Bináris számrendszer

Számrendszerek a kultúrában
indoarab
Arab tamil burmai	khmer laoszi mongol thai
kelet Ázsiai
Kínai japán Suzhou koreai	Vietnami számlálóbotok
Betűrendes
Abjadia örmény Aryabhata cirill görög	Grúz etióp zsidó Akshara Sankhya
Egyéb
Babiloni egyiptomi etruszk római dunai	Padlás Kipu Maja Égei KPPU szimbólumok
helyzeti
2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 8 , 10 , 12 , 16 , 20 , 60
Nega-pozíciós
szimmetrikus
vegyes rendszerek
Fibonacci
nem pozíciós
Egyes szám (egyetlen)

A bináris számrendszer egy 2-es bázisú helyzetszámrendszer . A logikai kapukon lévő digitális elektronikus áramkörökben való közvetlen megvalósítása miatt a bináris rendszer szinte minden modern számítógépben és más elektronikus számítástechnikai eszközben használatos .

A számok bináris jelölése

A bináris rendszerben a számokat két szimbólummal ( 0 és 1 ) írják fel . Annak érdekében, hogy ne legyen összetéveszthető, hogy a szám melyik számrendszerben van írva, a jobb alsó sarokban egy mutató található. Például egy szám decimálisan 5 10 , binárisan 101 2 . Néha egy bináris számot a 0b előtag vagy az & (és) szimbólum [1] jelöl , például 0b101 vagy &101 .

A kettes számrendszerben (mint a decimális kivételével a többi számrendszerben is) a karakterek egyenként kerülnek beolvasásra. Például az 1012-es számot „ egy nulla egyesnek” ejtik.

Természetes számok

A binárisan írt természetes szám jelentése: $(a_{{n-1}}a_{{n-2}}\dots a_{{1}}a_{0})_{2}$

(a_{{n-1}}a_{{n-2}}\dots a_{{1}}a_{0})_{2}=\sum _{{k=0}}^{{n- 1}}a_{k}2^{k},

ahol:

$n$ - a számban lévő számjegyek (karakterek) száma,
$a_{k}$ — a {0,1} halmaz számjegyeinek értékei,
$k$ - a számjegy sorozatszáma.

Negatív számok

A negatív bináris számokat ugyanúgy jelöljük, mint a decimális számokat: a szám előtt egy „-” jellel. Ugyanis egy bináris jelöléssel írt negatív egész szám értéke: $(-a_{{n-1}}a_{{n-2}}\dots a_{{1}}a_{0})_{2}$

(-a_{{n-1}}a_{{n-2}}\dots a_{{1}}a_{0})_{2}=-\sum _{{k=0}}^{{ n-1}}a_{k}2^{k}.

A számítástechnikában széles körben használják negatív bináris számok kettes komplementerben való írására .

Törtszámok

A binárisan írt törtszám értéke: $(a_{{n-1}}a_{{n-2}}\dots a_{{1}}a_{{0}},a_{{-1}}a_{{-2}}\dots a_{ {-(m-1)}}a_{{-m}})_{2}$

( a n − egy a n − 2 … a egy a 0 , a − egy a − 2 … a − ( m − egy ) a − m ) 2 = ∑ k = − m n − egy a k 2 k , {\displaystyle (a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{1}a_{0},a_{-1}a_{-2}\dots a_{-(m-1)}a_{ -m})_{2}=\összeg _{k=-m}^{n-1}a_{k}2^{k},}

(a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{1}a_{0},a_{-1}a_{-2}\dots a_{-(m-1)}a_{ -m})_{2}=\összeg _{k=-m}^{n-1}a_{k}2^{k},

ahol:

$m$ - a szám tört részének számjegyeinek száma,
$a_{k}$ a halmaz számjegyeinek értékei . $\{0,1\}$

