Tensor termék

A tenzorszorzat egy művelet vektortereken , valamint szorzott terek elemeivel ( vektorok , mátrixok , operátorok , tenzorok stb.).

A lineáris terek tenzorszorzata a lineáris tér, amelyet jelöl . Az elemek és tenzor szorzata a térben rejlik . $A$ $B$ $A\otime B$ $a\in A$ $b\in B$ $a\otimes b$ $A\otime B$

A tenzorszorzat jelölése a halmazok derékszögű szorzatának jelölésével analóg módon jött létre.

Lineáris (vektor) terek tenzorszorzata

Véges dimenziós terek

Legyen és véges dimenziós vektorterek a mező felett , legyen bázis -ben és bázis -ben . A terek tenzorszorzatának nevezzük az elemek által generált vektorteret , amelyet bázisvektorok tenzorszorzatának nevezünk . Tetszőleges vektorok tenzorszorzata úgy határozható meg, hogy a műveletet bilineárisra állítjuk : $A$ $B$ $K$ $\{e_{i}\}_{{i=1\dots n}}$ $A$ $\{f_{k}\}_{{k=1\dots m}}$ $B$ $A\otime B$ $A$ $B$ $e_{i}\otimes f_{k}$ $a\otimes b$ $a\A-ban,~b\B-ben$ $\otimes$

(\lambda a_{1}+\mu a_{2})\otimes b=\lambda \,a_{1}\otimes b+\mu \,a_{2}\otimes b,~~\lambda ,\mu \ tinta

a\otimes (\lambda b_{1}+\mu b_{2})=\lambda \,a\otimes b_{1}+\mu \,a\otimes b_{2},~~\lambda ,\mu \tinta

Ebben az esetben tetszőleges vektorok tenzorszorzata és bázisvektorok lineáris kombinációjaként fejeződik ki . A -ben lévő , mint ábrázolható elemeket felbonthatónak nevezzük . $a$ $b$ $e_{i}\otimes f_{k}$ $A\otime B$ $a\otimes b$

Bár a terek tenzorszorzatát az alapok megválasztásával határozzuk meg, geometriai tulajdonságai nem ettől a választástól függenek.

Meghatározás általános tulajdonsággal

A tenzorszorzat bizonyos értelemben a legáltalánosabb tér, amelybe az eredeti terek bilineárisan leképezhetők. Ugyanis minden más tér- és bilineáris leképezéshez létezik olyan egyedi lineáris leképezés , amelyre $C$ $\otimes ^{\prime }:A\times B\to C$ $f: A \ néha B\-C$

\otimes ^{\prime }=f\circ \otimes ,

ahol a függvények összetételét jelöli . $\circ$

Ebből különösen az következik, hogy a tenzorszorzat nem függ a és -beli bázisok megválasztásától , mivel az univerzális tulajdonságot kielégítő minden tér kanonikusan izomorf -val . $A$ $B$ $A\otime B$

Így egy tetszőleges bilineáris leképezés megadása egyenértékű a lineáris leképezés megadásával : terek és kanonikusan izomorfak. $L^{2}\ni \varphi :A\time B\to C$ $L\ni \varphi :A\otimes B\to C$ $\ L^{2}(A\xB,C)$ $L(A\xB,C)$

Kettőnél több szóköz szorzata

A fenti univerzális tulajdonság kettőnél több térből álló termékekre is kiterjeszthető. Például legyen , , és három vektortér. Tenzorszorzat a közvetlen szorzatból származó trilineáris leképezéssel együtt $V_{1}$ $V_{2}$ $V_{3}$ ${\displaystyle V_{1}\otimes V_{2}\otimes V_{3))$

{\displaystyle \varphi :V_{1}\times V_{2}\times V_{3}\to V_{1}\otimes V_{2}\otimes V_{3))

olyan formája van, mint bármely trilineáris leképezésnek egy közvetlen szorzatból egy vektortérbe $F$ $W$

F:V_{1}\szor V_{2}\szor V_{3}\-W

egyedileg halad át a tenzorszorzaton:

