Relativisztikus egyenletesen gyorsított mozgás

A relativisztikus egyenletesen gyorsított mozgás (vagy relativisztikus egyenletesen gyorsított mozgás ) egy objektum mozgása, amelyben a saját gyorsulása állandó. A saját gyorsulás egy objektum gyorsulása a kísérő (saját) vonatkoztatási rendszerben, azaz inerciális vonatkoztatási rendszerben, amelyben az objektum pillanatnyi sebessége nulla (ebben az esetben a vonatkoztatási rendszer megváltozik pontról pontra). A relativisztikus egyenletesen gyorsított mozgás példája lehet egy állandó tömegű test mozgása állandó (a mozgó vonatkoztatási rendszerben) erő hatására . Az egyenletesen gyorsuló testen elhelyezett gyorsulásmérő nem változtatja meg a leolvasást .

A klasszikus mechanikától eltérően a fizikai test nem mindig mozoghat állandó (rögzített tehetetlenségi vonatkoztatási rendszerben ) gyorsulással , mivel ebben az esetben sebessége előbb-utóbb meghaladja a fénysebességet . A saját gyorsulás azonban tetszőlegesen hosszú ideig állandó lehet; ebben az esetben egy rögzített inerciális vonatkoztatási rendszerben lévő objektum sebessége aszimptotikusan megközelíti a fénysebességet, de soha nem haladja meg azt.

A relativisztikus mechanikában az objektumra ható állandó erő folyamatosan változtatja a sebességét, de a fénysebességnél kisebb marad. A relativisztikusan egyenletesen gyorsuló mozgás legegyszerűbb példája egy töltött részecske egydimenziós mozgása egyenletes elektromos térben a sebesség mentén [1] .

A Minkowski-térben állandó gyorsulással mozgó megfigyelő számára két eseményhorizont létezik , az úgynevezett Rindler-horizont (lásd: Rindler-koordináták ).

Sebesség az idővel

Ha egy erő [2] állandó tömegű tárgyra hat, lendülete a következőképpen változik [3] : $\textstyle \mathbf {f}$ $\textstyle m$

\mathbf {f} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}={\frac {d}{dt}}{\frac {m\mathbf {u} }{\sqrt { 1-\mathbf {u} ^{2}/c^{2}}}}.

Ha az erő állandó, akkor ez az egyenlet könnyen integrálható:

{\frac {\mathbf {u} }{\sqrt {1-\mathbf {u} ^{2}/c^{2))))=\mathbf {w} _{0}+\mathbf {nál nél,

ahol egy állandó vektor az erő irányában, és egy integrációs állandó, amelyet a tárgy kezdeti sebességével fejezünk ki az adott időpontban : $\textstyle \mathbf {a} =\mathbf {f} /m$ ${\displaystyle \textstyle \mathbf {w} _{0))$ $\textstyle \mathbf {u} _{0}$ $\textstyle t=0$

\mathbf {w} _{0}={\frac {\mathbf {u} _{0}}{\sqrt {1-\mathbf {u} _{0}^{2}/c^{ 2}}}}.

A sebesség explicit kifejezése időben a következő formában van:

\mathbf {u} (t)={\frac {\mathbf {w} _{0}+\mathbf {a} \,t}{\sqrt {1+(\mathbf {w} _{0 }+\mathbf {a} \,t)^{2}/c^{2}}}}.

Egy részecske sebessége állandó erő hatására hajlik a fénysebességre , de soha nem haladja meg azt. Az alacsony sebességek nemrelativisztikus határában a sebesség időfüggősége ölt formát

\mathbf {u} \approx \mathbf {u} _{0}+\mathbf {a} \,t

a klasszikus egyenletesen gyorsított mozgásnak megfelelő .

A mozgás pályája

Az egyenletesen gyorsított mozgás pályája általános esetben az állandó vektorok orientációjától függ, és az egyenlet integrálása után a következő kifejezést kapjuk: $\textstyle \mathbf {a}$ $\textstyle \mathbf {w} _{0}.$ $\textstyle \mathbf {u} (t)=d\mathbf {r} /dt$

\mathbf {r} (t)=\mathbf {r} _{0}+{\frac {\displaystyle \mathbf {a} \,c}{\displaystyle a^{2))}\,\ left({\sqrt {c^{2}+(\mathbf {w} _{0}+\mathbf {a} \,t)^{2}}}-{\sqrt {c^{2}+\ mathbf {w} _{0}^{2))}\right)+{\frac {[\mathbf {a} \times [\mathbf {w} _{0}\times \mathbf {a} ]]} {a^{2}}}\cdot \tau _{0},

ahol a test helyzetének sugárvektora az időpillanatban és az objektum megfelelő ideje [4] : $\textstyle \mathbf {r} _{0}$ $\textstyle t=0,$ $\textstyle \tau _{0}$

\tau _{0}={\frac {c}{a}}\cdot \ln {\frac {\displaystyle {\sqrt {c^{2}+(\mathbf {w} _{0} +\mathbf {a} t)^{2}}}+at+(\mathbf {w} _{0}\mathbf {a} )/a}{\displaystyle {\sqrt {c^{2}+\mathbf {w} _{0}^{2}}}+(\mathbf {w} _{0}\mathbf {a} )/a}}.

