Részecskefizika és ábrázoláselmélet

Az elemi részecskék fizikája és a reprezentációk elmélete – az elemi részecskék fizikája a matematikai modellek felépítésében a reprezentációk elméletét a matematikai apparátus fontos részeként használja . [1] Összeköti az elemi részecskék tulajdonságainak matematikai leírását a Lie-csoportok és a Lie-algebrák szerkezetével.

Ezzel az összefüggéssel összhangban egy elemi részecske különböző kvantumállapotai a Poincaré-csoport irreducibilis reprezentációjához vezetnek. Ezen túlmenően a különböző részecskék tulajdonságai, beleértve a spektrumaikat is, összefüggésbe hozhatók a fizikai világ "közelítő szimmetriájának" megfelelő Lie algebrai reprezentációkkal. [2] [3] [4] [5] A reprezentációelmélet részecskefizikai jelentőségét először Eugene Wigner jegyezte meg az 1930-as években [6]

Általános áttekintés

Egy kvantumrendszer szimmetriái

A kvantummechanikában bármely egyrészecske állapot vektorként jelenik meg a Hilbert-térben . [7] Ahhoz, hogy megtudjuk, milyen típusú részecskéket engednek meg a szimmetriák, fontos osztályozni a szimmetriák által megengedett lehetőségeket és azok tulajdonságait. Legyen egy adott kvantumrendszert leíró Hilbert-tér, és legyen a kvantumrendszer szimmetriacsoportja. Például egy relativisztikus kvantumrendszerben ez lehet a Poincaré-csoport , míg egy hidrogénatom esetében az SO(3) forgáscsoport . A részecske állapotát pontosabban jellemzi a hozzá tartozó projektív Hilbert-tér , amelyet sugártérnek is neveznek , mivel két, nem nulla skaláris együtthatóval eltérő vektor ugyanazon fizikai kvantumállapotnak felel meg , amelyet egy "sugár" képvisel a Hilbert-térben. , amely egy ekvivalenciaosztály a és a természetes vetületi térkép szerint az elem által . $\mathcal H$ $\mathcal H$ $\mathcal H$ $G$ $G$ $G$ $\mathrm {P} {\mathcal {H}}$ $\mathcal H$ ${\mathcal {H}}\rightarrow \mathrm {P} {\mathcal {H}}$ $\mathrm {P} {\mathcal {H}}$

A kvantumrendszer szimmetriájának definíciója szerint csoportos cselekvés történik a -n . Mindegyikhez tartozik egy megfelelő projektív Hilbert tértranszformáció . Pontosabban, ha van a rendszernek valamilyen szimmetriája (mondjuk 12°-os elforgatás az x-tengely körül), akkor a projektív Hilbert-tér megfelelő transzformációja a sugártéren történő leképezés. Például egy "stacionárius" (nulla impulzusú) 5-ös spinnel a középpontja körül forgatva ez egy forgás háromdimenziós térben (elem ), míg egy operátor, amelynek területe és tartománya a lehetséges kvantumállapotok tere. Ebben a példában a projektív tér a 11 dimenziós komplex Hilbert térhez kapcsolódik . $\mathrm {P} {\mathcal {H}}$ $g\in G$ $V(g)$ $\mathrm {P} {\mathcal {H}}$ $g$ $V(g)$ $\mathrm {P} {\mathcal {H}}$ $g$ $\mathrm {SO(3)}$ $V(g)$ $\mathrm {P} {\mathcal {H}}$ $\mathcal H$

Minden térkép a szimmetria definíciója szerint megőrzi a -on lévő sugarak szorzatát , amelyet a -on lévő belső szorzat indukál ; Wigner tétele szerint ez az átalakulás a Hilbert-tér unitárius vagy anti-egységes transzformációjából származik . Megjegyzendő azonban, hogy az adott -hoz társítva nem egyedi, hanem csak "egy fázistényezőig" egyedi. Így az operátorok összetételének tükröznie kell az összetétel törvényét -ben , de csak a fázistényezőt figyelembe véve: $V(g)$ $\mathrm {P} {\mathcal {H}}$ $\mathcal H$ $\mathrm {P} {\mathcal {H}}$ $U(g)$ $\mathcal H$ $U(g)$ $V(g)$ $U(g)$ $G$

