Heron képlete

Heron képlete - egy képlet a háromszög területének kiszámítására az oldalak hosszából : $S$ $ABC$

S={\sqrt {p(pa)(pb)(pc)))

ahol a háromszög fél kerülete : . $p$ $p={\tfrac {1}{2}}\cdot (a+b+c)$

A képlet Alexandriai Heron "metrikájában" található (i.sz. 1. század), és róla nevezték el (bár Arkhimédész is ismerte ). Heront az egész oldalú háromszögek érdekelték, amelyek területei is egészek, az ilyen háromszögeket Heron-nak nevezik , a legegyszerűbb Heron-háromszög az egyiptomi háromszög .

1. bizonyíték (trigonometrikus):

S={1 \over 2}ab\cdot \sin {\gamma}

ahol a háromszög oldallal ellentétes szöge . A koszinusz törvénye szerint : $\ \gamma$ $c$

c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot \cos \gamma ,

Innen:

\cos \gamma ={a^{2}+b^{2}-c^{2} \over 2ab},

Eszközök,

\ \sin ^{2}\gamma =1-\cos ^{2}\gamma =(1-\cos \gamma )(1+\cos \gamma )=

={{2ab-a^{2}-b^{2}+c^{2}} \over 2ab}\cdot {{2ab+a^{2}+b^{2}-c^{2} } \over 2ab}=

={{c^{2}-(ab)^{2}} \over 2ab}\cdot {{(a+b)^{2}-c^{2}} \over 2ab}={1 \over 4a^{2}b^{2}}(c-a+b)(c+ab)(a+bc)(a+b+c)

Ha észrevesszük, hogy , , , , kapjuk: $a+b+c=2p$ $a+bc=2p-2c$ $a+cb=2p-2b$ $c-a+b=2p-2a$

\sin \gamma ={2 \over ab}{\sqrt {p(pa)(pb)(pc))).

Ily módon

S={1 \over 2}ab\sin \gamma ={\sqrt {p(pa)(pb)(pc))),

h.t.d.

2. bizonyítás (a Pitagorasz-tétel alapján):

A Pitagorasz-tétel szerint a következő egyenlőségeink vannak a hipotenusokra: a 2 \ u003d h 2 + ( c − d ) 2 és b 2 \ u003d h 2 + d 2 - lásd a jobb oldali ábrát. Kivonva a második egyenlőséget az elsőből, a 2 − b 2 = c 2 − 2 cd értéket kapjuk . Ez az egyenlet lehetővé teszi, hogy d -t a háromszög oldalaival fejezzük ki:

d={\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}

A h magassághoz megvolt a h 2 = b 2 − d 2 egyenlőség , amelyben a kapott kifejezést helyettesíthetjük d -vel , és alkalmazhatjuk a képleteket a négyzetekre :

{\begin{aligned}h^{2}&=b^{2}-\left({\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c }}\right)^{2}={\frac {(2bc-a^{2}+b^{2}+c^{2})(2bc+a^{2}-b^{2}- c^{2})}{4c^{2}}}\\&={\frac {((b+c)^{2}-a^{2})(a^{2}-(bc) ^{2})}{4c^{2))}={\frac {(b+ca)(b+c+a)(a+bc)(a-b+c)}{4c^{2} }}\\\vége{igazítva}}

Ha észrevesszük, hogy , , , , kapjuk: $b+ca=2p-2a$ $a+b+c=2p$ $a+bc=2p-2c$ $a-b+c=2p-2b$

{\begin{aligned}h^{2}&={\frac {2(pa)\cdot 2p\cdot 2(pc)\cdot 2(pb)}{4c^{2))}={ \frac {4p(pa)(pb)(pc)}{c^{2}}}\end{aligned}}

Egy háromszög területének alapegyenlőségét használva, és a kapott h kifejezést behelyettesítjük abba, végül megkapjuk: $S={\frac {ch}{2}}$

{\begin{aligned}S={\sqrt ({\frac {c^{2}}{4}}\cdot {\frac {4p(pa)(pb)(pc)}{c^{ 2}}}}}={\sqrt {p(pa)(pb)(pc)))\end{igazított}}

h.t.d.

