Határérték (kategóriaelmélet)

A kategóriaelmélet határértéke egy  olyan fogalom, amely általánosítja az olyan konstrukciók tulajdonságait, mint a szorzat , a Descartes-négyzet és az inverz határérték . A kolimit kettős fogalma általánosítja az olyan konstrukciók tulajdonságait, mint a diszjunkt unió , a koszorzat , a codecartes-négyzet és a közvetlen határ .

A határértékek és a kolimitok, valamint az univerzális tulajdonság és az adjoint funktorok szorosan összefüggő fogalmai magas szintű absztrakciós fogalmak. Ahhoz, hogy jobban megértsük őket, célszerű először olyan konstrukciók példáit tanulmányozni, amelyeket ezek a fogalmak általánosítanak.

Definíció

A határértékeket és a kolimitokat diagramok segítségével határozzuk meg . A C kategóriába tartozó J  típusdiagram egy függvény:

A J kategória egy indexelési kategória, az F funktor pedig a C kategória objektumait és morfizmusait jelöli a J kategória szempontjából . A legnagyobb érdeklődés az az eset, amikor J  kicsi vagy véges kategória. Ebben az esetben az F  : J → C diagramot kicsinek vagy végesnek nevezzük.

Legyen  F  : J → C egy J típusú diagram a C kategóriában . Az F feletti kúp egy N  objektum C -ben a ψ X  : N → F ( X ) morfizmuscsaláddal együtt, amelyet a J kategória X objektumai indexelnek úgy, hogy bármely f  : X → Y morfizmusra J - ben igaz, hogy F ( f ) o ψ X = ψ Y.

Az F  : J → C diagram határértéke  egy kúp ( L , φ) F felett úgy, hogy az F feletti bármely ( N , ψ) kúphoz létezik olyan egyedi u  : N → L morfizmus , hogy φ X o u = ψ X minden X -től J -ig . [egy]

A koliit fogalmát  hasonló módon határozzák meg – minden nyilat meg kell fordítani. Ugyanis:

Az F  : J → C diagram kónusza a C kategóriájú N  objektum a morfizmusok családjával együtt:

minden J -beli X - re úgy, hogy ψ Y o F ( f ) = ψ X igaz bármely f morfizmusra  : X → Y J -ben .

Az F  : J → C diagram  kolimitje egy kókusz ( L , φ ) úgy, hogy bármely más kónuszra ( N , ψ ) létezik olyan egyedi u  : L → N morfizmus , hogy u o φ X = ψ X mindenre X in J. _

Mint minden univerzális objektum, a korlátok és a kolimitok sem mindig léteznek, de ha léteznek, akkor az izomorfizmusig meghatározottak.

Példák korlátokra

A kategorikus határ definíciója elég tág ahhoz, hogy általánosítson más gyakran használt kategorikus konstrukciókat. A példák az F diagram határértékét ( L , φ) veszik figyelembe  : J → C.

• terminál objektumok. Ha J  egy üres kategória, akkor C -ben csak egy J típusú diagram van , az  üres. Az üres diagram feletti kúp egyszerűen bármely C kategóriájú objektum . Az F feletti korlát  minden olyan objektum, amelyhez bármely objektum egyedi morfizmusa van, azaz egy terminális objektum.
• Műalkotások . Itt J  egy diszkrét kategória (morfizmusok nélkül), az F funktor által definiált diagram pedig a C  objektumok családja, amelyet J indexel , és a határ a szorzatuk a faktorok vetületeivel együtt, a vetületek morfizmusok családját alkotják a definícióból. egy kúp.
• Equalizer . Itt J  két objektum és két párhuzamos morfizmus kategóriája, majd F  két párhuzamos morfizmus és a határ a kiegyenlítőjük.
  • A kernel  a hangszínszabályzó speciális esete, ahol az egyik morfizmus nulla.
• Descartes tér . Itt J három objektumból és morfizmusból áll az első és a második objektumtól a harmadikig.
• Ha J  egy elem kategóriája és az azonosság morfizmusa, akkor a határ az az elem, amelybe J le van képezve .
• Topológiai határok. A funkciókorlátok a szűrőkorlátok speciális esetei , amelyek a következő módon kapcsolódnak a kategorikus korlátokhoz. Adott X topológiai térben tekintsük F  -et, egy X szűrőkészletet , egy x ∈ X , V ( x ) ∈ F pontot, egy x , A ∈ F  szomszédságszűrőt  , néhány specifikus szűrőt és  egy vékonyabb szűrőkészletet. mint A és x -hez konvergál . Az F szűrőkön úgy határozhatunk meg egy kategóriastruktúrát, hogy egy A → B nyíl akkor és csak akkor létezik, ha A ⊆ B . A beágyazás funkcionálissá válik, és igaz a következő állítás: x akkor és csak akkor A  topológiai határértéke,ha A  kategorikus határérték. [2]