U(gh)=e^{i\theta }U(g)U(h)

hol függ és . Tehát a leképezés, amelyre leképez, egy " projektív egységes reprezentáció" , vagy esetleg az unitárius és az egységellenes keverék keveréke, ha le van tiltva. A gyakorlatban az egységellenes operátorokat mindig az időfordítási szimmetriával társítják . $\theta$ $g$ $h$ $g$ $U(g)$ $G$ $G$

Közönséges és projektív ábrázolások

Fizikailag fontos, hogy általában nem kell szabályos ábrázolásnak lennie ; előfordulhat, hogy a definícióban a fázistényezőket nem lehet kiválasztani, hogy a fázistényezőket összetételük törvényében kiküszöböljük. Az elektron például fél spinnel rendelkező részecske; Hilbert-tere a kétdimenziós spinortérben lévő értékekkel rendelkező hullámfüggvényekből áll . A spinor téren történő cselekvés csak projektív: nem a szokásos ábrázolásból származik . Van azonban egy rokon, szokásos ábrázolás a spinor téren végrehajtott cselekvés egyetemes lefedésére. [nyolc] $U(\cdot )$ $G$ $U(g)$ $\mathbb {R} ^{3}$ $\mathrm {SO(3)}$ $\mathrm {SO(3)}$ $\mathrm {SU(2)}$ $\mathrm {SO(3)}$

A csoportok sok érdekes osztálya esetében Bargman tétele azt mondja, hogy minden projektív egységes reprezentáció a csoport univerzális borítójának szokásos reprezentációjából származik . Valójában, ha véges dimenziós, akkor csoporttól függetlenül minden projektív egységes reprezentáció a szokásos egységes reprezentációból származik . [9] Ha végtelen dimenziós, akkor a kívánt levezetéshez néhány algebrai feltevést kell tenni a körülményről (lásd alább). Ebben a beállításban az eredmény a Bargman-tétel . [10] Szerencsére a Poincaré-csoport döntő esetére a Bargmann-tétel érvényes. [11] (lásd Wigner osztályozását a Poincaré-csoport univerzális borítójának reprezentációiról.) $G$ $G$ ${\tilde {G}}$ $G$ $\mathcal H$ $G$ $G$ ${\tilde {G}}$ $\mathcal H$ $G$

A fent említett követelmény az, hogy a Lie algebra ne engedjen be nem triviális egydimenziós központi kiterjesztést. Ez akkor és csak akkor történik meg, ha a második kohomológiai csoport triviális. Ebben az esetben még mindig igaz lehet, hogy a csoport egy "diszkrét" csoport központi kiterjesztését ismeri el. De a különálló csoportok kiterjesztései fedések . Például az univerzális burkolat egy hányadoson keresztül kapcsolódik a központi alcsoporthoz , amely önmagának a középpontja , és izomorf a fedett csoport alapcsoportjával . $\mathfrak g$ $\mathfrak g$ $G$ $G$ $\tilde G$ $G$ $G\approx {\tilde {G}}/\Gamma$ $\Gamma$ $\tilde G$

Így kedvező esetekben egy kvantumrendszer matematikai leírása támogatja a szimmetriacsoport univerzális borításának egységes ábrázolását . Ez azért kívánatos, mert sokkal könnyebb vele dolgozni, mint egy nem vektoros térrel . Ha a reprezentációk osztályozhatók, sokkal több információ áll rendelkezésre a képességekről és tulajdonságokról . ${\tilde {G}}$ $G$ $\mathcal H$ $\mathrm {P} {\mathcal {H}}$ ${\tilde {G}}$ $\mathcal H$

A Heisenberg-ügy

Példa arra, hogy a Bargman-tétel nem érvényesül, egy kvantumrészecske -ben mozog . A kapcsolódó fázistér transzlációs szimmetriacsoportja egy kommutatív csoport . A szokásos kvantummechanikai képben a szimmetria nem egységes reprezentációval valósul meg . Végül is a kvantumhangolásnál a pozíciótérben és az impulzustérben történő fordítások nem ingáznak. Ez az ingázási képtelenség azt tükrözi, hogy a pozíció- és impulzusoperátorok – amelyek végtelenül kicsi elmozdulásgenerátorok a lendületi térben, illetve a pozíciótérben – képtelenek ingázásra. A pozíciótérben és az impulzustérben történő fordítások azonban "átkapcsolnak" egy fázistényezőre. Tehát van egy jól definiált projektív reprezentációnk , de ez nem egy reguláris reprezentációból származik , még akkor sem, ha csak kapcsolódik. $\mathbb {R} ^{n}$ ${\mathbb R}^{{2n))$ ${\mathbb R}^{{2n))$ ${\mathbb R}^{{2n))$ ${\mathbb R}^{{2n))$ ${\mathbb R}^{{2n))$ ${\mathbb R}^{{2n))$ ${\mathbb R}^{{2n))$