Bináris számok összeadása, kivonása és szorzása

Kiegészítő táblázat

+	0	egy
0	0	egy
egy	egy	0 (átvitel 1 magas rendelésre)

kivonási táblázat

-	0	egy
0	0	egy
egy	1 (hitel felső kategóriából)	0

Példa oszlop-összeadásra (a 14 10 + 5 10 = 19 10 decimális kifejezés binárisan így néz ki: 1110 2 + 101 2 = 10011 2 ):

+		egy	egy	egy	0
+			egy	0	egy

	egy	0	0	egy	egy

Szorzótábla

×	0	egy
0	0	0
egy	0	egy

Példa az „oszloppal” való szorzásra (a 14 10 * 5 10 \u003d 70 10 decimális kifejezés binárisan így néz ki: 1110 2 * 101 2 \u003d 1000110 2 ):

×				egy	egy	egy	0
×					egy	0	egy

+				egy	egy	egy	0
+		egy	egy	egy	0

	egy	0	0	0	egy	egy	0

Számkonverziók

Ha binárisról decimálisra szeretne konvertálni, használja a következő táblázatot a 2. alap hatványairól:

1024

512

256

128

nyolc

négy

egy

Az 1-es számmal kezdődően minden számot meg kell szorozni kettővel. Az 1 utáni pontot bináris pontnak nevezzük.

Bináris számok átalakítása decimális számokká

Tegyük fel, hogy az 110001 2 bináris szám adott . A tizedesjegyre való konvertáláshoz írja be összegként a számjegyek fölé a következőképpen:

1 * 2 5 + 1 * 2 4 + 0 * 2 3 + 0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 49

Ugyanaz egy kicsit másképp:

1 * 32 + 1 * 16 + 0 * 8 + 0 * 4 + 0 * 2 + 1 * 1 = 49

Ezt táblázatos formában a következőképpen írhatja le:

512	256	128	64	32	16	nyolc	négy	2	egy
				egy	egy	0	0	0	egy
				+32	+16	+0	+0	+0	+1

Mozgás jobbról balra. Minden bináris egység alá írja be a megfelelőjét az alábbi sorba. Adja hozzá a kapott decimális számokat. Így az 110001 2 bináris szám megegyezik a 49 10 decimális számmal .

Tört bináris számok átalakítása decimálissá

A 1011010.101 2 számot decimális rendszerre kell konvertálnia . Írjuk ezt a számot így:

1 * 2 6 + 0 * 2 5 + 1 * 2 4 + 1 * 2 3 + 0 * 2 2 + 1 * 2 1 + 0 * 2 0 + 1 * 2 -1 + 0 * 2 -2 + 1 * 2 −3 = 90,625

Ugyanaz egy kicsit másképp:

1 *64 + 0 *32 + 1 *16 + 1 *8 + 0 *4 + 1 *2 + 0 *1 + 1 *0,5 + 0 *0,25 + 1 *0,125 = 90,625

Vagy a táblázat szerint:

64	32	16	nyolc	négy	2	egy		0.5	0,25	0,125
egy	0	egy	egy	0	egy	0	,	egy	0	egy
+64	+0	+16	+8	+0	+2	+0		+0,5	+0	+0,125

Horner átalakulása

Ahhoz, hogy a számokat binárisról decimálisra konvertálja ezzel a módszerrel, össze kell adnia a számokat balról jobbra, megszorozva a korábban kapott eredményt a rendszer alapjával (jelen esetben 2). A Horner-módszert általában binárisról decimálisra konvertálják. A fordított művelet nehézkes, mivel a kettes számrendszerben az összeadás és szorzás készségeit igényli.

Például az 1011011 2 bináris számot a rendszer decimálissá alakítja a következőképpen:

0 * 2 + 1 = 1
1 * 2 + 0 = 2
2 * 2 + 1 = 5
5 * 2 + 1 = 11
11 * 2 + 0 = 22
22 * 2 + 1 = 45
45 * 2 + 1 = 91

Vagyis a decimális rendszerben ez a szám 91 lesz.

A számok tört részének fordítása Horner-módszerrel

A számokat a jobbról balra haladó számból veszik, és osztják el a számrendszer alapján (2).

