Skaláris mező

Egy véges dimenziós térben lévő skaláris mező (skalárfüggvény) egy olyan függvény , amely ennek a térnek (tartománynak) valamely régiójából minden egyes pontot skalárhoz , azaz egy valós vagy komplex számhoz társít . Rögzített téralappal egy skaláris mező több olyan változó függvényeként ábrázolható, amelyek egy pont koordinátái. $V$

A különbség a több változóból álló numerikus függvény és a skalármező között az, hogy egy másik bázisban a skaláris mező a koordináták függvényében úgy változik, hogy ha az új argumentumkészlet ugyanazt a térbeli pontot képviseli az új bázisban, akkor a skalár függvény értéke nem változik.

Például, ha egy kétdimenziós vektortér valamely ortonormális bázisában egy skalárfüggvény alakja van , akkor egy másik bázisban, amelyet ehhez képest 45 fokkal elforgatunk, ugyanaz a függvény az új koordinátákban alakja lesz . $f(v)=x^{2}+2y^{2},$ $f(v)=3x'^{2}+3y'^{2}-2x'y'$

Leggyakrabban olyan skaláris függvényeket tekintünk, amelyek kellően sokszor folytonosak vagy differenciálhatók (simaak) (vagyis a függvénynek a -hoz kell tartoznia ). ${\displaystyle \mathbb {C} ^{m))$

Az alkalmazások elsősorban a következőket tartalmazzák:

Három változó funkciója: (skaláris mező háromdimenziós térben, néha [1] térmezőnek is nevezik ). $u=u({\mathbf {r}})=u(x,y,z)$
Két változó funkciója: (egy skaláris mező kétdimenziós térben, néha lapos mezőnek nevezik [1] ). $u=u({\mathbf {r}})=u(x,y)$

Példák

Példák skaláris mezőkre 3D térben:

hőmérséklet (érthető, hogy általában véve a tér különböző pontjain eltérő);
elektrosztatikus potenciál ;
potenciál a newtoni gravitációs elméletben ;
nyomásmező folyékony közegben.

Példák lapos (kétdimenziós) skalármezőkre:

a tenger mélysége, valamilyen módon megjelölve egy lapos térképen;
töltéssűrűség sík vezetőfelületen.

Általában skaláris mező alatt olyan mezőt értünk, amely invariáns a koordináta-transzformációk során (néha, és gyakran - a koordináta-transzformációk egy bizonyos osztálya alatt, például térfogat-megőrző transzformációk, ortogonális transzformációk stb. esetén); de nem kevésbé ritka. egy skaláris mező invarianciáját jelentette a koordináták tetszőleges transzformációja során, amelyet talán csak a simaság korlátoz. (Lásd skalár ).

Ebben az értelemben a koordináták nem minden valós értékű függvénye skaláris mező. A legegyszerűbb példa: ebben az értelemben a vektormező egyik koordinátakomponense nem skaláris mező , mivel a koordinátaválasztás megváltoztatásakor (például a koordinátatengelyek elforgatásakor) az nem marad változatlan (vagyis nem a koordináta-transzformációk invariánsa).

Skaláris mezők a fizikában

A fizikában és sok más alkalmazásban a terület általában az időtől is függ [2] :

u=u(x,y,z,t)

míg a mezőn végzett műveletek (mint például a gradiens ) továbbra is 3-dimenziósan használatosak, vagyis annak ellenére, hogy még egy független változót adtak hozzá, lényegében a mezőt a 3-as, nem pedig a 4-es dimenziójú térben lévő mezőnek tekintjük. Ugyanezek a megfontolások vonatkoznak azokra az esetekre is, amikor a mező a térbeli koordinátákon kívül más paraméterektől is függ: ezek a paraméterek kifejezetten feltüntethetők a funkcionális függésben, ami azonban nem változtatja meg annak a főtérnek a dimenzióját, amelyben a mezőt vizsgáljuk. .

A modern elméleti fizikában az időt kifejezetten három térbelivel egyenlő koordinátának szokás tekinteni [3] , a tér és idő összességét pedig kifejezetten egyetlen négydimenziós térnek (téridőnek nevezzük ). Ha tehát a modern elméleti fizikában skalármezőről beszélünk, ezek alapértelmezésben egy négydimenziós téren vagy sokaságon lévő mezőt jelentenek , azaz négy formálisan egyenlő koordinátától függő függvényt:

u=u(x_{i})=u(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})

(e négy koordináta közül az egyik egyenlő az idővel vagy azzal arányos); sőt, ebben az esetben, ha a skalármező kifejezést használjuk , akkor ez azt is jelenti, hogy Lorentz invariáns . Minden mezőművelet (például a gradiens) 4D-s formában kerül felhasználásra. $x_{i}$ $u$

A modern elméleti fizikában a skaláris mezőt általában egy Minkowski-tér skalár ( egy Lorentz-invariáns mező) vagy egy általános koordináta-transzformációk (általában az első és a második gyakorlatilag egybeesik).

A skalármező kifejezés gyakorlati szinonimái ebben az értelemben a mező spin zéró , spin zéró részecske , skaláris részecske (ez utóbbiakat, bár némileg felhígítják ezeket a közeli fogalmakat, skalármező gerjesztésének is nevezik).