Ebben az esetben a szokásos reprezentáció eléréséhez a Heisenberg-csoporthoz kell menni , amely egy nem triviális egydimenziós központi bővítmény . ${\mathbb R}^{{2n))$

A Poincaré csoport

A fordítások és Lorentz-transzformációk csoportja a Poincaré-csoportot alkotja , és ennek a csoportnak egy relativisztikus kvantumrendszer szimmetriája kell, hogy legyen ( az általános relativitáselmélet hatásait figyelmen kívül hagyva , vagy más szóval a lapos térben ). reprezentációit sok esetben nem-negatív tömeg és félegész spinek jellemzik (lásd a Wigner-osztályozást ); ez lehet az oka annak, hogy a részecskéknek kvantált spinje van. (Megjegyezzük, hogy valójában vannak más lehetséges ábrázolások is, például tachionok , infrarészecskék ., amelyeknek bizonyos esetekben nincs kvantált spinje vagy rögzített tömegük.)

Egyéb szimmetriák

Míg a Poincaré-csoport tér-idő szimmetriáit különösen könnyű vizualizálni és kísérletileg feltárni, léteznek más típusú szimmetriák is, amelyeket belső szimmetriáknak nevezünk . Az egyik példa az SU(3) szín , amely három kvark szín folyamatos cseréjének megfelelő pontos szimmetria .

Lie algebrák és Lie csoportok

Sok (de nem minden) szimmetria vagy közelítő szimmetria Lie csoportokat alkot . E Lie-csoportok reprezentációs elméletének tanulmányozása helyett gyakran célszerű a megfelelő Lie-algebrák szorosan összefüggő reprezentációs elméletét tanulmányozni, amelyek általában könnyebben kiszámíthatók.

Most a Lie algebra reprezentációi megfelelnek az eredeti csoport univerzális borítójának [12] A véges dimenziós esetben – és a végtelen dimenziós esetben, a Bargmann-tétel alkalmazásától függően – az eredeti csoport irreducibilis projektív reprezentációi megfelelnek az univerzális fedő szokásos egységes reprezentációinak. Ezekben az esetekben a Lie algebra szintű számítások megfelelőek. Ez különösen érvényes az SO(3) forgáscsoport irreducibilis projektív reprezentációjának vizsgálatára. Egy az egyben megfelelnek a SO(3) csoport SU(2) univerzális borítójának szokásos ábrázolásainak . Az SU(2) reprezentációi ekkor egy az egyben megfelelnek a su(2) Lie algebra reprezentációival, amely izomorf az SO(3) Lie algebrájának so(3)-jával.

Így az SO(3) irreducibilis projektív reprezentációi egy az egyhez megfelelnek a Lie algebra so(3) irreducibilis közönséges reprezentációival. Például a Lie algebra so(3) 1/2-e spinű részecskék kétdimenziós ábrázolása nem felel meg az SO(3) csoport szokásos (egyértékű) reprezentációjának. (Ez a tény olyan fizikai paradoxonokhoz vezet, mint "ha egy elektron hullámfüggvényét 360 fokkal elforgatod, akkor negatív eredeti hullámfüggvényt kapsz.") A spin 1/2 reprezentációja azonban egy jól definiált "projektív" reprezentációhoz vezet. SO(3) , ami fizikailag kielégítő.

Hozzávetőleges szimmetriák

Bár a fenti szimmetriák pontosnak tekinthetők, a többi szimmetria csak hozzávetőleges.

Hipotetikus példa

Példaként arra, hogy mit jelent a közelítő szimmetria, tegyük fel, hogy a kísérletező egy végtelen ferromágnesben van, amely bizonyos irányban mágnesezett. Egy kísérletező ebben a helyzetben nem egy, hanem két különböző típusú elektront találna: egyet a mágnesezés iránya mentén spinnel, valamivel kevesebb energiával (és ezért kisebb tömeggel), a másikat pedig ellentétes irányú spinnel, nagyobb tömeggel. A szokásos SO(3) forgásszimmetriánk , amely normális esetben a felpörgő elektront és a spin-le elektront kapcsolja össze, ebben a hipotetikus esetben csak „közelítő” szimmetriává vált, amely „különböző típusú részecskéket” viszonyít egymáshoz.