F=L\circ \varphi

hol van egy lineáris leképezés. A tenzorszorzatot ez a tulajdonság egyedülállóan jellemzi, egészen az izomorfizmusig . A fenti konstrukció eredménye egybeesik két tér tenzorszorzatának ismétlésével. Például, ha , és három vektortér, akkor van egy (természetes) izomorfizmus $L$ $V_{1}$ $V_{2}$ $V_{3}$

V_{1}\otimes V_{2}\otimes V_{3}\otimes V_{1}\otimes (V_{2}\otimes V_{3})\cong (V_{1}\otimes V_{ 2})\otimes V_{3}.

Általánosságban elmondható, hogy egy tetszőleges indexelt halmazcsalád tenzorszorzata univerzális objektum a közvetlen szorzatból származó többlineáris leképezésekhez . $V_i$ $i\in I$ $\textstyle \prod _{i\in I}V_{i}$

Legyen tetszőleges természetes szám. Ekkor a tér tizedik tenzorhatványát a másolatok tenzorszorzatának nevezzük : $n$ $n$ $V$ $n$ $V$

V^{{\otimes n}}\;{\overset {{\mathrm {def}}}{=}}\;\underbrace {V\otimes \cdots \otimes V}_{{n}}.

Funkcionalitás

A tenzorszorzat a lineáris leképezésekre is hat. Legyen , lineáris operátorok. Az operátorok tenzorszorzatát a szabály határozza meg $A\colon U_{1}\to U_{2}$ ${\displaystyle B\colon W_{1}\to W_{2))$ ${\displaystyle A\otimes B\colon U_{1}\otimes W_{1}\otimes W_{2}\otimes W_{2))$

(A\otimes B)(u\otimes w)=(Au)\otimes (Bw),~~u\in U_{1},\,w\in W_{1}

E meghatározás után a tenzorszorzat a vektorterek kategóriájából önmagába való bifunktorrá válik, mindkét argumentumban kovariáns. [egy]

Ha az A és B operátorok mátrixai valamilyen bázisválasztáshoz olyan alakúak

{\mathrm {A}}={\begin{bmatrix}a_{{11}}&\cdots &a_{{1n}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{{m1}}&\cdots &a_{{mn}}\end{bmatrix}}

{\mathrm {B}}={\begin{bmatrix}b_{{11}}&\cdots &b_{{1q}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\b_{{p1}}&\cdots &b_{{pq}}\end{bmatrix}}

akkor a tenzorszorzatuk mátrixa az alapok tenzorszorzata által alkotott bázisba lesz írva blokkmátrix formájában

{\mathrm {A}}\otimes {\mathrm {B}}={\begin{bmatrix}a_{{11}}B&\cdots &a_{{1n}}B\\\vdots &\ddots &\vdots \ \a_{{m1}}B&\cdots &a_{{mn}}B\end{bmatrix}}=

