Jankó csoport J2

Csoportelmélet
Alapfogalmak	Alcsoport Normál alcsoport Tényezőcsoport Munka közvetlen félig közvetlen ingyenes
Algebrai tulajdonságok	kommutatív csoport Ciklikus csoport rendelt csoport Transform Group Megoldható csoport Schreier Lemmája Lagrange-tétel Sylow tételei Egyszerű véges csoportok osztályozása
véges csoportok	C n véges ciklikus csoport Szimmetrikus csoport S n Diéder csoport D n Váltakozó csoport A n Klein négyes csoport Mathieu csoportok M11_ _ M12_ _ M22 _ M23_ _ M24 _ Conway csoportok Co 1 Co2_ _ Co3_ _ Jankó csoportok J1_ _ J2_ _ J3_ _ J4_ _ Fisher csoportok F22_ _ F 23 F24 _ Szörny (M)
Topológiai csoportok	Hazugságcsoportok O(n) ortogonális csoport Speciális ortogonális csoport SO(n) U(n) egységes csoport Különleges egységes csoport SU(n) Szimlektikus csoport Sp(n) Kivételes Egyszerű Lorentz csoport Poincaré csoport
Algoritmusok csoportokon	Schreier – Sims Todd – Coxeter Fourier transzformáció

A Janko csoport J 2 , a Hall-Janco csoport ( HJ ), vagy a Hall-Janco-Wells csoport a rend szórványos csoportja .

2 7 • 3 3 • 5 2 • 7 = 604800.

Előzmények és tulajdonságok

J 2 a 26 szórványos csoport egyike . Egy másik név a Hall-Yanko-Wells csoport . 1969 -ben Zvonimir Janko megjósolta a J 2 -t a két egyszerű csoport egyikeként, amelyekben a 2 1+4 :A 5 az involúciós központosító (a másik a Janko csoport J 3 ). A csoportot Hall és Wells [1] állította össze 3100 pontos permutációs csoportként .

Mind a Schur-szorzó , mind a külső automorfizmus csoport 2-es sorrendű.

A J 2 az egyetlen a 4 Janko-csoport közül, amely a szörny altényezője , tehát a csoport része annak a családnak, amelyet Robert Griss boldognak nevezett . Mivel a csoport Conway Co1 csoportjában található , ez is a második szerencsés család része .

Megtekintések

J 2 a Hall-Yanko gráf két index automorfizmus csoportjának alcsoportja , amely 100-as rendű permutációs reprezentációhoz vezet. A csoport egy majdnem nyolcszögű Hall-Janko automorfizmus csoportok indexének kettes alcsoportja [2] , ami a 315-ös rendű permutációs reprezentációhoz vezet.

A csoport a hatodik dimenzió moduláris ábrázolásával rendelkezik egy négy elemből álló mezőn. Ha a kettes karakterisztikával w 2 + w + 1 = 0, akkor J 2 -t két mátrix generál

{\mathbf {A} }=\left({\begin{matrix}w^{2}&w^{2}&0&0&0&0\\1&w^{2}&0&0&0&0\\1&1&w^{2}&w^{2 }&0&0\\w&1&1&w^{2}&0&0\\0&w^{2}&w^{2}&w^{2}&0&w\\w^{2}&1&w^{2}&0&w^{2}&0\end{mátrix }}\jobb)

és

{\mathbf {B} }=\left({\begin{matrix}w&1&w^{2}&1&w^{2}&w^{2}\\w&1&w&1&1&w\\w&w&w^{2}&w^{2} &1&0\\0&0&0&0&1&1\\w^{2}&1&w^{2}&w^{2}&w&w^{2}\\w^{2}&1&w^{2}&w&w^{2}&w\end{mátrix}} \jobb).

Ezek a mátrixok kielégítik az egyenleteket

{\mathbf {A} }^{2}={\mathbf {B} }^{3}=({\mathbf {A} }{\mathbf {B} })^{7}=({ \mathbf {A} }{\mathbf {B} }{\mathbf {A} }{\mathbf {B} }{\mathbf {B} })^{12}=1.

J 2 egy Hurwitz-csoport , a (2,3,7) háromszögcsoport véges homeomorf képe .

A fent megadott mátrixábrázolás beágyazottságot képez a G 2 Dixon-csoportba (4) . G 2 -ben (4) két koszet található, és ezek az F 4 mező automorfizmusában ekvivalensek . A metszéspontjuk (a "valódi" alcsoport) egy egyszerű 6048-as rendű csoport. A G 2 (4) viszont izomorf a Conway-csoport Co 1 alcsoportjával .

Maximális alcsoportok

A J 2 csoport maximális alcsoportjainak 9 cosetja van . Néhány művelet a Hall-Janko grafikonon, amelyeket itt kifejezésekkel írunk le.

Az U 3 (3) 6048-as rendű egypontos stabilizátor 36-os és 63-as pályával.

Egy egyszerű csoport, amely 36 egyszerű, 168-as rendű és 63 involúciós alcsoportot tartalmaz, amelyek mindegyike 80 ponton hat. Ezek az involúciók 12 168 alcsoportban találhatók. Központosítója 4.S 4 szerkezetű , amely 6 további involúciót tartalmaz.