Általános meghatározás

Általánosságban elmondható, hogy közelítő szimmetria akkor következik be, amikor nagyon erős kölcsönhatások engedelmeskednek ennek a szimmetriának, valamint gyengébb kölcsönhatások, amelyek nem. A fenti elektronpéldában az elektronok két "típusa" hasonlóan viselkedik erős és gyenge erők hatására , de eltérően elektromágneses erő hatására .

Példa: izospin szimmetria

Valós példa az izospin szimmetria , amelynek SU(2) csoportja megfelel a felfelé és lefelé mutató kvarkok hasonlóságának . Ez egy hozzávetőleges szimmetria: Míg a felfelé és lefelé tartó kvarkok azonosak abban, ahogyan az erős erő hatására kölcsönhatásba lépnek , eltérő tömeggel és eltérő képességgel rendelkeznek az elektrogyenge kölcsönhatásokra. Matematikailag van egy absztrakt kétdimenziós vektortér

{\text{up quark}}\rightarrow {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},\qquad {\text{down quark}}\rightarrow {\begin{pmatrix}0\ \1\end{pmatrix}}

és a fizika törvényei "megközelítőleg" invariánsak, ha egy egységtranszformáció ezen terére alkalmazzuk őket 1-gyel egyenlő determinánssal: [13]

{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\mapsto A{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}},\quad {\text{where }}A{ \text{ jelentése }}SU(2)

Például az univerzum összes up kvarkját down kvarkká változtatná, és fordítva. Néhány példa segít tisztázni ezen átalakítások lehetséges következményeit: $A={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}$

Ha ezeket az egységes transzformációkat alkalmazzuk a protonra , az átalakulhat neutronná , vagy proton és neutron szuperpozíciójává, de más részecskévé nem. Ezért a transzformációk a protont a kvantumállapotok kétdimenziós terében mozgatják. A protont és a neutront "izospin dublettnek" nevezik , ami matematikailag analóg azzal, ahogy egy spin-1/2 részecske viselkedik normál forgás közben.
Ha ezeket az egységes transzformációkat alkalmazzuk a három pion bármelyikére ( π0
, π+
, és π−
), bármelyik piont képes bármilyen másra megváltoztatni, de nem pion részvé. Ezért a transzformációk pionokat mozgatnak a kvantumállapotok háromdimenziós terében. A pionokat "isospin tripletnek" nevezik , ami matematikailag analóg azzal, ahogy az 1-es spinnel rendelkező részecske normális forgás közben viselkedik.
Ezek az átalakulások egyáltalán nem érintik az elektront , mert nem tartalmaz sem fel, sem le kvarkot. Az elektront izospin szingulettnek nevezik, ami matematikailag analóg azzal, ahogy a 0 spinű részecske normális spinben viselkedik.

Általában a részecskék izospin multipleteket alkotnak , amelyek megfelelnek a Lie algebra SU(2) irreducibilis reprezentációinak . Az izospin multiplett részecskéinek tömege nagyon hasonló, de nem azonos, mivel a felfelé és lefelé tartó kvarkok nagyon hasonlóak, de nem azonosak.

Példa: aromás szimmetria

Az izospin-szimmetria általánosítható ízszimmetriára , az SU(3) csoportra, ami megfelel az up kvarkok , a le kvarkok és a furcsa kvarkok közötti hasonlóságoknak . [13] Ez ismét egy közelítő szimmetria, amelyet a kvark tömegének különbsége és az elektrogyenge kölcsönhatások törnek meg – valójában ez rosszabb közelítés, mint az izospin, a furcsa kvark észrevehetően nagyobb tömege miatt.

A részecskéket azonban valóban fel lehet osztani olyan csoportokra, amelyek az SU(3) Lie algebra irreducibilis reprezentációit alkotják , amint azt először Murray Gell-Mann és egymástól függetlenül Yuval Ne'eman jegyezte meg .

