Vetítés (geometria)

A vetítés ( lat.  projectio  – „előredobva”) a következő:

1. egy háromdimenziós alak képe az úgynevezett képi (vetítési) síkon oly módon, hogy a látás , fényképezés , camera obscura optikai mechanizmusainak geometriai idealizálása . A kivetítés kifejezés ebben az összefüggésben egy ilyen kép megalkotásának módszerét és a módszer alapjául szolgáló technikákat is jelenti. Széles körben használják a mérnöki grafikában , az építészetben , a festészetben és a térképészetben . A vetületek készítésének módszereinek tanulmányozása mérnöki tudományágként a leíró geometriával foglalkozik ;
2. a vetítés első értelmében vett általánosítása (pontosabban változatának általánosítása - párhuzamos vetítés ) bármely dimenziójú pontok, ábrák, térvektorok megjelenítésére annak bármilyen dimenziójú alterére : például a pontok vetítése mellett. A háromdimenziós tér egy síkra vetítése lehet, hogy a háromdimenziós tér pontjai egy egyenesre, egy sík pontjai egy egyenesre, egy 7 dimenziós tér pontjai a 4 dimenziós alterére stb. , valamint egy vektor vetítése az eredeti tér bármely alterére, különösen egy egyenesre vagy egy vektor irányára ( a skaláris szorzat euklideszi definíciója az utóbbi térhez kapcsolódik ). A vetület ebben az értelemben széles körben alkalmazható vektorokkal kapcsolatban (elemi és absztrakt kontextusban is), derékszögű koordináták használatakor stb.

Általános meghatározás

Egy tér önmagára való leképezését vetületnek nevezzük, ha ez a leképezés idempotens , azaz önmagával való összetétele egyenlő vagy mindenre vonatkozik .

Kivetítés háromdimenziós térből síkra

A tárgyak ábrázolásának vetítési módszere azok vizuális megjelenítésén alapul. Ha az objektum összes pontját egyenes vonalakkal (vetítési sugarak) kötjük össze egy állandó O ponttal (vetítési középponttal), amelyben a megfigyelő szemét feltételezzük , akkor ezeknek a sugaraknak bármely síkkal metszéspontjában az összes pont vetülete a tárgyat kapjuk. Így kapunk egy tárgy perspektivikus képét egy síkon, vagy egy központi vetületet .

Ha a vetítési középpont végtelen távolságra van a képsíktól, akkor párhuzamos vetítésről beszélnek ; sőt, ha a vetületi sugarak merőlegesen esnek a síkra - akkor körülbelül ortogonális vetület , és ha ferdén - körülbelül ferde .

Ha a vetítési sík nem párhuzamos a  téglalaprendszer egyik koordinátasíkjával sem , akkor ez axonometrikus vetület .

• Ezen vetületek bármelyikénél egy szakasz átmegy egy szakaszba (és degenerált esetben, amikor a szakasz a vetületi sugáron fekszik, egy pontba); az egyenesből egyenes vonal vagy sugár válhat. Ez a tulajdonság nagymértékben leegyszerűsíti a vetítés vizuális célú alkalmazását, különösen a műszaki rajznál , amikor az objektum sok egyenes vonalú elemet tartalmaz: elegendő a szegmensek végeit kivetíteni és a rajzban egyenes vonalakkal összekötni.
• Az ellipszis vagy kör ellipszissé (elfajult esetben szegmenssé vagy körré) változik.

Kivetítés tetszőleges térből annak alterére

A (2. bekezdés bevezetőjében említett) vetületet ebben az értelemben széles körben alkalmazzák a lineáris algebrában (további részletekért lásd: Projekció (lineáris algebra) ), de a gyakorlatban nem csak meglehetősen absztrakt összefüggésekben, hanem vektorokkal való munka során is. bármilyen jellegű, méretben és absztrakciós fokban, és még az elemi geometriában is, valamint - nagyon széles körben - egyenes vonalú koordináták használatakor (téglalapként vagy affinként ).

Külön meg kell említeni egy pont egyenesre vetítését és egy vektor egyenesre (irányra) vetítését.

Ortogonális vetítés az egyenesre és az irányra

A leggyakrabban használt vetítés az ortogonális.

A vetítés kifejezést ebben az értelemben mind magára a vetítési műveletre, mind annak eredményére vonatkozóan használjuk (az egyenesre vetítés művelete során egy pont, vektor, ponthalmaz képeit pont vetületének nevezzük , vektor, pontok halmaza erre a vonalra).