Például 0,1101 2

(0 + 1 )/2 = 0,5
(0,5 + 0 )/2 = 0,25
(0,25 + 1 )/2 = 0,625
(0,625 + 1 )/2 = 0,8125

Válasz: 0,1101 2 = 0,8125 10

Tizedesből binárissá konvertálás

Tegyük fel, hogy a 19-es számot binárisra kell konvertálnunk. A következő eljárást használhatja:

19/2 = 9 maradékkal 1
9/2 = 4 maradékkal 1
4/2 = 2 maradék nélkül 0
2/2 = 1 maradék nélkül 0
1/2 = 0 maradékkal 1

Tehát minden hányadost elosztunk 2-vel, és a maradékot a bináris jelölés végére írjuk. Az osztást addig folytatjuk, amíg a hányados 0. Az eredményt jobbról balra írjuk. Vagyis az alsó számjegy (1) a bal szélső számjegy lesz, és így tovább, így a 19-es számot kapjuk bináris jelöléssel: 10011 .

Tört decimális számok átalakítása binárissá

Ha az eredeti számban van egész rész, akkor azt a tört résztől külön alakítjuk át. A törtszám átalakítása decimális számrendszerből binárissá a következő algoritmus szerint történik:

A törtet megszorozzuk a kettes számrendszer alapjával (2);
A kapott szorzatban az egész rész kerül kiosztásra, amelyet a kettes számrendszerben a szám legjelentősebb számjegyeként veszünk fel;
Az algoritmus akkor fejeződik be, ha az eredményül kapott szorzat tört része nulla, vagy ha elérjük a szükséges számítási pontosságot. Ellenkező esetben a számítások a szorzat töredékén folytatódnak.

Példa: A 206.116 tizedes tört számot tört bináris számmá szeretné alakítani .

Az egész rész fordítása a korábban leírt algoritmusok szerint 206 10 =11001110 2 -t ad. A 0,116 tört részét megszorozzuk 2-vel, és a szorzat egész részeit a kívánt tört bináris szám tizedespontja utáni számjegyek közé helyezzük:

0,116 • 2 = 0,232 0,232
• 2 = 0,464 0,464 • 2 = 0,928 0,928 • 2 = 1,856 0,856 • 2 = 1,712 0,712 • 2 = 1,424 0,424 • 2 = 0,8480,848 1,696 0,696 • 2 = 1,392 • 2 = 0,784 stb.

így 0,116 10 ≈ 0,0001110110 2

A következőt kapjuk: 206,116 10 ≈ 11001110,0001110110 2

Alkalmazások

Digitális eszközökben

A bináris rendszert digitális eszközökben használják, mert ez a legegyszerűbb és megfelel a követelményeknek:

Minél kevesebb érték található a rendszerben, annál könnyebben lehet egyedi elemeket létrehozni, amelyek ezeken az értékeken működnek. Különösen a kettes számrendszer két számjegye könnyen ábrázolható számos fizikai jelenséggel: van áram (az áram nagyobb, mint a küszöbérték) - nincs áram (az áram kisebb, mint a küszöbérték), a mágneses a mezőindukció nagyobb, mint a küszöbérték, vagy sem (a mágneses mező indukciója kisebb, mint a küszöbérték) stb.
Minél kisebb egy elem állapotának száma, annál nagyobb a zajtűrő képessége, és annál gyorsabban tud működni. Például három állapot kódolásához feszültség, áram vagy mágneses tér indukció szempontjából két küszöbértéket és két komparátort kell megadnia ,

A számítástechnikában széles körben használják negatív bináris számok kettes komplementerben való írására . Például a -5 10 szám felírható -101 2 -ként, de 1111111111111111111111111111011 2 32 bites számítógépen .

Általánosítások

A bináris számrendszer egy bináris kódrendszer és egy exponenciális súlyfüggvény kombinációja, amelynek alapja 2. Egy szám bináris kódban írható fel , és a számrendszer nem lehet bináris, hanem más alappal. Példa: BCD kódolás , amelyben a decimális számjegyeket binárisan írják, és a számrendszer decimális.