Ha a megfelelő gyorsulás és a kezdeti sebesség párhuzamos egymással, akkor a vektorszorzat egyenlő nullával, és a pálya kifejezése észrevehetően leegyszerűsödik. $\textstyle \mathbf {a}$ $\textstyle \mathbf {u} _{0}$ $\textstyle [\mathbf {a} \times [\mathbf {w} _{0}\times \mathbf {a} ]]$

Ebben az esetben, ha az objektum az x tengely mentén mozog, akkor az ( x, t ) síkon lévő világvonala hiperbola , ezért az egydimenziós egyenletesen gyorsított relativisztikus mozgást néha hiperbolikusnak nevezik. $x(t)=\mathrm {const} +{\sqrt {c^{2}t^{2}+c^{4}/a^{2))}.$

A megfelelő idő egyenlő azzal az idővel, amely a tárgyhoz társított órában eltelt a kezdeti pillanattól a rögzített vonatkoztatási rendszerben addig a pillanatig , amelyhez képest a mozgás megfigyelhető. Időtágítás eredményeként mindig $\textstyle \tau _{0}$ $\textstyle t=0$ $\textstyle t$ $\textstyle \tau _{0}<t.$

A nem relativisztikus határértékben (kis sebességek) megkapjuk a klasszikus egyenletesen gyorsuló mozgás egyenletét : $\textstyle c\to \infty$

\mathbf {r} (t)\approx \mathbf {r} _{0}+\mathbf {u} _{0}\,t+{\frac {\mathbf {a} \,t^{2 }}{2}}.

Saját gyorsulás

Az állandó vektor jelentése közönséges gyorsulás a gyorsuló testhez tartozó pillanatnyi vonatkoztatási rendszerben. Ha a test sebességet változtat korábbi helyzetéhez képest valahol egy rögzített vonatkoztatási rendszerben, akkor az ilyen mozgás relativisztikusan egyenletesen gyorsul. Emiatt a paramétert belső gyorsulásnak nevezik . A mozgás ilyen definíciójának elfogadásával megkapható a sebesség időfüggősége anélkül, hogy a dinamikára hivatkoznánk, csak a relativitáselmélet kinematikájának keretein belül maradva [5] . $\textstyle \mathbf {a}$ $\textstyle a\,dt',$ $\textstyle a={\textrm {const)),$ $\textstyle a$

Az a belső gyorsulási modulus egydimenziós esetben a t koordinátaidővel rendelkező Λ rögzített tehetetlenségi keretben megfigyelt a′ = d u /d t 3 gyorsulási modulushoz kapcsolódik a következőképpen:

a=a^{\prime }\gamma ^{3}={\frac {1}{\left(1-u^{2}/c^{2}\right)^{3/2} }}{\frac {{\textrm {d}}u}{{\textrm {d}}t)),

ahol γ az objektum Lorentz-tényezője , u a sebessége Λ -ben . Ha a koordináta és a sebesség kezdeti értékeit nullának vesszük, akkor a fenti egyenlet integrálásával megkaphatjuk az objektum sebességének és helyzetének a Λ rendszerben való függőségét a koordinátaidőtől:

u(t)={\frac {at}{\sqrt {1+\left({\frac {at}{c}}\right)^{2}}}}=c\operátornév {th} \left(\operátornév {Arsh} {\frac {at}{c}}\right);

x(t)={\frac {c^{2}}{a}}\left({\sqrt {1+\left({\frac {at}{c}}\right)^{2 ))}-1\right)={\frac {c^{2}}{a}}\left(\operatorname {ch} \left(\operatorname {Arsh} {\frac {at}{c}}\ jobb)-1\jobb).

Azonos mennyiségek függése az objektum megfelelő idejétől:

u(\tau )=c\operátornév {th} {\frac {a\tau }{c));

x(\tau )={\frac {c^{2}}{a}}\left(\operátornév {ch} {\frac {a\tau }{c}}-1\right).

A megfelelő idő függése a koordinátaidőtől:

\tau (t)={\frac {c}{a}}\ln \left({\sqrt {1+\left({\frac {at}{c}}\right)^{2} ))+{\frac {at}{c}}\right)={\frac {c}{a}}\operátornév {Arsh} {\frac {at}{c}}.

A koordinátaidő függése a megfelelő időtől:

t(\tau )={\frac {c}{a}}\operátornév {sh} {\frac {a\tau }{c}}.

Egyenletesen gyorsított töltés kisugárzása

Egy állandó saját gyorsulással a mozgó e töltés erővel elektromágneses hullámokat sugároz (a Gauss-rendszerben ). Ebben az esetben nincs sugárzási súrlódás [6] . $P={\frac {2e^{2}a^{2}}{3c^{3}}}$

Lásd még

Jegyzetek

↑ Egy töltött részecske 0 vagy 180°-tól nem egyenlő szögben az egyenletes elektromos térrel való mozgása nem egyenletesen gyorsul, mivel általában a Lorentz-transzformáció során az elektromágneses tér megváltozik, ami az erő megváltozásához vezet. a mozgó vonatkoztatási rendszerben a testre ható. Az egyetlen kivétel a Lorentzi-transzformáció egy homogén elektromos tér mentén; ebben az esetben a mező nem változik.
↑ Ebben a cikkben a 3-vektorokat direkt félkövér betűkkel jelöljük, hosszukat pedig (valamilyen inerciális vonatkoztatási rendszerben) normál dőlt betűvel szedjük.
↑ Landau L. D. , Lifshitz E. M. Field theory. - 7. kiadás, átdolgozott. — M .: Nauka , 1988. — 512 p. - (" Elméleti fizika ", II. kötet). — ISBN 5-02-014420-7 .
↑ Logunov A. A. Előadások a relativitáselméletről és a gravitációról: A probléma modern elemzése. - M .: "Nauka", 1987.
↑ Accelerated Motion archiválva : 2010. augusztus 9., a Wayback Machine in Relativity
↑ Ginzburg V. L. A sugárzásról és a sugárzás súrlódási erejéről egyenletesen gyorsított töltésmozgással // Uspekhi fizicheskikh nauk . - Orosz Tudományos Akadémia , 1969. - T. 98 . - S. 569-585 . (Orosz)