Egy pont egyenesre merőleges vetítésének elemi leírása abból adódik, hogy a pontból a merőlegest le kell engedni az egyenesre, és az egyenessel való metszéspontja a pont képét adja (a pont vetülete erre a vonalra). Ez a meghatározás síkon és háromdimenziós térben és bármilyen dimenziójú térben egyaránt működik.

Egy vektor egyenesre vetítésének elemi definícióját a legkönnyebben úgy adhatjuk meg, ha a vektort irányított szakaszként ábrázoljuk. Ekkor az eleje és vége egy egyenesre vetíthető, és az eredeti vektor kezdetének vetületétől a végének vetületéig irányított szakasz adja a vetületét az egyenesre.

Egy vektornak egy bizonyos irányra való vetületét általában olyan számnak nevezzük, amely abszolút értékben egybeesik ennek a vektornak az irányt meghatározó egyenesre vetítésének hosszával; a szám előjelét úgy választjuk meg, hogy pozitívnak tekintsük, ha ennek a vetületnek az iránya egybeesik az adott iránnyal, és negatívnak, ha az irány ellentétes.

• Az utolsó definíciót nagyon könnyű helyettesíteni egy ekvivalenssel a pontszorzat segítségével: ha az irányt egy e egységvektor adja meg , akkor bármely a vektor vetülete erre az irányra egyenlő az a •e pontszorzattal .
• Ugyanez átírható , ahol  a vektor hossza , a vektor és a vetítés iránya  közötti szög .

Nem merőleges vetítés az egyenesre és irányra

A nem ortogonális vetítést ritkábban használják, és még ha használják is, különösen elemi összefüggésekben, a kifejezést nem mindig használják.

Nem merőleges vetületet úgy lehet legegyszerűbben megadni egy egyenesre, ha megadjuk ezt az egyenest és egy síkot (kétdimenziós esetben egy másik egyenest a sík helyett; n -dimenziós tér esetén egy hipersíkot dimenzió ( n -1)) metszi az egyenest. Egy pont vetülete az ezt a pontot tartalmazó és a vetületet meghatározó síkkal párhuzamos sík (hipersík) metszéspontja.

Abban az esetben, ha a vetületet meghatározó sík (hipersík) merőleges az egyenesre, akkor ortogonális vetületet kapunk (ez lehet az alternatív definíciója). Ezért egy nem ortogonális vetülethez meg kell követelni, hogy ez az ortogonalitás hiányzik.

Egy vektor egy egyenesre és egy irányra történő nem ortogonális vetületéhez a definíciókat a pont vetületének adott definíciójából kapjuk, ugyanúgy, ahogy azt az ortogonális vetítésről szóló bekezdésben leírtuk.

• Igaz, észben kell tartani, hogy alapértelmezés szerint a vektor egyenesre vagy irányra vetítése továbbra is merőleges vetítésnek minősül.

Mindazonáltal a nem ortogonális vetítés fogalma hasznos lehet (legalábbis, ha nem fél a terminológiai zavaroktól) a ferde koordináták bevezetéséhez és a velük való munkavégzéshez (ezeken keresztül elvileg a pontkoordináták és a vektorkoordináták fogalma ebben az esetben elég könnyen meghatározható).

Pont vetítése halmazra

Egy v pontnak egy X konvex halmazra való vetülete az X halmaz olyan pontja , hogy [1]

Lásd még

• Projektor (matematika)

Jegyzetek

1. ↑ Bazaraa, Sherali, Shetty, 2006 , formula 8.72, p. 435.

Irodalom

• Mokhtar S. Bazaraa, Hanif D. Sherali, C. V. Shetty. nemlineáris programozás. - Wiley-Interscience, 2006. - ISBN 0-471-48600-0 .
• Vetítés // Brockhaus és Efron kis enciklopédikus szótára  : 4 kötetben - Szentpétervár. , 1907-1909.
• Projekció - cikk a Great Soviet Encyclopedia- ból . 
• Vetítőkészülék, Fotónagyító, Vetítőnyomtatás, Filmvetítő készülék // Fotó-mozi technika: Enciklopédia / Ch. szerk. E. A. Iofis . — M .: Szovjet Enciklopédia , 1981. — 447 p.