Történelem

A 8 trigramból és 64 hexagramból álló teljes készlet , amely a 3 bites és 6 bites számjegyekkel analóg, az ókori Kínában ismert volt a Változások könyve klasszikus szövegeiben . A Változások Könyvében a hexagramok sorrendjét a megfelelő bináris számjegyek értékeinek megfelelően rendezve (0-tól 63-ig) és a megszerzési módszert Shao Yong kínai tudós és filozófus dolgozta ki a 11. század . Azonban nincs bizonyíték arra, hogy Shao Yong megértette a bináris aritmetika szabályait, és a kétkarakteres sorokat lexikográfiai sorrendbe helyezte .
Pingala ( Kr. e. 200 ) indiai matematikus dolgozta ki a költészet leírásának matematikai keretét a bináris rendszer első ismert alkalmazásával [2] [3] .

A Közép-Andokban ( Peru , Bolívia ) állami és közcélokra az i.sz. I-II. évezredben széles körben használt adatbázisok prototípusa . azaz létezett az inkák csomós írása - kipu , amely a decimális rendszerben [4] és a bináris kódrendszerben [5] nem numerikus bejegyzésekből is állt . A quipu elsődleges és másodlagos kulcsokat, helyszámokat, színkódolást és ismétlődő adatsorok képzését használta [6] . A Kipu-t az emberiség történetében először alkalmazták olyan számviteli módszer alkalmazására, mint a kettős könyvelés [7] .
A bináris számjegyek kombinációiból álló halmazokat az afrikaiak használták a hagyományos jóslásban (mint például az Ifa ) a középkori geomancia mellett .
1605- ben Francis Bacon egy olyan rendszert írt le, amelyben az ábécé betűit bináris számjegyek sorozataira lehet redukálni, amelyek viszont bármilyen véletlenszerű szövegben finom betűtípus-változtatásként kódolhatók. A bináris kódolás általános elméletének fejlődésében fontos lépés az a megfigyelés, hogy ez a módszer tetszőleges objektumra használható [8] (lásd Bacon titkosítása ).

A modern bináris rendszert Leibniz teljesen leírta a 17. században az Explication de l'Arithmétique Binaire [9] című művében . A Leibniz-számrendszer a 0 és 1 számjegyeket használta, akárcsak a modern bináris rendszer. A kínai kultúra által lenyűgözött személyként Leibniz tudott a Változások Könyvéről, és észrevette, hogy a hexagramok 0 és 111111 közötti bináris számoknak felelnek meg. Csodálta a tényt, hogy ez a megjelenítés az akkori kínai filozófiai matematika jelentősebb eredményeinek bizonyítéka [10]. .

1854- ben az angol matematikus , George Boole kiadott egy alapművet, amelyben az algebrai rendszereket a logikára alkalmazva írja le , amely ma Boole-algebra vagy logikai algebra néven ismert . Logikai számításának fontos szerepet szántak a modern digitális elektronikus áramkörök fejlesztésében.
1937 -ben Claude Shannon benyújtotta Ph.D. disszertációját , a Relé- és kapcsolóáramkörök szimbolikus elemzését az MIT- n , amelyben a Boole-algebrát és a bináris aritmetikát elektronikus relékre és kapcsolókra alkalmazták. Lényegében az összes modern digitális technológia Shannon disszertációján alapul .
1937 novemberében George Stiebitz , aki később a Bell Labs - nál dolgozott , egy relé alapú "K modell" (az angol " Kitchen " konyhából, ahol az összeszerelés történt) számítógépet épített, amely bináris összeadást végzett. 1938 végén a Bell Labs kutatási programot indított Stibitz vezetésével. A vezetése alatt megalkotott, 1940. január 8-án elkészült számítógép képes volt komplex számokkal végzett műveletekre . Az American Mathematical Society konferenciáján a Dartmouth College -ban 1940. szeptember 11-én tartott demonstráció során Stiebitz bemutatta, hogy képes parancsokat küldeni egy távoli komplex számkalkulátornak telefonvonalon keresztül távírógép segítségével . Ez volt az első kísérlet egy távoli számítógép telefonvonalon keresztüli használatára. A konferencia résztvevői között volt Neumann János , Mauchly János és Norbert Wiener is, akik szemtanúi voltak a demonstrációnak , akik később emlékirataikban írtak róla.