={\begin{bmatrix}a_{{11}}b_{{11}}&a_{{11}}b_{{12}}&\cdots &a_{{11}}b_{{1q}}&\cdots & \cdots &a_{{1n}}b_{{11}}&a_{{1n}}b_{{12}}&\cdots &a_{{1n}}b_{{1q}}\\a_{{11}}b_ {{21}}&a_{{11}}b_{{22}}&\cdots &a_{{11}}b_{{2q}}&\cdots &\cdots &a_{{1n}}b_{{21}} &a_{{1n}}b_{{22}}&\cpontok &a_{{1n}}b_{{2q}}\\\vpontok &\vpontok &\dpontok &\vpontok &&&\vpontok &\vpontok &\dpontok & \vdots \\a_{{11}}b_{{p1}}&a_{{11}}b_{{p2}}&\cdots &a_{{11}}b_{{pq}}&\cdots &\cdots &a_ {{1n}}b_{{p1}}&a_{{1n}}b_{{p2}}&\cdots &a_{{1n}}b_{{pq}}\\\vponts &\vdots &&\vdots &\ dpontok &&\vpontok &\vpontok &&\vpontok \\\vpontok &\vpontok &&\vpontok &&\dpontok &\vpontok &\vpontok &&\vpontok \\a_{{m1}}b_{{11}}&a_{{m1 }}b_{{12}}&\cdots &a_{{m1}}b_{{1q}}&\cdots &\cdots &a_{{mn}}b_{{11}}&a_{{mn}}b_{{ 12}}&\cdots &a_{{mn}}b_{{1q}}\\a_{{m1}}b_{{21}}&a_{{m1}}b_{{22}}&\cdots &a_{{ m1}}b_{{2q}}&\cdots &\cdots &a_{{mn}}b_{{21}}&a_{{mn}}b_{{22}}&\cdots &a_{{mn}}b_{ {2q}}\\\vpontok &\vpontok &\dpontok &\vpontok &&&\vpontok &\vpontok &\dpontok &\vpontok \\a_{{m1}}b_{{p1}}&a_{{m1}}b_ {{p2}}&\cdots &a_{{m1}}b_{{ pq}}&\cdots &\cdots &a_{{mn}}b_{{p1}}&a_{{mn}}b_{{p2}}&\cdots &a_{{mn}}b_{{pq}}\end {bmátrix}}

A megfelelő mátrixműveletet Kronecker-szorzatnak nevezik , Leopold Kronecker után .

Különleges esetek

Két vektor tenzorszorzata

A jobb oldali oszlopvektor (mátrix) szorzása egy sorvektorral leírja a tenzorszorzatukat:

\mathbf {a} \otimes \mathbf {b} \leftrightarrow {\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\a_{4}\end{bmatrix} }{\begin{bmatrix}b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}b_{1}&a_{1}b_{2}&a_{ 1}b_{3}\\a_{2}b_{1}&a_{2}b_{2}&a_{2}b_{3}\\a_{3}b_{1}&a_{3}b_{2} &a_{3}b_{3}\\a_{4}b_{1}&a_{4}b_{2}&a_{4}b_{3}\end{bmatrix}}.

Tulajdonságok

$\dim A\otimes B=\dim A\cdot \dim B$

A következő algebrai tulajdonságok kanonikus izomorfizmuson alapulnak:

Az asszociativitás

(A\otimes B)\otimes C\simeq A\otimes (B\otimes C)

Formálisan a tenzorszorzat nem kommutatív, de létezik természetes izomorfizmus $A\otimes B\to B\otimes A$
Linearitás

A\otimes (B\otimes C)\simeq (A\otimes B)\oplus (A\otimes C)

\oplus

a lineáris terek külső összege .

A moduli tenzorszorzata

Legyenek modulok valamilyen kommutatív gyűrűn . A modulok tenzorszorzata egy többlineáris leképezéssel együtt adott modul, amely az univerzalitási tulajdonsággal rendelkezik, vagyis olyan, hogy bármely modul felett és bármilyen multilineáris leképezés esetén a modulok egyedi homomorfizmusa létezik, így a diagram $A_{1},A_{2},\pontok ,A_{n}$ $R$ $B$ $R$ $f\colon A_{1}\times \dots \times A_{n}\to B$ $C$ $R$ $g\colon A_{1}\times \dots \times A_{n}\to C$ $h\kettőspont B\-C$

kommutatív. A tenzorszorzatot jelöli . A tenzorszorzat univerzalitásából következik, hogy az izomorfizmusig egyedileg definiált. $A_{1}\otimes \ldots \otimes A_{n}$

Annak bizonyítására, hogy tetszőleges modulok tenzorszorzata létezik egy kommutatív gyűrűn, megszerkesztünk egy szabad modult, amelynek generátorai olyan modulok n elemei, ahol . Legyen egy almodul , amelyet a következő elemek generálnak: $M$ $(x_{1},\pontok,x_{n})$ $x_{i}\in A_{i}$ $N$ $M$

