Saját gyorsulás

A belső gyorsulás [1] a relativitáselméletben az a fizikai gyorsulás (azaz mérhető gyorsulás, például egy gyorsulásmérő segítségével ), amelyet egy tárgy tapasztal. Így a szabadeséshez viszonyított gyorsulás vagy egy inerciális megfigyelő, aki pillanatnyilag nyugalomban van a mért tárgyhoz képest. A gravitáció nem okoz saját gyorsulást, mivel a gravitáció úgy hat az inerciális megfigyelőre, hogy saját gyorsulása nem rögzül. Ennek az a következménye, hogy minden inerciális megfigyelőnek mindig nulla a belső gyorsulása.

A belső gyorsulás ellentétben áll a gyorsulással , amely a koordinátarendszer megválasztásától, tehát a megfigyelő választásától függ.

Az egyirányú mozgásra vonatkozó speciális relativitáselmélet szabványos tehetetlenségi koordinátáiban a saját gyorsulás a saját sebesség koordinátaidőhöz viszonyított változási sebessége.

Egy tehetetlenségi keretben, amelyben az objektum pillanatnyilag nyugalomban van, a gyorsulás megfelelő 3 vektora egy nulla időkomponenssel kombinálva megadja az objektum 4-es gyorsulását , ami a belső gyorsulás nagyságát Lorentz invariánssá teszi . Így a koncepció a következő esetekben hasznos: (i) gyorsított képkockákkal, (ii) relativisztikus sebességgel és (iii) görbült téridőben.

Az indítás utáni gyorsuló rakétáknál, vagy akár a kilövéskor lévő rakétáknál a belső gyorsulás az utasok által érzett gyorsulás, és g -erőként írják le (ami nem erő, hanem csak gyorsulás, lásd ezt a cikket. a belső gyorsulás részletesebb tárgyalása) csak járművek állítják elő. [2] A "gravitáció gyorsulása" ("gravitáció") soha semmilyen körülmények között nem járul hozzá a saját gyorsulásához, ami azt jelenti, hogy a földön álló megfigyelők által megfigyelt saját gyorsulás a földről érkező mechanikai erőnek köszönhető, és nem a gravitáció "erőjére vagy "gyorsulására". Ha eltávolítjuk a talajt, és hagyjuk, hogy a megfigyelő szabadon zuhanjon, a megfigyelő koordinátagyorsulást tapasztal, de öngyorsulást és ezért g-erőt sem. Általában az ilyen esésben, vagy általában bármilyen ballisztikus úton (más néven tehetetlenségi mozgásban) lévő objektumok, beleértve a pályán lévő tárgyakat, nem tapasztalják saját gyorsulásukat (elhanyagolható a kis árapálygyorsulás a gravitációs mezők tehetetlenségi pályáihoz). Ezt az állapotot " súlytalanságnak " ("nulla-g") vagy "szabadesésnek" is nevezik .

A belső gyorsulás a tehetetlenségi koordináta-rendszerben sík téridőben (tehát gravitáció hiányában) a koordinátára csökken, feltéve, hogy a tárgy belső sebessége [3] (tömegegységenkénti lendület) sokkal kisebb. mint a fénysebesség c . A koordinátagyorsulás csak ilyen helyzetekben érezhető teljes mértékben túlterhelésként (azaz a saját gyorsulása, amelyet mérhető súly létrehozásaként is definiálunk).

Olyan helyzetekben, ahol nincs gravitáció, de a választott koordinátarendszer nem tehetetlen, hanem a megfigyelővel együtt gyorsul (például a gyorsuló rakéta gyorsított referenciakerete vagy egy centrifugában lévő tárgyakra rögzített keret), akkor a g-erők és az ezekben a koordinátarendszerekben megfigyelők által megfigyelt megfelelő gyorsulásokat olyan mechanikai erők okozzák, amelyek ellenállnak a súlyuknak az ilyen rendszerekben. Ezt a súlyt viszont tehetetlenségi erők hozzák létre , amelyek minden ilyen gyorsított koordináta-rendszerben megjelennek, hasonlóan ahhoz a súlyhoz, amelyet a gravitációs testhez képest térben rögzített objektumok "nehezítőereje" hoz létre (mint például a gravitációs test felületén). Föld).