Lásd még

Jegyzetek

↑ Popova Olga Vladimirovna. Számítástechnika tankönyv . Letöltve: 2014. november 3. Az eredetiből archiválva : 2014. november 3.. (határozatlan)
↑ Sanchez, Julio & Canton, Maria P. (2007), Mikrokontroller programozás: a mikrochip PIC , Boca Raton, Florida: CRC Press, p. 37, ISBN 0-8493-7189-9
↑ W.S. Anglin és J. Lambek, The Heritage of Thales , Springer, 1995, ISBN 0-387-94544-X
↑ Ordish George, Hyams, Edward. Az utolsó inkák: egy amerikai birodalom felemelkedése és bukása. - New York: Barnes & Noble, 1996. - P. 80. - ISBN 0-88029-595-3 .
↑ A szakértők "megfejtik" az inka húrokat . Az eredetiből archiválva : 2011. augusztus 18. (határozatlan)
↑ Carlos Radicati di Primeglio, Gary Urton. Estudios sobre los quipus (neopr.) . - S. 49.
↑ Dale Buckmaster. Az inka Quipu és a Jacobsen hipotézis // Journal of Accounting Research : folyóirat. - 1974. - 1. évf. 12 , sz. 1 . - 178-181 . o .
↑ Bacon, Francis , The Advancement of Learning , vol. 6, London, p. 1. fejezet , < http://home.hiwaay.net/~paul/bacon/advancement/book6ch1.html > Archiválva : 2017. március 18. a Wayback Machine -nél
↑ http://www.leibniz-translations.com/binary.htm Archiválva : 2021. február 11. a Wayback Machine Leibniz Translation.com-nál A BINÁRIS ARITMETIKA MAGYARÁZATA
↑ Aiton, Eric J. (1985), Leibniz: A Biography , Taylor & Francis, p. 245–8., ISBN 0-85274-470-6

Linkek

Bináris kalkulus // Brockhaus és Efron enciklopédikus szótára : 86 kötetben (82 kötet és további 4 kötet). - Szentpétervár. , 1890-1907.
Tankönyv "Számítógépek és rendszerek aritmetikai alapjai." 1. rész Számrendszerek
Hexadecimális decimális bináris oktális konverter programozóknak Archiválva : 2011. február 21. a Wayback Machine -nél
Egész és tört számok konvertálója binárisról decimálisra .
Fomin SV Számrendszerek . — M .: Nauka , 1987. — 48 p. - ( Népszerű matematikai előadások ). (alternatív link), (alternatív link az RSL weboldalára)
Számrendszerek: iránymutatások és megbízások az „Informatika” tudományterület önálló munkájához minden szak hallgatói számára . - Szaratov: Szaratov állam. Műszaki Egyetem , 2009. - 24 p.
Lyubomudrov A.A. Számrendszerek. Módszerek számok átalakítására p1 bázisú pozíciószámrendszerből p2 bázisú helyzetszámrendszerbe . — M .: NRNU MEPhI , 2009. — 28 p.
Andreeva E.V. Számrendszerek és számítógépes aritmetika: tankönyv. juttatás. - szerk. 3. . - M . : Binom. Labor. ismeretek, 2004. - 254 p.
Számrendszerek (2014. szeptember 16.)
MGIU: Informatika. 1. kérdés. Számrendszerek. (2014. február 21.)
Bináris számrendszer - a helyzeti számrendszerek (különösen a bináris) működési elvének vizuális magyarázata

Szótárak és enciklopédiák	Nagy dán Nagy norvég Brockhaus és Efron Kis Brockhaus és Efron Britannica (online)
Bibliográfiai katalógusokban	GND : 4150805-1 NDL : 00568548