Euler részben rendelt készlet

A kombinatorikában az Euler-póz egy fokozatos póz , amelyben bármely nem triviális intervallum ugyanannyi páros és páratlan rangú elemet tartalmaz. Egy részlegesen rendezett Euler-halmazt, amely egy rács , Euler-rácsnak nevezzük . Az objektumok Leonhard Euler nevéhez fűződnek . Az Euler-rács a konvex poliéderek homlokrácsainak általánosítása , sok jelenlegi kutatás foglalkozik a poliéderek kombinatorikájának jól ismert eredményeinek , például a konvex egyszerű politópok f - vektoraira vonatkozó különféle korlátozásokkal , általánosabb esetekre való kiterjesztésére.

Példák

• A konvex poliéder laprácsa amely lapjaiból, a legkisebb elemből, az üres lapból és a legnagyobb elemből, magából a poliéderből áll, egy Euler-rács. A páros/páratlan feltétel az Euler-képletből következik .
• Az általánosított homológia bármely egyszerű szférája Euler-rács.
• Legyen L egy olyan szabályos cellakomplexum , amelyre | l | egy sokaság , amely ugyanazokkal az Euler-jellemzőkkel rendelkezik, mint egy azonos dimenziójú hipergömb (a feltétel értelmetlen, ha a dimenzió páratlan). Ekkor az L cellák egy részlegesen rendezett halmaza , amelynek sorrendje a záródásaik szerepeltetése által meghatározott, az Euler.
• Legyen W egy Coxeter - csoport Bruhat-renddel . Ekkor ( W ,≤) egy Euler-póz.

Tulajdonságok

• A P Euler részleges rendezett halmaz definíciójában szereplő feltételek ekvivalens módon kifejezhetők a Möbius-függvény segítségével :

mindenkinek

• A részleges sorrend megfordításával kapott kettős Euler-pozet az Euler.
• Richard Stanley bevezette a rangsorolt ​​póz tórikus h -vektorának fogalmát , amely általánosítjaegy egyszerű politóp ''h''-vektorát [1] . Bebizonyította, hogy a Dehn-Somerville egyenletek

tartsa meg tetszőleges d  + 1 rangú Euler-pózokra [2] . A szabályos sejtkomplexekből vagy konvex poliéderekből származó Euler-pózok esetében azonban a tórikus h -vektor nem határozza meg és nem határozza meg a különböző dimenziójú sejtek vagy lapok számát, és a tórikus h -vektornak nincs közvetlen kombinatorikus értelmezése.

Lásd még

• Absztrakt poliéder
• Csillagtermék , a pózok kombinálásának módszere, amely megőrzi a posetek Euler-tulajdonságát

Jegyzetek

1. ↑ Stanley, 1997 , p. 138.
2. ↑ Stanley, 1997 , p. 3.14.9. tétel.

Irodalom

• Richard P Stanley. Enumeratív kombinatorika. - Cambridge University Press, 1997. - 1. kötet - ISBN 0-521-55309-1 .