Azt a teljes (mechanikai) erőt, amely a nyugalomban lévő tömeg saját gyorsulását okozza egy olyan koordinátarendszerben, amelynek saját gyorsulása van Newton törvénye szerint F = m a , saját erőnek nevezzük . Amint fentebb látható, az önerő egyenlő a reakcióerővel, amelyet a tárgy „munkasúlyaként” mérnek (azaz egy olyan eszközzel mérve, mint egy rugómérleg vákuumban, a tárgy koordinátarendszerében). Így egy tárgy saját ereje számszerűen mindig egyenlő és ellentétes irányú a mért tömeggel.

Példák

Ha állandó szögsebességgel forgó körhintán tartjuk , radiális belső ( centripetális ) öngyorsulást tapasztalunk a hajtókar és a kéz kölcsönhatása miatt. Ez törli a forgó referenciakerethez tartozó radiálisan kifelé irányuló geometriai gyorsulást . Ez a kifelé irányuló gyorsulás (a forgó vonatkoztatási keretet tekintve) lesz a koordinátagyorsulás, amikor elengedi a kezét, ami nulla belső gyorsulású geodéziai repülést eredményez. Természetesen ebben a pillanatban a gyorsítatlan megfigyelők a referenciakeretükben egyszerűen azt látják, hogyan tűnnek el az egyenlő saját és koordináta gyorsulások.

Hasonlóképpen, amikor egy nem forgó bolygón (és a földön) állunk, megtapasztaljuk saját felfelé irányuló gyorsulásunkat a föld által a cipőünk talpára kifejtett normál (a felszínre merőleges) erő hatására. A lefelé irányuló geometriai gyorsulást semlegesíti a koordinátarendszer megválasztása miatt (ún. felületi referenciakeret (angol shell frame) [4] ). Ez a lefelé irányuló gyorsulás koordinátává válik, ha véletlenül lelépünk egy szikláról egy nulla belső gyorsulású pályára (geodéziai vagy eső referenciakeret).

Vegyük észre, hogy a geometriai gyorsulások ( a kovariáns derivált koordinátarendszerben az affin kapcsolódási tag miatt) lényünk minden grammjára hatnak , míg a megfelelő gyorsulásokat általában külső erő okozza. A bevezető fizika kurzusok gyakran a gravitációs erő következményeként kezelik a lefelé irányuló (geometriai) gravitációs gyorsulást . Ez a nem gyorsított vonatkoztatási keretek gondos elkerülésével együtt lehetővé teszi számukra, hogy a koordinátát és a megfelelő gyorsulást egy és ugyanazon entitásnak tekintsék.

Még akkor is, ha egy objektum hosszú ideig állandó megfelelő gyorsulást tart fenn lapos téridőben, a nyugalomban lévő megfigyelők azt fogják látni, hogy az objektum koordinátagyorsulása csökken, ahogy a koordináta sebessége megközelíti a fénysebességet. Ennek ellenére az objektum saját sebességének növekedési üteme állandó marad.

Így a saját és koordinátagyorsulás közötti különbség [5] lehetővé teszi a felgyorsult utazók tapasztalatainak követését különböző nem newtoni nézőpontokból. Ezek a perspektívák magukban foglalják az olyan eseteket, mint a gyorsított koordinátarendszerek (pl. körhinta), a nagy sebesség (ha a megfelelő és a koordinátaidő eltér) és a görbült téridő (pl. a Földön a gravitációhoz kapcsolódik).

Klasszikus alkalmazások

A newtoni fizika inerciális koordinátarendszereiben kis sebességeknél a megfelelő gyorsulás egyenlő az a = d 2 x /dt 2 koordinátagyorsulással . Azonban, ahogy fentebb említettük, az különbözik a koordinátagyorsulástól, ha úgy dönt, hogy (Newton tanácsával ellentétben) egy gyorsított koordinátarendszerrel írja le a világot, például egy száguldó autó vagy egy csúzliban forgó kő. Ha egyetért azzal, hogy a gravitációt a téridő görbülete okozza (lásd alább), akkor egy gravitációs mezőben a megfelelő gyorsulás eltér a koordináta gyorsulásától.