3. A 2160-as rendű PGL(2,9) - A 6 -os altényezővel rendelkezik
2 1+4 :A 5 rendű 1920 a 80 pontra ható involúció központosítója
2 2+4 :(3 × S 3 ) sorrend 1152
A 4 × A 5 720-as sorrendben.

Tartalmaz 2 2 × A 5 (kb. 240), központosító 3 involúciót, mindegyik 100 pontra hat

A 5 × D 10 körülbelül 600
PGL(2,7) sorrend 336
5 2 :D 12 rendelés 300
Egy 5 -ös rendelés 60

Konjugácia osztályok

Az elemek maximális sorrendje nem haladja meg a 15-öt. Permutációként az elemek a Hall-Janko gráf 100 csúcsára hatnak.

Rendelés	Elemek	Ciklusok és kosetták felépítése
1 = 1	1 = 1	1 osztály
2 = 2	315 = 3 2 • 5 • 7	2 40 , 1 osztály
2 = 2	2520 = 2 3 • 3 2 • 5 • 7	2 50 , 1 osztály
3=3	560 = 2 4 • 5 • 7	3 30 , 1 osztály
3=3	16800 = 2 5 • 3 • 5 2 • 7	3 32 , 1 osztály
4 = 2 2	6300 = 2 2 • 3 2 • 5 2 • 7	2 6 4 20 , 1 osztály
5 = 5	4032 = 2 6 • 3 2 • 7	5 20 , 2 osztály
5 = 5	24192 = 2 7 • 3 3 • 7	5 20 , 2 osztály
6 = 2 • 3	25200 = 2 4 • 3 2 • 5 2 • 7	2 4 3 6 6 12 , 1. évfolyam
6 = 2 • 3	50400 = 2 5 • 3 2 • 5 2 • 7	2 2 6 16 , 1. évfolyam
7=7	86400 = 2 7 • 3 3 • 5 2	7 14 , 1. évfolyam
8 = 2 3	75600 = 2 4 • 3 3 • 5 2 • 7	2 3 4 3 8 10 , 1. évfolyam
10 = 2 * 5	60480 = 2 6 • 3 3 • 5 • 7	10 10 , 2 osztály
10 = 2 * 5	120960 = 2 7 • 3 3 • 5 • 7	5 4 10 8 , 2 osztály
12 = 2 2 • 3	50400 = 2 5 • 3 2 • 5 2 • 7	3 2 4 2 6 2 12 6 , 1 osztály
15 = 3 • 5	80640 = 2 8 • 3 2 • 5 • 7	5 2 15 6 , 2 osztály

Jegyzetek

↑ Hall, Wales, 1968 .
↑ A közel nyolcszög 315 ponton . Letöltve: 2017. szeptember 4. Az eredetiből archiválva : 2021. július 29. (határozatlan)

Irodalom

Robert L. Griess , Jr. Tizenkét szórványos csoport. - Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag, 1998. - (Springer monogramok a matematikában). — ISBN 3-540-62778-2 .
Hall M., Wales D. The simple group of order 604,800 // Journal of Algebra . - 1968. - T. 9 . – S. 417–450 . — ISSN 0021-8693 . - doi : 10.1016/0021-8693(68)90014-8 .
Janko Z. Néhány új egyszerű véges rendű csoport. I // Symposia Mathematica (INDAM, Róma, 1967/68). - Boston, MA: Academic Press , 1969. - V. 1. - S. 25-64.
Wales DB A 604800 rendű egyszerű csoport egyedisége az SL(6,4) alcsoportjaként // Journal of Algebra 11. - 1969. - pp. 455–460 .
Wales DB A Hall–Janko csoport generátorai, mint a G2(4) alcsoportja // Journal of Algebra. - 1969. - T. 13 . – S. 513–516 . — ISSN 0021-8693 . - doi : 10.1016/0021-8693(69)90113-6 .

Linkek

MathWorld: Janko Groups archiválva : 2017. szeptember 5. a Wayback Machine -nél
A véges csoportábrázolások atlasza: J 2
J 2 alcsoportrácsa

Csoportelmélet
Alapfogalmak	Alcsoport Normál alcsoport Tényezőcsoport Munka közvetlen félig közvetlen ingyenes
Algebrai tulajdonságok	kommutatív csoport Ciklikus csoport rendelt csoport Transform Group Megoldható csoport Schreier Lemmája Lagrange-tétel Sylow tételei Egyszerű véges csoportok osztályozása
véges csoportok	C n véges ciklikus csoport Szimmetrikus csoport S n Diéder csoport D n Váltakozó csoport A n Klein négyes csoport Mathieu csoportok M11_ _ M12_ _ M22 _ M23_ _ M24 _ Conway csoportok Co 1 Co2_ _ Co3_ _ Jankó csoportok J1_ _ J2_ _ J3_ _ J4_ _ Fisher csoportok F22_ _ F 23 F24 _ Szörny (M)
Topológiai csoportok	Hazugságcsoportok O(n) ortogonális csoport Speciális ortogonális csoport SO(n) U(n) egységes csoport Különleges egységes csoport SU(n) Szimlektikus csoport Sp(n) Kivételes Egyszerű Lorentz csoport Poincaré csoport
Algoritmusok csoportokon	Schreier – Sims Todd – Coxeter Fourier transzformáció