Háromszorosan periodikus minimális felület

A háromszor periodikus minimális felület (TPMS, eng.  triply periodic minimal surface , TPMS) egy minimális felület -ben , amely egy transzlációs invariáns egy 3. rangú rácsban .

Ezek a felületek krisztallográfiai csoportszimmetriákkal rendelkeznek . Számos példa ismert a köbös, tetragonális , hatszögletű és rombuszos szimmetriára. Monoklinikus és triklinikus példák biztosan léteznek, de bebizonyosodott, hogy nehéz paraméterezni [1] .

A TPMP-k keresettek a természettudományokban. A TSMT-ket biológiai membránként [2] , blokk-kopolimerként [3] , kristályok ekvipotenciális felületeként [4] stb. fedezték fel . Építészetben, dekorációban és művészetben is érdekesek.

Tulajdonságok

Szinte az összes vizsgált TSMT-nek nem volt önmetszéspontja (vagyis ben volt beágyazva ) - matematikai szempontból ezek a legérdekesebbek (mivel önmetsző felületek nyilvánvalóan bőségesek) [5] .

Minden csatlakoztatott TSMT-nek van [6] nemzetsége , és bármely rácsban vannak bármilyen típusú orientált beágyazott TSMT [7] .

A beágyazott TSMP-k tájolhatóak, és a teret két nem metsző alkötetre (labirintusra) osztják fel. Ha ez a két labirintus egybevágó, akkor a felületet kiegyensúlyozott felületnek mondjuk [8] .

Történelem

Az STMT első példái a Schwartz által 1865-ben leírt felületek voltak, majd ezt követte tanítványa, E. R. Neovius 1883-ban [9] [10] .

1970-ben Alan Schön 12 új SST-vel állt elő vázrácsokon [11] [12] [13] . Bár a Schön felületek népszerűvé váltak a természettudományokban, a konstrukciók nem kaptak matematikai létezési bizonyítékot, és többnyire ismeretlenek maradtak a matematikusok számára, amíg G. Karcher 1989-ben be nem bizonyította létezésüket [14] .

A konjugált felületek segítségével sok más felületet is találtak. Bár a Weierstrass-ábrázolások egyszerű példákról ismertek, a legtöbb felület esetében nem ismertek. Ehelyett gyakran használják a diszkrét differenciálgeometria [5] módszereit .

Családok

A TSMT osztályozása nyitott probléma.

A TSMT gyakran családokat alkot, és folyamatosan deformálódhatnak egyikről a másikra. Meeks talált egy 5-paraméteres családot a 3-as nemzetséghez tartozó SST-hez, amely tartalmazza a 3-as nemzetség felületeinek összes ismert példáját, kivéve a giroidot [6] . Ennek a családnak a tagjai folyamatosan egymásba deformálódhatnak úgy, hogy a deformációs folyamat során a felület egymásba ágyazva marad (bár a rács változhat). A giroid és a lidinoid külön 1 paraméteres családba tartozik [15] .

Az STMT-k osztályozásának másik megközelítése a tércsoportjuk figyelembe vétele. A vonalakat tartalmazó felületeknél a lehetséges határpoligonok átszámozhatók, így osztályozást adunk [8] [16] .

Általánosítások

S 3 [17] és H 3 [18] szakaszban periodikus minimális felületek szerkeszthetők .

A tér labirintusokra való felosztását általánosíthatjuk, hogy háromszor periodikus (esetleg elágazó) minimális felületeket találjunk, amelyek a teret több mint két részre osztják [19] .

Kvázi-periodikus minimális felületeket építettek fel [20] -ban . Feltételezték, de soha nem bizonyították, hogy minimális kvázi -kristályos rendű felületek léteznek [21]-ben .

Külső képek galériája

Jegyzetek

  1. ↑ Az EPINET projekt matematikája . Letöltve: 2020. augusztus 4. Az eredetiből archiválva : 2020. március 7.
  2. ↑ Deng, Mieczkowski, 1998 , p. 16–25.
  3. ↑ Jiang, Göpfert, Abetz, 2003 , p. 6171–6177.
  4. ↑ Mackay, 1985 , p. 300–305.
  5. ↑ 1 2 Karcher és Polthier 1996 , p. 2077–2104.
  6. ↑ 12 Meeks , 1975 .
  7. ↑ Traizet, 2008 , p. 243–275.
  8. ↑ 1 2 önmetszéspontok nélkül
  9. ↑ Schwarz, 1933 .
  10. ↑ Neovius, 1883 .
  11. ↑ Alan H. Schoen, Végtelen időszakos minimális felületek önmetszéspontok nélkül, NASA műszaki megjegyzés, TN D-5541 (1970)
  12. ↑ [1 .pdf Végtelen periodikus minimális felületek önmetszéspontok nélkül, Alan H. Schoen] . Letöltve: 2019. április 12. [ 1.pdf Archivált] 2018. április 13.
  13. ↑ Alan H. Schoen háromszor periodikus minimális felületei . Letöltve: 2019. április 12. Az eredetiből archiválva : 2018. október 22.
  14. ↑ Karcher, 1989 , p. 291–357.
  15. ↑ Weyhaupt, 2006 .
  16. ↑ Fischer és Koch 1996 , p. 2105–2142.
  17. ↑ Karcher, Pinkall, Sterling, 1988 , p. 169–185.
  18. ↑ Polthier, 1991 , p. 201–210.
  19. ↑ Góźdź, Holyst, 1996 , p. 5012–5027.
  20. ↑ Mazet, Traizet, 2006 , p. 573–601.
  21. ↑ Sheng, Elser, 1994 , p. 9977–9980.

Irodalom