Például egy a o fizikai vagy belső gyorsulásnak kitett objektumot a megfigyelők egy állandó gyorsulásnak kitett koordinátarendszerben egy koordinátagyorsulású keretben észlelnek :

{\vec {a}}_{acc}={\vec {a}}_{o}-{\vec {a}}_{frame}

Így, ha egy objektum egy vonatkoztatási rendszerrel gyorsul, az abban a vonatkoztatási rendszerben lehorgonyzott megfigyelők egyáltalán nem látnak gyorsulást.

Hasonlóképpen, egy a o fizikai vagy belső gyorsulásnak kitett objektumot a megfigyelők egy ω szögsebességgel forgó keretben koordinátagyorsulásnak tekintik:

{\vec {a}}_{rot}={\vec {a}}_{o}-{\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\ vec {r)))-2{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}_{rot}-{\frac {d{\vec {\omega }}}{dt}}\times {\vec {r))

A fenti egyenletben három geometriai gyorsulási tag található a jobb oldalon. Az első a „centrifugális gyorsulás”, csak az „r” radiális pozíciótól függ, és nem a tárgyunk sebességétől, a második a „Coriolis-gyorsulás”, csak a forgó referenciakeretben lévő tárgy sebességétől függ v rot . , de nem a helyzetétől, és a harmadik tag - "Euler-gyorsulás" - csak a vonatkoztatási rendszer szögsebességének helyzetétől és változási sebességétől függ.

Ezekben az esetekben a fizikai vagy belső gyorsulás különbözik a koordinátagyorsulástól, mivel ez utóbbit befolyásolhatja a koordináta-rendszerünk megválasztása, valamint a tárgyra ható fizikai erők. A koordinátagyorsulás azon összetevőit, amelyeket nem fizikai erők (például közvetlen érintkezés vagy elektrosztatikus vonzás) okoznak, gyakran olyan erőknek tulajdonítják (mint a fenti Newton példában), amelyek: (i) egy tárgy minden grammjára hatnak, (ii) tömegfüggetlen gyorsulások és (iii) nem minden szempontból létezik. Ilyen geometriai (vagy nem megfelelő) erők közé tartoznak a Coriolis -erők , az Euler-erők , a g -erők , a centrifugális erők és (amint azt alább látni fogjuk) a gravitáció .

A lapos téridő egy részéből nézve

A sík téridő adott részében a megfelelő gyorsulás és a koordináta aránya a lapos téridő metrikájának egyenletéből következik [6] Minkowski ( c d τ ) 2 = ( c d t ) 2 — (d x ) 2 . Itt a méterekből és szinkronizált órákból álló egyetlen referenciakeret határozza meg az x nyugalmi képkockát és a t nyugalmi keretidőt, a mozgó objektum órája határozza meg a megfelelő τ időt , a koordináta előtti "d" pedig végtelenül kicsi változást jelöl. Ezek az összefüggések lehetővé teszik a "bármilyen sebesség tervezésének" különféle problémáinak megoldását, bár csak a megfigyelői pihenés kiterjesztett vonatkoztatási rendszere szempontjából, amelyben az egyidejűséget határozzák meg.

Gyorsulás (1+1)D-ben

Egyirányú esetben, amikor az objektum gyorsulása párhuzamos vagy ellentétes a sebességével a megfigyelő középpontjában, a helyes α gyorsulás és a koordinátagyorsulás a [7] -hez kapcsolódik a γ Lorentz-tényezőn keresztül α =γ 3 a esetén . Ezért a saját sebesség változása w=dx/dτ a rendszer saját gyorsulásának integrálja az idő függvényében nyugalmi állapotban t, azaz Δ w = α Δ t az α állandóra . Alacsony sebességnél ez a koordináta sebessége és a koordináta gyorsulási ideje közötti jól ismert összefüggésbe vezet le , azaz Δ v = a Δ t .

