Konvex poliéder

A konvex politóp  egy konvex halmaz . Ez az alapfogalom a lineáris progradáció problémáiban .

Definíciók

A konvex poliéder az euklideszi tér véges számú pontjának konvex burka .

Kapcsolódó definíciók

• A konvex poliédert nem degeneráltnak vagy szilárdnak nevezzük , ha belső pontjai vannak.

• A konvex poliéder lapja a poliéder és egy féltér metszéspontja úgy , hogy a poliéder egyetlen belső pontja sem esik a féltér határán.
  • A 0-dimenziós lapokat csúcsoknak nevezzük,
  • Az egydimenziós lapokat éleknek nevezzük.

• Egy n-dimenziós tömör poliédert egyszerűnek nevezünk , ha minden csúcsában pontosan n él konvergál.
  • Például a kocka és a dodekaéder egyaránt egyszerű.

• Két politópról azt mondjuk , hogy kombinatorikusan izomorf , ha az arcrácsuk izomorf.

• A poliéder  gráfja a csúcsaiból és éleiből alkotott gráf, minden nagy dimenziós lap figyelmen kívül marad.

• Ha egy poliédert archipersíkokkal határozunk meg, H-reprezentációnak nevezzük.
• Ha egy poliédert csúcsainak konvex burkaként határozzuk meg, V-reprezentációnak nevezzük.

Példák

• A korlátos konvex politópokra számos példa található a " politóp " cikkben.
• Kétdimenziós térben a tömör poliéderek példái a félsík , egy szalag két párhuzamos egyenes között, egy szög (két nem párhuzamos félsík metszéspontja), egy konvex vonallánc által meghatározott alakzat, amelyhez két sugár kapcsolódik. a végeket, és egy konvex sokszöget .
• A korlátlan konvex poliéderek speciális esetei két párhuzamos hipersík közötti lemez, két nem párhuzamos féltér közötti ék , henger , korlátlan prizma és határtalan kúp .

• A domború poliéderek a következők: platóni testek , arkhimédeszi poliéderek , rombikus poliéderek ( rombikus dodekaéder , rombos triakontaéder ), Goldberg poliéder [1] .

Tulajdonságok

• A konvex poliéder véges számú zárt féltér metszéspontja .
• Egy korlátos konvex poliéder megszerkeszthető véges számú pont konvex testeként .
• A korlátos konvex poliéder, mint az R n bármely más kompakt konvex részhalmaza , homeomorf egy zárt golyóval . [2] Ha a poliéder szilárd, a golyó mérete .
  • A konvex politóp egy határos sokaság , Euler-karakterisztikája 1, alapcsoportja triviális.
  • Egy konvex politóp határa egy ( m  − 1)-dimenziós gömbhöz viszonyítva homeomorf . A határ Euler-karakterisztikája páros m esetén 0 , páratlan m esetén 2 . A határ egy ( m  − 1)-dimenziós gömbgeometriájú parkettának , azaz gömbparkettának tekinthető .

• A konvex poliéder lapjai egy Euler -részrendű rácsot alkotnak , amelyet arcrácsnak nevezünk , ahol a részleges sorrendet az oldalak tagsága határozza meg. A lap fent megadott definíciója lehetővé teszi, hogy magát a poliédert és az üres halmazt is lapoknak tekintsük. A teljes politóp a rács egyetlen maximális eleme, az üres halmaz pedig, mivel (−1)-dimenziós lap ( az üres politóp ), a politóp egyetlen minimális eleme.

• Ahogy Whitney [3] megmutatta , egy háromdimenziós poliéder lapjainak rácsát a gráfja határozza meg. Ugyanez igaz, ha a poliéder egyszerű (Blind & Mani-Levitska (1987), Kalai (1988) egyszerű bizonyítékot ad). Ez utóbbi tény egy eszköz annak bizonyítására, hogy a számítási összetettség szempontjából két konvex poliéder kombinatorikailag izomorf-e meghatározásának problémája egyenértékű a gráfok izomorf-e meghatározásának problémájával , még akkor is, ha az egyszerű ill. szimplex poliéder . [négy]

• Bármely konvex poliéder engedélyezi a háromszögelést , ha a csúcsok halmaza egybeesik a poliéder csúcskészletével. [5]

Változatok és általánosítások

• szabályos poliéder
• Orientált matroid
• Nave poliéder

Lásd még

• Chan algoritmusa

Jegyzetek

1. ↑ https://scientificrussia.ru/articles/new-class-of-polyhedra-discovered Archív másolat 2017. február 11-én a Wayback Machine -nél A geometriai formák új osztályát Goldberg poliédernek hívták
2. ↑ Glen Bredon Topológia és geometria . - 1993. - ISBN 0-387-97926-3 , p. 56..
3. ↑ Hassler Whitney. Egybevágó gráfok és a gráfok összekapcsolhatósága  // Amer. J. Math .. - 1932. - T. 54 , sz. 1 . – S. 150–168 . — .
4. ↑ Volker Kaibel, Alexander Schwartz. {{{title}}} // Grafikonok és kombinatorika. - 2003. - T. 19 , sz. 2 . – S. 215–230 . Archiválva az eredetiből 2015. július 21-én.
5. ↑ B. Bueler, A. Enge, K. Fukuda. Pontos térfogatszámítás politópokra: gyakorlati tanulmány. Politópok - Kombinatorika és számítástechnika .. - 2000. - 131. o . — ISBN 978-3-7643-6351-2 . - doi : 10.1007/978-3-0348-8438-9_6. .

Linkek

• Weisstein, Eric W. Konvex poligon  (angol) a Wolfram MathWorld weboldalán .
• Weisstein, Eric W. Konvex poliéder  (angol) a Wolfram MathWorld weboldalán .
• Komei Fukuda , Poliéderszámítás GYIK .