Lásd még

Jegyzetek

↑
Matematikai szempontból a mezők és részecskék általános elmélete szempontjából releváns főbb matematikai ágak a következők:
1. Operátorelmélet (különösen az operátoralgebrák elmélete).
2. A csoportok (különösen a Lorentz-csoportok és más fizikai szimmetriacsoportok) reprezentációelmélete.
3. A funkcionálisok elmélete.
4. Parciális differenciálegyenletek elmélete.
I. Segal A relativisztikus fizika matematikai problémái. - M. , Mir, 1968. - p. tizennégy
↑
A matematikai elemzésre alkalmas valós rendszerek keresése során az elméleti fizikus különös figyelmet fordít azokra, amelyek természetüknél vagy gyártási módjuknál fogva szimmetria tulajdonsággal rendelkeznek. Tehát izolált "elemi" részecskéket, ... és hasonló objektumokat tanulmányoz, amelyek természetes szimmetriája lehetővé teszi matematikai értelmezésük nagymértékű egyszerűsítését. Teljesen érthető tehát, hogy a szimmetria alapvető matematikai elméletének – a csoportok elméletének – jelentős szerepet kell játszania a modern kvantumelméletben. Néha még azt is mondják, hogy ez az apparátus valóban alapvető, és mély elsődleges kapcsolatot ír le olyan univerzális elvek között, mint az üres tér izotrópiája és az elemi részecskék megfigyelt paramétereinek kvantálása. A csoportelmélet...nem csak egy számítási eszköz...ha a relativisztikus invariancia feltételeit figyelembe vesszük, a szimmetriafeltételek egy folytonos transzformációcsoportra vonatkoztatva...szinte teljesen meghatározhatják egy rendszer dinamikáját.
↑ Ziman, 1971 , p. 236.
↑
A csoportok lineáris (vagy mátrixos) reprezentációinak osztálya kiemelkedő szerepet játszik a modern fizikában,
↑ Lomsadze, 1962 , p. 38.
↑ Wigner 1963-ban megkapta a fizikai Nobel-díjat "az atommag és az elemi részecskék elméletéhez való hozzájárulásáért, különösen a szimmetria alapelveinek felfedezése és alkalmazása révén"; lásd még Wigner tételét, Wigner osztályozását .
↑
Az ábrázolások nagy jelentőséggel bírnak a kvantummechanika fizikai értelmezésében, mivel kényelmes módszert nyújtanak annak a valószínűségének meghatározására, hogy a megfigyelhető értékek adott értékeket.
P. A. M. Dirac „A kvantummechanika alapelvei. - M. , Fizmatlit, 1960. - p. 109
↑ Csarnok, 2015 4.7
↑ Hall, 2013 16.47 . tétel
↑ Bargmann, V. (1954). „A folytonos csoportok egységes sugárreprezentációiról”. Ann. a matematikából . 59 (1): 1-46. DOI : 10.2307/1969831 . JSTOR 1969831 .
↑ Weinberg, 1995 2. fejezet, A és B függelék.
↑ Hall, 2015 5.7
↑ 1 2 Prof. Mark Thomson . Letöltve: 2021. május 25. Az eredetiből archiválva : 2016. július 5. (határozatlan)

Linkek

Coleman, Sidney (1985) A szimmetria szempontjai: Sidney Coleman válogatott Erice előadásai . Cambridge Univ. Nyomja meg. ISBN 0-521-26706-4 .
Georgi, Howard (1999) : Lie-algebras in Particle Physics . Reading, Massachusetts: Perseus Books. ISBN 0-7382-0233-9 .
Hall, Brian C. (2013), Quantum Theory for Mathematicians , vol. 267, Graduate Texts in Mathematics, Springer, ISBN 978-1461471158 .
Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction , vol. 222 (2. kiadás), Graduate Texts in Mathematics, Springer, ISBN 978-3319134666 .
Sternberg, Shlomo (1994): Csoportelmélet és fizika . Cambridge Univ. Nyomja meg. ISBN 0-521-24870-1 . különösen pp. 148-150.
Weinberg, Steven. The Quantum Theory of Fields, 1. kötet: Alapok . — Cambridge Univ. Press, 1995. - ISBN 0-521-55001-7 . Különösen a 2. fejezet A és B melléklete.

Linkek

Baez, John C.; Huerta, John (2010). "A nagy egységes elméletek algebrája". Bika. Am. Math. Soc . 47 (3): 483-552. arXiv : 0904.1556 . DOI : 10.1090/S0273-0979-10-01294-2 . S2CID 2941843 .

Irodalom

Ziman J. Modern kvantumelmélet. — M .: Mir , 1962. — 300 p.
Lomsadze Yu. M. Csoportelméleti bevezetés az elemi részecskék elméletébe. — M .: Nauka , 1962. — 597 p.