Az egyetlen kísérletileg felfedezett skaláris részecske a Higgs-bozon .

A skaláris mezők fontos szerepet játszanak az elméleti konstrukciókban. Jelenlétük (az azonos értelemben értett és a valóságban megfigyelt vektor- és tenzormezőkkel együtt ) szükséges az alapvető mezők osztályozásának teljességéhez.

Az új fizikai elméletekben (például a húrelméletben ) gyakran foglalkoznak különböző dimenziójú terekkel és sokaságokkal, beleértve a meglehetősen magas (négynél több), és az ilyen tereken lévő mezőket, beleértve a skaláris mezőket is.

Egyenletes felület

A skaláris mező grafikusan ábrázolható szintfelületek (más néven izofelületek) segítségével.

A skalármező síkfelülete a tér azon pontjainak halmaza, amelyekben az u függvény ugyanazt a c értéket veszi fel , vagyis a szintfelületet az egyenlet határozza meg . A különböző síkfelületek halmazának képe vizuálisan ábrázolja azt a konkrét skalármezőt, amelyre felépítették (ábrázolják) [4] , emellett a síkfelületek ábrázolása egy bizonyos további geometriai eszközt ad a felületekkel való munkavégzéshez. skaláris mező, amely számításokhoz, tételek bizonyításához stb. használható. Példa: ekvipotenciális felület . $u=u(x,y,z)$ $u(x,y,z)=c$ $c$

Egy kétdimenziós térben lévő mező esetében a szintfelület analógja a szintvonal . Példák: izobát , izoterma , izohipszis (egyenlő magasságú vonal) a földrajzi térképen és más izolátumok .

A magasabb dimenziójú tér skalármezőjének szintfelületei olyan hiperfelületek , amelyek mérete eggyel kisebb, mint a téré.

Gradiens

A mező leggyorsabb növekedésének irányát a gradiensvektor jelzi , a szokásos módon jelölve: $u=u({\mathbf {r}})=u(x,y,z)$

{\mathbf {grad}}\ u

vagy más jelölés:

\nabla u

komponensekkel:

\left({\frac {\partial u}{\partial x)),\ {\frac {\partial u}{\partial y)),\ {\frac {\partial u}{\partial z))\ jobb)

Itt van egy képlet a háromdimenziós esethez, amely közvetlenül és triviálisan általánosítható más dimenziókra.

Ha a koordináták nem derékszögűek (a bázis nem ortonormális), akkor fontos megjegyezni, hogy a fenti gradiens komponensek kovariánsak, vagyis a skaláris mező gradiense kovektormező. Az ortonóm bázisoknál ez nem lényeges, mivel számukra a vektor és a kovektor fogalma azonosnak tekinthető, valamint a kovariáns és kontravariáns koordináták.

Az u gradiensvektor abszolút értéke u deriváltja a leggyorsabb növekedés irányában ( u növekedési üteme ebbe az irányba egységnyi sebességgel haladva).

A gradiens mindig merőleges a szintfelületekre (2D-s esetben a szintvonalakra). Kivételt képeznek a mező szinguláris pontjai, ahol a gradiens nullával egyenlő.

Jegyzetek

↑ 1 2 Flatfield - Meteorológiai szótár . Hozzáférés dátuma: 2012. május 17. Az eredetiből archiválva : 2014. február 15. (határozatlan)
↑ A félreértések elkerülése végett ebben a részben csak a háromdimenziós tér mezőjéről fogunk beszélni.
↑ Ennek elég komoly okai vannak, amelyek abból fakadnak, hogy a fizikában nem csak formális transzformációk (az ún. Lorentz-transzformációk , amelyek tér-idő elforgatásként jellemezhetők) valósíthatók meg, térbeli koordinátákkal keverve. időben, de kiderül, hogy a mai ismereteink szerint egyetlen fizikai kísérlet és megfigyelés sem képes feltárni a két egymáshoz képest ennyire elforgatott tér-idő koordinátarendszer egyikében vagy másikában felírt fizikaegyenletek közötti különbségeket.
↑ Az ilyen felületek "képe" természetesen általában háromdimenziós (maguk a felületek kétdimenziósak, de általában nem laposak, és háromdimenziós térben helyezkednek el), de egyszerű esetekben lehet könnyen elképzelhető[ mi? ] , valamint valamilyen módon egy vagy több 2D vetületet vagy metszetet készíthet egy ilyen 3D képből.

Irodalom

Borisenko AI, Tarapov IE Vektoranalízis és a tenzorszámítás elvei. (nem elérhető link) 3. kiadás. Moszkva: Felsőiskola, 1966.
Goldfain IA Vektoranalízis és térelmélet. Moszkva: Nauka, 1968.
Kochin N. E. A vektorszámítás és a tenzorszámítás kezdetei. 9. kiadás Moszkva: Nauka, 1965.

Szótárak és enciklopédiák	Nagy katalán Nagy orosz
Bibliográfiai katalógusokban	GND : 4181618-3 J9U : 987007558470805171