Változatok és általánosítások

Ha a félkörmérőt egy adott háromszög összes oldalának fele összegével fejezzük ki, három ekvivalens Heron-képletet kaphatunk: $S={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^ {4}+c^{4})}}$ $S={\frac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2} )-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}$ $S={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+bc)(a-b+c)(-a+b+c)(a+b+c))).$ $S={\frac {1}{4}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^ {2}}}.$

A Heron-képlet felírható az [1] alakú determináns használatával : $-16S^{2}={\begin{vmatrix}0&a^{2}&b^{2}&1\\a^{2}&0&c^{2}&1\\b^{2}&c^{2}&0&1 \\1&1&1&0\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}a&b&c&0\\b&a&0&c\\c&0&a&b\\0&c&b&a\end{vmatrix}}$

Az utolsó képlet első determinánsa a Cayley-Menger determináns speciális esete egy szimplex hipertérfogatának számításához .

A háromszög területének számos képlete hasonló a Heron képletéhez, de a háromszög egyéb paraméterei szerint vannak kifejezve. Például a mediánok hosszán keresztül , és ezek fele összege [2] : $m_{a}$ $m_{b}$ $m_{c}$ $\sigma =(m_{a}+m_{b}+m_{c})/2$ $S={\frac {4}{3}}{\sqrt {\sigma (\sigma -m_{a})(\sigma -m_{b})(\sigma -m_{c)))) )$ ;

a magasságok hosszán keresztül és azok reciprokjainak fele összegén keresztül [3] :

Ha}

h_{b}

h_{c}

H=(h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1}+h_{c}^{-1})/2

S^{-1}=4{\sqrt {H(H-ó_{a}^{-1})(H-ó_{b}^{-1})(H-ó_{c}^{-1 })}}

; a háromszög szögein és a szinuszaik félösszegén és a körülírt kör átmérőjén keresztül [4] :

\alpha

\beta

\gamma

s=(\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma )/2

D={\tfrac {a}{\sin \alpha }}={\tfrac {b}{\sin \beta }}={\tfrac {c}{\sin \gamma }}

S=D^{2}{\sqrt {s(s-\sin \alpha )(s-\sin \beta )(s-\sin \gamma ))).

A körbe írt négyszög területét a Brahmagupta képlet segítségével számítjuk ki : $S={\sqrt {(pa)(pb)(pc)(pd)}}$ ,

ahol a négyszög fél kerülete; ebben az esetben a háromszög egy beírt négyszög határesetének bizonyul, ha az egyik oldal hossza nullára hajlik. Ugyanez a Brahmagupta-formula a [5] determinánson keresztül :

p={\frac {a+b+c+d}{2}}

S={\frac {1}{4}}{\sqrt {-{\begin{vmatrix}a&b&c&-d\\b&a&-d&c\\c&-d&a&b\\-d&c&b&a\end{vmátrix))))

Tetraéderekre a Heron-Tartaglia képlet a helyes , amelyet más poliéderekre is általánosítanak ( flexibilis poliéderek ): ha a tetraéder egyenlő élhosszúságú , akkor a térfogatára a következő kifejezés igaz : $l_{1},l_{2},l_{3},l_{4},l_{5},l_{6}$ $V$ ${\begin{aligned}144V^{2}=\;\;&l_{1}^{2}l_{5}^{2}(l_{2}^{2}+l_{3}^ {2}+l_{4}^{2}+l_{6}^{2}-l_{1}^{2}-l_{5}^{2})\\+&l_{2}^{2 }l_{6}^{2}(l_{1}^{2}+l_{3}^{2}+l_{4}^{2}+l_{5}^{2}-l_{2} ^{2}-l_{6}^{2})\\+&l_{3}^{2}l_{4}^{2}(l_{1}^{2}+l_{2}^{2 }+l_{5}^{2}+l_{6}^{2}-l_{3}^{2}-l_{4}^{2})\\-&l_{1}^{2}l_ {2}^{2}l_{4}^{2}-l_{2}^{2}l_{3}^{2}l_{5}^{2}-l_{1}^{2}l_ {3}^{2}l_{6}^{2}-l_{4}^{2}l_{5}^{2}l_{6}^{2}\end{aligned}}$ .

