Csomagolási körök

A cikk a körök felületeken való elhelyezését írja le. Egy adott metszésponti grafikonnal történő körtömörítéssel kapcsolatos kapcsolódó cikkért lásd a " Körcsomagolás tétele " című cikket.

A geometriában a körtömörítés azt a tanulmányt jelenti, hogy egy adott felületre (azonos vagy különböző méretű) köröket helyeznek el úgy, hogy azok ne metsszék egymást, és a körök érintkezzenek egymással. Az elrendezés megfelelő tömörítési sűrűsége η a körök által elfoglalt terület hányada. Lehetőség van a körtömítések általánosítására nagyobb dimenziókra is – ezt hívják golyós pakolgatásnak , amely általában ugyanazokkal a gömbökkel működik.

Míg a köröknek az euklideszi síkban viszonylag alacsony a maximális tömítési sűrűsége, 0,9069 , ez a sűrűség nem minimális. A "legrosszabb" sík tömítési adat nem ismert, bár egy simított nyolcszög tömítési sűrűsége körülbelül 0,902414, ami a legkisebb maximális tömörítési sűrűség, amely a középpontosan szimmetrikus konvex alakzatokról ismert [1] . A homorú formák, például a csillagpoligonok tömörítési sűrűsége tetszőlegesen alacsony lehet.

A matematikának a "körcsomagolás" néven ismert ága tetszőleges méretű körök tömörítésének geometriájával és kombinatorikájával foglalkozik, és ebből származnak a konformális leképezések , Riemann-felületek és hasonlók diszkrét analógjai.

Lapos csomagolás

Egy kétdimenziós euklideszi tér esetében Joseph Louis Lagrange 1773-ban bebizonyította, hogy a körök legnagyobb sűrűségű rácstömege egy hatszögletű tömörítés [2] , amelyben a körök középpontjai egy hatszögletű rácson helyezkednek el (cikcakkos sorok, mint a méhsejt ). és minden kört hat másik kör vesz körül. Az ilyen csomagolás sűrűsége egyenlő

Axel Thue 1890-ben adta az első bizonyítékot arra, hogy ez a tömítés optimális, megmutatva, hogy a hatszögletű rács a legsűrűbb az összes lehetséges körtömítés közül, legyen az szabályos és szabálytalan is. Ezt a bizonyítékot azonban hiányosnak tekintették. Az első teljes bizonyítást Fejes Tóth Lászlónak (1940) [2] tulajdonítják .

Másrészt kis sűrűségű merev körtömítéseket találtak.

Homogén csomagolások

11 egységes sík tesszelláción alapuló 11 körtömítés létezik [3] . Ezekben a csomagokban bármely kör visszaverődéssel vagy elforgatással bármely más körhöz leképezhető. A hatszögletű rések egy körrel, a kétszögletű hézagok pedig 7 körrel tölthetők ki, 3-féle egységes tömítést képezve. Egy csonka háromhatszögletű burkolólap mindkét réstípussal 4-homogén tömítésként tölthető ki. A snub háromhatszögletű burkolólapnak két tükörformája van.

1-homogén tömítések egységes burkolatok alapján

háromszög alakú
Négyzet
Hatszögletű
Hosszúkás háromszög

Háromhatszögű
Snub tér
Csonka négyzet
Csonka hatszögletű

Rhombotrihexagonal
Snub hatszögletű
Tömör hatszögletű (tükör)
Csonka háromhatszögű

Csomagolás egy gömbön

Ehhez kapcsolódó probléma az egyenlő távolságra lévő pontok minimális energiájú helyének meghatározása, amelyeknek egy adott felületen kell feküdniük. A Thomson-probléma a legkisebb energiájú elektromos töltések eloszlását vizsgálja egy gömb felületén. A Tammes-probléma ennek a problémának az általánosítása, és maximalizálja a gömbön lévő körök közötti minimális távolságot.

Csomagolás korlátozott területeken

A körök egyszerű korlátos alakzatokba való becsomagolása a rekreációs matematikai probléma gyakori típusa . A konténerfalak hatása fontos, és a hatszögletű tömörítés általában nem optimális kis számú kör esetén.

Egyenlőtlen körök

Számos olyan probléma is felmerül, amelyek miatt a körök mérete nem egyenletes. Az egyik ilyen kiterjesztési probléma egy két körmérettel rendelkező rendszer ( bináris rendszer) maximális lehetséges sűrűségének megtalálása . Csupán kilenc meghatározott sugárarány tesz lehetővé egy olyan kompakt tömörítést , amelyben ha két kör összeér, akkor még két kört érint össze (ha az érintkező körök középpontját vonalszakaszokkal kötjük össze, ezek háromszögelik a felületet) [4] . Hét ilyen sugárarányra ismertek olyan kompakt tömítések, amelyeken a maximális lehetséges tömörítési arány (nagyobb, mint az azonos átmérőjű köröknél) érhető el adott sugararányú körök keverékénél. A legnagyobb tömítési sűrűség 0,911627478 0,545151042 sugárviszony mellett [5] [6] .

Az is ismert, hogy ha a sugarak aránya nagyobb, mint 0,742, akkor a bináris keveréket nem lehet jobban csomagolni, mint az azonos méretű köröket [5] . Ugyancsak megkapjuk az ilyen bináris töltéssel elérhető felső határokat kisebb sugárarányok esetén [7] .

Burkolókörök alkalmazásai

A kvadratúra amplitúdó moduláció a körök fázis-amplitúdó térbeli körökbe való tömörítésén alapul. A modem az adatokat pontok sorozataként továbbítja egy 2 dimenziós fázisamplitúdós síkon. A pontok távolsága határozza meg az átviteli zaj érzékenységét, míg a külső kör átmérője határozza meg a szükséges adóteljesítményt. A teljesítmény akkor maximalizálható, ha a kódpontok jelkonstellációja a sűrűn tömött körök középpontjában van. A gyakorlatban a téglalap alakú csomagolást gyakran használják a dekódolás egyszerűsítésére.

A körök csomagolása az origami művészetének elengedhetetlen eszközévé vált , mivel az origami figurák minden darabjához egy kör kell egy papírlapon [8] . Robert Lang a körcsomagolás matematikáját használta bonyolult origami formák tervezésére tervezett számítógépes programok kifejlesztésére.

Lásd még

Jegyzetek

  1. ↑ Weisstein, Eric W. Smoothed Octagon  a Wolfram MathWorld weboldalán .
  2. ↑ 1 2 Chang, Hai-Chau és Wang, Lih-Chung (2010), Thue körcsomagolási tételének egyszerű bizonyítéka, arΧiv : 1009.4322 [math.MG]. 
  3. ↑ Williams, 1979 , p. 35-39.
  4. ↑ 1 2 Kennedy, 2006 , p. 255–267.
  5. ↑ 1 2 3 Heppes, 2003 , p. 241–262.
  6. ↑ Kennedy .
  7. ↑ de Laat, de Oliveira Filho, Vallentin .
  8. ↑ Előadások a modern origamiról " Robert Lang a TED -en Archiválva : 2011. október 15. a Wayback Machine -nél ."

Irodalom