Hilbert tizenhatodik problémája

Hilbert tizenhatodik problémája  egyike annak a 23 feladatnak, amelyet David Hilbert javasolt 1900. augusztus 8-án a II. Nemzetközi Matematikus Kongresszuson .

Kezdetben a problémát "Az algebrai görbék és felületek topológiájának problémája" ( németül:  Problem der Topologie algebraischer Kurven und Flächen ) néven.

Ma már két hasonló problémára osztható a matematika különböző területein:

Eredeti beállítás

Első (algebrai) rész

Az n rendű algebrai görbe zárt és különálló ágainak maximális számát Harnack {Math. Ann. 10 (1876), 189-192}. <...> Érdekesnek tartom az egyes ágak maximális számának kölcsönös elrendeződésének alapos tanulmányozását, valamint az ennek megfelelő vizsgálatot egy algebrai felület egyes üregeinek számáról, természetéről és térbeli elrendezéséről ; elvégre még nem állapították meg, hogy valójában mekkora a negyedfokú felület üregeinek maximális száma háromdimenziós térben. [1] .

Eredeti szöveg  (német)[ showelrejt] 16. Problem der Topologie algebraischer Curven und Flachen. Die Maximalzahl der geschlossenen und getrennt liegenden Züge, welche eine ebene algebraische Curve n -ter Ordnung haben kann, ist von Harnack {Mathematische Annalen, Bd. 10} bestimmt worden; es entteht die weitere Frage nach der gegenseitigen Lage der Curvenzüge in der Ebene. Was die Curven 6ter Ordnung angeht, so habe ich mich - freilich auf einem recht umständlichen Wege - davon überzeugt, daß die 11 Züge, die sie nach Harnack haben eiem Zürn kann, keinesfalls sämtlich verdafenu von ein dessenge, und in dessen Aeußerem neun Züge verlaufen oder umgekehrt. Eine gründliche Untersuchung der gegenseitigen Lage bei der Maximalzahl von getrennten Zügen scheint mir ebenso sehr von Interesse zu sein, wie die entsprechende Untersuchung über die Anzahl, Gestalt und Lage der Mäntel biedie einer, chei no algebraischen F. entsprechende eine Fläche 4ter Ordnung des dreidimensionalen Raumes im Maximum wirklich besitzt. {Vgl. Rohn, Flächen vierter Ordnung, Preisschriften der Fürstlich Jablonowskischen Gesellschaft, Lipcse 1886} [2] .

A második (differenciális) rész

Ezzel a tisztán algebrai kérdéssel kapcsolatban kitérek egy másikra is, amelyet szerintem az együtthatók folyamatos változtatásának említett módszerével kell megoldani<...>, mégpedig a maximális szám és a Poincaré határciklusok elhelyezkedése az első látófok differenciálegyenletéhez

ahol X , Y teljes n- edik fokú racionális függvények x ,  y vonatkozásában , vagy homogén jelöléssel,

ahol X , Y , Z n- edik fokú  racionális homogén függvények x , y , z függvényében, amelyeket a t paraméter függvényeiként kell definiálni . [egy]

Eredeti szöveg  (német)[ showelrejt] Im Anschluß an dieses rein algebraische Problem möchte ich eine Frage aufwerfen die sich, wie mir scheint, mittelst der nämlichen Methode der continuirlichen Coefficientenänderung in Angriff nehmen der cyclzcarn der Maxime cycarn und deren Beantwortung der durchencycar ) für eine Differentialgleichung erster Ordnung und ersten Grades von der Form:

wo X , Y ganze rationale Funktionen nten Grades in x , y sind, oder in homogener Schreibweise

wo X , Y , Z ganze rationale homogene Functionen nten Grades von x , y , z bedeuten und diese als Funktionen des Parameters t zu bestimmen sind. [2]

Az első rész története

Hilbert jelentésének idejére Newton és Descartes megszerezték [3] a 3. és 4. fokú görbék topológiai leírását, és a Harnack által bizonyított tétel lehetővé tette a görbe összefüggő komponenseinek számának becslését : nem haladhatja meg a , hol  van a nemzetsége .

Gilbert a következőket mondta jelentésében:

Ami a hatodik rendű görbéket illeti, én - azonban meglehetősen nehéz úton haladva - ügyeltem arra, hogy az a 11 ág, amelyet Harnack szerint kapunk, soha ne helyezkedjen el egymáson kívül; mindig van egy ág, amelyen belül van még egy, és azon kívül van a maradék kilenc, vagy fordítva.

Azonban amint azt az 1970-es években D. A. Gudkov felfedezte [4] , az az eset is lehetséges, ha egy görbén belül és kívül 5 ovális van, ezt az esetet Hilbert lehetetlennek tartotta. Konstrukcióit elemezve Gudkov olyan sejtést fogalmazott meg, amely a páros fokú M-polinomokra az Euler-karakterisztika összehasonlíthatósági modulo 8-át állította egy adott számmal (tehát a 2 k fokú polinomokra ) a példa szerint szerkesztett régióra; konkrétan kifejtette, hogy a megvalósult három 6-os fokozatú változatban a belső görbék száma, 1, 5 és 9, 4-en halad át.