$(x_{1},\pontok ,x_{i}+y_{i},\pontok ,x_{n})-(x_{1},\pontok ,x_{i},\pontok ,x_{n}) -(x_{1},\pontok ,y_{i},\pontok ,x_{n})$
$(x_{1},\pontok ,\lambda x_{i},\pontok ,x_{n})-\lambda (x_{1},\pontok ,x_{i},\pontok ,x_{n})$

A tenzorszorzat a hányados modulusként van definiálva , az osztályt jelöljük , és elemtenzorszorzatnak nevezzük, az a a megfelelő indukált leképezés. $B=M/N$ $(x_{1},\pontok,x_{n})+N$ $x_{1}\otimes \ponts \otimes x_{n}$ $x_{i}$ $f$

Az 1) és 2) pontból következik, hogy a leképezés többlineáris. Bizonyítsuk be, hogy bármely modulhoz és bármilyen multilineáris leképezéshez létezik olyan egyedi modulhomomorfizmus , hogy . $f\colon A_{1}\times \dots \times A_{n}\to B$ $C$ $g\colon A_{1}\times \dots \times A_{n}\to C$ $h$ $g=h\circ f$

Valójában, mivel ingyenes, létezik egy egyedi leképezés , amely elkészíti a diagramot $M$ $h^{*}$

kommutatív, és mivel multilineáris, akkor innen tovább, áttérve az indukált leképezésre, azt kapjuk, hogy , lesz az egyetlen homomorfizmus, amelynek meglétét bizonyítani kellett. $g$ $N$ $h^{*}(N)=0$ $h\kettőspont M/N\-C$

Az alakban ábrázolható elemeket felbonthatónak nevezzük . $A_{1}\otimes \ponts \otimes A_{n}$ $x_{1}\otimes \ponts \otimes x_{n}$

Ha modulok izomorfizmusai, akkor a bilineáris leképezésnek megfelelő indukált homomorfizmus $f_{i}\kettőspont A_{i}\-B_{i}$

f_{1}\otimes \pontok \otimes f_{n}\kettőspont A_{1}\otimes \pontok \otimes A_{n}\-B_{1}\otimes \pontok \otimes B_{n}

az egyetemesség tulajdonsága által létező homomorfizmusok tenzorszorzatának nevezzük . $f_{i}$

Különösen egyszerű esetet kapunk a szabad modulok esetében . Legyen a modul alapja . Szerkesszünk egy szabad modult a gyűrűnk fölé, amelynek alapja n -kam -nak megfelelő elemei vannak , definiálunk egy leképezést és kiterjesztjük azt linearitás szerint. Ezután a tenzorszorzat, ahol az elemek tenzorszorzata . Ha a modulok száma és az összes bázisuk véges, akkor $e_{{i1}},\pontok ,e_{{in}}$ $A_{i}$ $F$ $(e_{{1m}},e_{{2p}},\dots ,e_{{ns}})$ $f(e_{{1m}},e_{{2p}},\dots ,e_{{ns}})\to (e_{{1m}},e_{{2p}},\dots ,e_{{ns }})$ $A_{1}\times\dots\times A_{n}$ $F$ $(e_{{1m}},e_{{2p}},\dots ,e_{{ns}})$ $e_{{1m}}\otimes e_{{2p}}\otimes \dots \otimes e_{{ns}}$

{\mathrm {rang}}(A_{1}\otimes \dots \otimes A_{n})={\mathrm {rang}}\,A_{1}\cdot \dots \cdot {\mathrm {rang}} \,A_{n}

Irodalom

Vinberg E. B. Algebra tanfolyam. - 3. kiadás - M . : Factorial Press, 2002. - 544 p. - 3000 példányban. — ISBN 5-88688-060-7 .
Leng S. Algebra. - M .: Mir , 1967.
Van der Waerden B. L. Algebra. — M .: Nauka , 1976. — 648 p.

Jegyzetek

↑ Hazewinkel, Michiel; Gubareni, Nadezhda Mikhalovna; Gubareni, Nadia; Kiricsenko, Vladimir V. Algebrák, gyűrűk és modulok (neopr.) . - Springer, 2004. - P. 100. - ISBN 978-1-4020-2690-4 .