Tulajdonságok

Létezés

Egy kategóriának J típusú határértéke van, ha bármely J típusú diagramnak van határértéke.

Egy kategóriát akkor nevezünk teljesnek , ha van korlátja bármely kis diagramra (vagyis olyan diagramra, amelynek elemei halmazt alkotnak). A véges teljes és a komplett kategóriákat hasonlóképpen határozzuk meg .

Általános tulajdonság

Tekintsünk egy C kategóriát a J diagrammal . A C J funktorok kategóriája a C -beli J típusú diagramok kategóriájaként fogható fel . Az átlós funktor  egy olyan függvény, amely egy C kategóriájú N elemet egy Δ( N ) : J → C konstans függvényre képez le , amely mindent N -re képez le .

Adott egy F : J → C diagram (értve C J objektumként ), a ψ : Δ( N ) → F természetes transzformáció (a C J kategória morfizmusaként értendő ) megegyezik az N -ből F -be tartó kúppal . A ψ komponensei ψ X  : N → F ( X )  morfizmusok . A limit és a colimit definíciói átírhatók a következőképpen: [3] :

• F határértéke  az univerzális nyíl Δ -től F -ig .
• A colimit F  az univerzális nyíl F -től Δ -ig .

Funktorok és határértékek

A G  : C → D függvény leképezést indukál Cone( F ) -ről Cone( GF ) -re . G megőrzi a határértékeket F -ben, ha ( GL , G φ) GF  határértéke , amikor ( L , φ) F  határértéke [4] . Egy G függvény megtartja a J típusú határértékeket, ha megőrzi az összes F  : J → C diagram határértékét . Például azt mondhatjuk, hogy G megőrzi a szorzatokat, kiegyenlítőket stb.. A folytonos funktor  olyan funktor, amely minden kis határértéket megtart. Hasonló meghatározásokat vezetnek be a kolitákra is.

Az adjungált funktorok egyik fontos tulajdonsága ,  hogy minden jobb oldali adjungált funktor folytonos, és minden bal oldali adjungált funktor véges folytonos [5] .

Egy G  : C → D függvény korlátokat emel egy F  : J → C diagramra , ha az a tény, hogy ( L , φ) GF  határértéke , azt jelenti, hogy létezik egy határérték ( L ′, φ′) F -ben úgy, hogy G ( L ′, φ′) = ( L , φ) [6] . Egy G függvény megemeli a J típusú határértékeket, ha minden J típusú diagramra megemeli a határértéket . A kolitáknak kettős definíciója van.

Jegyzetek

1. ↑ Goldblatt, 1983 , p. 70-71.
2. ↑ Matematika Stack Exchange, Stephan F. Kroneck válasza . Letöltve: 2014. április 6. Az eredetiből archiválva : 2013. május 1.. (határozatlan)
3. ↑ McLane, 2004 , p. 81, 83.
4. ↑ McLane, 2004 , p. 137.
5. ↑ McLane, 2004 , p. 140.
6. ↑ Adamek, 1990 , p. 227.

Irodalom

• McLane S. 3. fejezet. Univerzális konstrukciók és határértékek // Categories for the working mathematician = Categories for the working mathematician / Per. angolról. szerk. V. A. Artamonova. - M . : Fizmatlit, 2004. - S. 68-94. — 352 p. — ISBN 5-9221-0400-4 .

• R. Goldblatt. Topoi. A logika kategorikus elemzése. - M . : Mir, 1983. - 487 p.
• Adámek, Jiří, Herrlich, Horst és Strecker, George E. Abstract and Concrete Categories . — 1990. Eredetileg publikált. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6 . (most ingyenes online kiadás).