Ezt a hipotézist maga Gudkov igazolta. Általános esetben V. I. Arnold [5] a modulo 4 kongruencia gyengített alakjában, majd V. A. Rokhlin [6] [7] teljes általánosságban igazolta, ha speciálisan megépített négydimenziós sokaságokat vizsgálunk [4] .

Különböző példák felépítése késztette O. Ya . Viro-t a patchworking technika megalkotására is , amely lehetővé teszi „algebrai görbék összeragasztását adott viselkedésű darabokból”.  

1972-ben Vjacseszlav Kharlamov megadta az első rész megoldását, amely a negyedrendű algebrai felületek komponenseinek számáról és topológiáiról szól három dimenzióban, majd 1976-ban elkészült a Hilbert-probléma tanulmányozása.

A második rész története

Egyedi végességi tétel

Hilbert tizenhatodik problémájának teljes általánosságban történő tanulmányozása felé az első lépés az egyéni végességi tétel volt : a síkban lévő polinomiális vektormezőnek csak véges számú határciklusa van . Ezt a tételt 1923-ban publikálta Henri Dulac francia matematikus [8] , és sokáig bizonyítottnak tekintették.

Az 1980-as években Yu. S. Ilyashenko jelentős hiányosságot fedezett fel Dulac bizonyításában [9] [10] , és az egyéni végesség kérdése egészen 1991-92-ig nyitva maradt, amikor Iljasenko [11] és Ekal [12] egyszerre és egymástól függetlenül, különböző megközelítéseket alkalmazva pozitív választ adott rá (a teljes bizonyítás bemutatásához mindegyiküknek külön könyvet kellett írnia), lásd még az új bizonyítás sémáját [13] .

Petrovsky-Landis stratégia

Másodfokú vektormezők

A probléma lazított változatai

Lásd még

Irodalom

  1. ↑ 1 2 Hilbert jelentésének fordítása német nyelvről - M. G. Shestopal és A. V. Dorofeev , megjelent a Hilbert problémái című könyvben / szerk. P. S. Alexandrova . - M. : Nauka, 1969. - S. 39. - 240 p. — 10.700 példány. Archivált másolat (nem elérhető link) . Hozzáférés dátuma: 2010. január 3. Az eredetiből archiválva : 2011. október 17. 
  2. ↑ 12 David Hilbert . Vortrag, gehalten auf dem internationalen Mathematiker-Kongreß zu Paris 1900 (német) (hozzáférhetetlen link) . - A jelentés szövege, amelyet Hilbert olvasott fel 1900. augusztus 8-án a párizsi II. Nemzetközi Matematikus Kongresszuson. Letöltve: 2009. augusztus 27. Az eredetiből archiválva : 2009. július 17..   
  3. ↑ V. I. Arnold, Mi a matematika? MTsNMO, 2002; Val vel. 39.
  4. ↑ 1 2 V. I. Arnold, Mi a matematika? MTsNMO, 2002; Val vel. 43.
  5. ↑ V. I. Arnold, „A valós síkbeli algebrai görbék oválisainak elrendezéséről, a négydimenziós sima sokaságok involúcióiról és az integrált másodfokú formák aritmetikájáról”, Funkts. elemzés és alkalmazásai, 5:3 (1971), 1–9.
  6. ↑ V. A. Rokhlin, „A Gudkov-sejtés bizonyítása”, Funct. elemzés és alkalmazásai, 6:2 (1972), 62–64.
  7. ↑ V. A. Rokhlin, „Modulo 16 összehasonlítások Hilbert tizenhatodik problémájában”, Funct. elemzés és alkalmazásai, 6:4 (1972), 58–64.
  8. ↑ Dulac, H. Sur les ciklusok határértékei. Bika. szoc. Math. France , 51 : 45–188 (1923); // Orosz fordítás: Dulac A. A határciklusokról - M .: Nauka, 1980
  9. ↑ Ilyashenko , Yu . _ _ 4. o. 127.
  10. ↑ Yu . S. Ilyashenko . "Dulac emlékirata "A határciklusokról" és a differenciálegyenletek lokális elméletének kapcsolódó kérdései, Uspekhi Mat. Nauk, 40 :6(246) (1985), 41-78
  11. ↑ Yu. Ilyashenko, Végességtételek határciklusokhoz, American Mathematical Society, Providence, RI, 1991.
  12. ↑ J. Ecalle, Introduction aux fonctions analysables et preuve constructive de la conjecture de Dulac, Hermann, Paris, 1992.
  13. ↑ Yu. S. Ilyashenko. Végességtételek határciklusokhoz: egy frissített bizonyítás vázlata. Izv. RAN. Ser. Mat., 80:1 (2016), 55–118
 Hilbert problémák