Állandó egyirányú megfelelő gyorsulás esetén hasonló összefüggések vannak az η sebesség és az eltelt megfelelő idő Δ τ , valamint a γ Lorentz-együttható és a megtett út Δ x között . Ugyanis:

\alpha ={\frac {\Delta w}{\Delta t))=c{\frac {\Delta \eta }{\Delta \tau ))=c^{2}{\frac {\Delta \gamma }{\Delta x))

ahol különböző sebességparamétereket kapcsol össze az összefüggés

\eta =\sinh ^{-1}\left({\frac {w}{c}}\right)=\tanh ^{-1}\left({\frac {v}{c}} \right)=\pm \cosh ^{-1}\left(\gamma \right)

Ezek az egyenletek leírják a nagy sebességű felgyorsult mozgás néhány következményét. Képzeljünk el például egy űrhajót, amely 1 g-val (10 m/s 2 vagy körülbelül 1,0 fényév évente négyzetesen) képes felgyorsítani az utasait úti cél feléig, majd a fennmaradó félúton 1 g-mal lelassítja őket, hogy mesterséges gravitációt biztosítson a Föld számára az A pontból. [8] [9] Δ x AB nyugalmi kerettávolságok esetén a fenti első egyenlet átlagos Lorentz-tényezőt γ mid =1+ α (Δ x AB /2)/c 2 . Ezért a parancsnok óráján az oda-vissza út ideje Δ τ = 4( c / α ) cosh −1 ( γ mid ), amely alatt a nyugalmi rendszer óráján eltelt idő Δ t = 4( c / α ) lesz. sinh [cosh −1 ( γ mid )].

Ez a képzeletbeli űrhajó az utazók órái szerint körülbelül 7,1 évig (földi idő szerint kb. 12 évig) képes eljutni a Proxima Centauriba és onnan, a központi fekete lyukig körülbelül 40 év alatt (földi idő szerint kb. 54 000 év) és az Androméda-galaxisba utazik , körülbelül 57 évig tart (a földi óra szerint több mint 5 millió év). Sajnos az évek során elért 1 grammos gyorsulást könnyebb mondani, mint megtenni, amint azt a jobb oldali ábra mutatja, amely a maximális hasznos teher és az indító tömeg arányát mutatja.

Jegyzetek

↑ Edwin F. Taylor és John Archibald Wheeler (csak 1966. 1. kiadás) Téridő fizika (WH Freeman, San Francisco) ISBN 0-7167-0336-X , 1. fejezet, 51. gyakorlat, 97-98. oldal: "Óra paradoxon III" ( pdf ) Archiválva 2017. július 21-én a Wayback Machine -nál ).
↑ Relativitáselmélet – Wolfgang Rindler, 71. oldal
↑ Francis W. Sears és Robert W. Brehme (1968) Bevezetés a relativitáselméletbe (Addison-Wesley, NY) LCCN 680019344 Archiválva : 2012. július 30., a Wayback Machine , 7-3.
↑ Edwin F. Taylor és John Archibald Wheeler (2000) Fekete lyukak felfedezése (Addison Wesley Longman, NY) ISBN 0-201-38423-X
↑ vö. CW Misner, KS Thorne és JA Wheeler (1973) Gravitation (WH Freeman, NY) ISBN 978-0-7167-0344-0 , 1.6.
↑ P. Fraundorf (1996) "A relativitáselmélet tanításának egytérképes, kétórás megközelítése a bevezető fizikában" ( arXiv:physics/9611011 )
↑ A. John Mallinckrodt (1999) Mi történik, ha a*t>c? Az eredetiből archiválva : 2012. június 30. (AAPT nyári találkozó, San Antonio TX)
↑ E. Eriksen és Ø. Grøn (1990) Relativisztikus dinamika egyenletesen gyorsított referenciakeretekben az óraparadoxon alkalmazásával, Eur. J Phys. 39 , 39-44
↑ C. Lagoute és E. Davoust (1995) A csillagközi utazó, Am. J Phys. 63 , 221-227