A Heron-Tartaglia képlet kifejezetten felírható a tetraéderre: ha , , , , , a tetraéder éleinek hossza (ebből az első három háromszöget alkot; és például az él ellentétes az éllel , és így tovább), majd a [6] [7] képleteket : $U$ $V$ $W$ $u$ $v$ $w$ $u$ $U$ ${\text{V}}={\frac {\sqrt {\,(-a+b+c+d)\,(a-b+c+d)\,(a+b-c+ d )\,(a+b+cd)}}{192\,u\,v\,w}}$

ahol:

{\begin{aligned}a&={\sqrt {xYZ}}\\b&={\sqrt {yZX}}\\c&={\sqrt {zXY}}\\d&={\sqrt {xyz} }\\X&=(w-U+v)\,(U+v+w)\\x&=(U-v+w)\,(v-w+U)\\Y&=(u-V+ w )\,(V+w+u)\\y&=(V-w+u)\,(w-u+V)\\Z&=(v-W+u)\,(W+u+v ) \\z&=(W-u+v)\,(u-v+W)\end{igazított}}

Luillier tétele szerint egy gömbháromszög területét az oldalaival fejezzük ki : $\theta _{a}={\frac {a}{R)),\theta _{b}={\frac {b}{R)),\theta _{c}={\frac {c}{ R}}$ $S=4R^{2}\,\operátornév {arctg} {\sqrt {\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}}{2}}\right)\operatorname {tg} \ left({\frac {\theta _{s}-\theta _{a}}{2}}\right)\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{ b}}{2}}\right)\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{c}}{2}}\right)))$ ,

hol van a félperiméter.

\theta _{s}={\frac {\theta _{a}+\theta _{b}+\theta _{c}}{2}}

Jegyzetek

↑ Weisstein, Eric W. Heron képlete. Archivált : 2015. szeptember 5., a Wayback Machine From MathWorld--A Wolfram webes erőforrása.
↑ Benyi Árpád, "A háromszög gém típusú formulája, Matematikai Közlöny" 87, 2003. július, 324-326.
↑ Mitchell, Douglas W., "A Heron-típusú képlet egy háromszög reciprok területének", Mathematical Gazette 89, 2005. november, 494.
↑ Mitchell, Douglas W., "A Heron-type area formula in terms of sinus", Mathematical Gazette 93, March 2009, 108-109.
↑ Starikov V. N. Megjegyzések a geometriáról // Tudományos keresés: humanitárius és társadalmi-gazdasági tudományok: tudományos közlemények gyűjteménye. 1. szám / Ch. szerk. Romanova I. V. Cheboksary: TsDIP "INet", 2014. 37-39.
↑ W. Kahan, "What has the Volume of a Tetrahedron to the Computer Programming Languages?", [1] Archivált 2013. június 27-én a Wayback Machine -nél , pp. 16-17.
↑ Markelov S. Egy tetraéder térfogatának képlete // Matematikai oktatás. Probléma. 6. 2002. 132. o

Irodalom

§ 258 in A. P. Kiselev, Geometry by Kiselev , arΧiv : 1806.06942 [math.HO].
Nikolaev N. Egy háromszög területén // V.O.F.E.M. . - 1890. - 108. sz . - S. 227-228 . (Orosz)
Raifaizen, Claude H. A Heron képletének egyszerűbb bizonyítéka // Mathematics Magazine : magazin . - 1971. - 1. évf. 44 . - P. 27-28 . — a Heron-képlet bizonyítása a Pitagorasz-tétel alapján

Háromszög
A háromszögek típusai	Négyszögletes Egyenlő szárú Egyenlő oldalú Egyenlőszárú téglalap alakú
Csodálatos vonalak egy háromszögben	Középső Magasság Felezővonal Középmerőleges középső vonal Beírt és körülírt körök Simson egyenes Euler vonal Simediana Cheviana
A háromszög figyelemre méltó pontjai	Orthocenter Centroid Incenter Brocard pont Vecten pont Pont Gergonne Lemoine pont Miquel pont Nagel pont Napóleon rámutat Torricelli pontjai Kilenc pontos kör középpontja Spieker Center Háromszögközpontok enciklopédiája
Alaptételek	háromszög egyenlőtlenség A háromszögek hasonlóságának jelei Háromszögek megoldása Háromszög külső szög tétel Szögösszeg háromszög tétele Pitagorasz tétel Koszinusz tétel Szinusztétel A vetítési tétel Heron képlete
További tételek	Van Obel tétele Menelaosz tétele Reuschle (Terkema) tétel Stewart tétele Érintőtétel Kotangens tétel Ceva tétele Mollweide képletek
Általánosítások	gömb alakú háromszög hiperbolikus háromszög Simplex

Szótárak és enciklopédiák	Nagy dán Nagy norvég Nagy orosz