisztikus részecskék rendszerének koordinátaábrázolásában a következő alakja van:

{\hat {{\mathbf {P}}}}=\sum _{j}{\hat {{\mathbf {p}}}}_{j}=\sum _{j}-i\hbar \nabla _{j}

ahol a nabla operátor megfelel a differenciálásnak a -edik részecske koordinátáihoz képest. $\nabla _{j}$ $j$

A rendszer Hamilton -rendszerét az impulzusoperátorral fejezzük ki:

${\hat {H}}=\sum _{i}{\frac {1}{2m_{i}}}{\hat {{\mathbf {p}}}}_{i}^{2}+U ({\mathbf {r_{1))},\pontok )$ .

Zárt rendszer esetén ( ) a momentum operátor a Hamilton-operátorral ingázik , és a lendület megmarad. $U=0$

De Broglie hullámok meghatározása

A de Broglie-képlet összefüggésbe hozza a kérdéses objektum lendületét és de Broglie hullámhosszát .

Az impulzusmodulus fordítottan arányos a hullámhosszal $\lambda :$

p={\frac h\lambda}

hol van Planck állandója . $h$

A sebességgel ( fénysebesség ) mozgó, nem túl nagy energiájú részecskék impulzusmodulusa (ahol a részecske tömege), és: $v\ll c$ $p=mv$ $m$

\lambda ={\frac {h}{p}}={\frac {h}{mv}}

Következésképpen a de Broglie-hullámhossz minél kisebb, annál nagyobb az impulzusmodulus.

Vektoros formában ezt így írjuk:

{\vec {p}}={\frac {h}{2\pi }}{\vec {k}}=\hbar {\vec {k}}

hol van a hullámvektor . ${\vec k}$

A klasszikus mechanikához hasonlóan a kvantummechanikában is létezik az impulzusmegmaradás izolált rendszerekben [5] [6] . Azokban a jelenségekben, amikor a részecskék korpuszkuláris tulajdonságai megnyilvánulnak, lendületüket " klasszikusan " úgy írják le. Ebben az esetben, akárcsak a klasszikus mechanikában, az impulzus megmaradása a koordinátaeltolódások szimmetriájának következménye [8] . $p=mv$ ${\displaystyle p=h\lambda ^{-1))$

Impulzus a hidrodinamikában

A hidrodinamikában az anyagi pont tömege helyett az egységnyi térfogat tömegét, vagyis a folyadék vagy gáz sűrűségét veszik figyelembe, ilyenkor impulzus helyett az impulzussűrűség vektor jelenik meg, amely jelentésében egybeesik. a tömegáram-sűrűség vektorral $\rho .$

{\vec {s}}=\rho {\vec {v}}.

Mivel a turbulens áramlásban az anyag halmazállapotának jellemzői (beleértve a sűrűséget és a sebességet) kaotikus ingadozásoknak vannak kitéve, az átlagolt mennyiségek fizikailag érdekesek. A hidrodinamikai ingadozások áramlási dinamikára gyakorolt hatását a statisztikai hidromechanika módszerei veszik figyelembe, amelyekben az átlagos áramlási jellemzők viselkedését leíró mozgásegyenleteket az O. Reynolds -módszernek megfelelően Navier-Stokes átlagolásával kapjuk. egyenletek [9] .

Ha a Reynolds-módszer szerint ábrázoljuk , ahol a felülvonal az átlagolás jele, a szaggatott pedig az átlagtól való eltérés, akkor az átlagolt impulzussűrűség vektora a következő alakot ölti: $\rho ={\overline {\rho ))+\rho ',$ ${\vec {v}}={\overline {\vec {v}}}+{\vec {v}}',$

\ {\overline {\vec {s}}}={\overline {\rho {\vec {v}}}}={\overline {\rho }}~{\overline {\vec {v} ))+{\vec {S)),

ahol a fluktuációs tömegáram-sűrűség vektor (vagy „ turbulens impulzussűrűség ” [9] ).

\ {\vec S}=\overline {\rho '{\vec v}'}

Lendületreprezentáció a kvantumtérelméletben

A kvantumtérelméletben az impulzus-reprezentációt gyakran a Fourier-transzformáció alapján használják. Előnyei: a fizikai rendszerek egyszerűsége energiák és impulzusok segítségével, nem pedig tér-idő koordináták segítségével; a dinamikus változók kompaktabb és vizuális struktúrája [10] .

Lásd még

Jegyzetek

↑ Grigorjan A. T. Mechanika az ókortól napjainkig. - M.: Nauka , 1974.
↑ 1 2 3 Aizerman, 1980 , p. 49.
↑ Aizerman, 1980 , p. 54.
↑ Sorokin V. S. "A mozgás megmaradásának törvénye és a mozgás mértéke a fizikában" Archív másolat , 2015. január 1-je a Wayback Machine -nél // UFN , 59, p. 325-362, (1956)
↑ Perkins D. Bevezetés a nagy energiájú fizikába. - M., Mir , 1975. - c. 94
↑ Yu. M. Shirokov , N. P. Yudin, Nukleáris fizika. - M. : Nauka, 1972. - S. 276. - 670 p.
↑ Feynman R. F. ]. Feynman előadások a fizikáról. Probléma. 1 Modern természettudomány. A mechanika törvényei .. - M . : Szerkesztői URSS, 2004. - S. 194. - 440 p. — ISBN 5-354-00699-6 .
↑ Fermi E. Kvantummechanika. - M . : Mir, 1968. - S. 183. - 367 p.
↑ 1 2 Monin A.S. , Yaglom A.M. Statisztikai hidromechanika. 1. rész - M . : Nauka, 1965. - 639 p.
↑ Bogolyubov N. N. , Shirkov D. V. Kvantummezők. - M., Nauka, 1980. - p. 25

Irodalom

Arnold VI . A klasszikus mechanika matematikai módszerei. - 5. kiadás, sztereotip. - M. : Szerkesztői URSS, 2003. - 416 p. - 1500 példány. — ISBN 5-354-00341-5 .
Landau L. D. , Lifshits E. M. Mechanics. - 4. kiadás, átdolgozott. — M .: Nauka , 1988. — 215 p. - (" Elméleti fizika ", I. kötet). — ISBN 5-02-013850-9 .
Landau L. D. , Lifshits E. M. Field theory. - 7. kiadás, átdolgozott. — M .: Nauka , 1988. — 512 p. - (" Elméleti fizika ", II. kötet). — ISBN 5-02-014420-7 .
Sivukhin DV Általános fizika tanfolyam. — 4. kiadás. - M . : Fizmatlit , 2002. - T. I. Mechanika. — 792 p. — ISBN 5-9221-0225-7 .
Aizerman M.A. Klasszikus mechanika. — M .: Nauka, 1980. — 368 p.

Szótárak és enciklopédiák	nagy kínai Nagy norvég Nagy orosz Britannica (online) Britannica (online)
Bibliográfiai katalógusokban	GND : 4130721-5 J9U : 987007541140805171 LCCN : sh85086658 NKC : ph120957