Kirchhoff szabályai

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2019. december 7-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 9 szerkesztést igényelnek .

A Kirchhoff-szabályok (amelyeket a szakirodalomban gyakran Kirchhoff-törvényeknek neveznek) azok a kapcsolatok, amelyek az áramok és a feszültségek között fennállnak bármely elektromos áramkör szakaszaiban .

A Kirchhoff-szabályok alapján összeállított lineáris egyenletrendszerek megoldásai lehetővé teszik, hogy megtalálja az összes áramot és feszültséget az egyenáramú, váltakozó és kvázi-stacionárius áramkörökben [1] .

Az elektrotechnikában különösen nagy jelentőséggel bírnak sokoldalúságuk miatt, mivel számos elektromos áramkörelméleti probléma megoldására és összetett elektromos áramkörök gyakorlati számításaira alkalmasak.

A Kirchhoff-szabályok lineáris elektromos áramkörre történő alkalmazása lehetővé teszi az áramok vagy feszültségek lineáris egyenletrendszerének előállítását, és ennek megfelelően ennek a rendszernek a megoldása során az áramértékek megtalálását az áramkör minden ágában és az összes internodálisban. feszültségek.

Gustav Kirchhoff fogalmazta meg 1845 -ben [2] .

A "Szabályok" elnevezés helyesebb, mert ezek a szabályok nem alapvető természeti törvények, hanem a töltésmegmaradás és az elektrosztatikus tér irrotációjának alapvető törvényeiből következnek ( Maxwell harmadik egyenlete az állandó mágneses térre). Ezeket a szabályokat nem szabad összetéveszteni két további Kirchhoff-törvénnyel a kémiában és a fizikában .

A szabályok megfogalmazása

Definíciók

A Kirchhoff-szabályok megfogalmazásához bemutatjuk az elektromos áramkör csomópontja , ága és áramköre fogalmát . Az elágazás egy elektromos áramkör egy azonos áramerősségű szakasza, például az ábrán. az R 1 , I 1 jelű szakasz az elágazás. A csomópont három vagy több elágazás kapcsolódási pontja (az ábrán félkövér pontok jelzik). Az áramkör egy zárt út, amely egy kiterjedt elektromos áramkör több ágán és csomópontján halad át. A zárt út kifejezés azt jelenti, hogy a lánc valamely csomópontjából kiindulva, és egyszer több ágon és csomóponton áthaladva visszatérhet az eredeti csomóponthoz . Az ilyen bypass során bejárt ágakat és csomópontokat általában ehhez a körvonalhoz tartozónak nevezik. Ebben az esetben figyelembe kell venni, hogy egy ág és egy csomópont egyszerre több kontúrhoz is tartozhat.

E meghatározások tekintetében a Kirchhoff-szabályok a következőképpen fogalmazódnak meg.

Első szabály

Kirchhoff első szabálya (Kirchhoff áramszabálya) kimondja, hogy bármely áramkör minden csomópontjában konvergáló ágáramok algebrai összege nulla. Ebben az esetben a csomópontra irányított áramot pozitívnak, a csomópontból érkező áramot negatívnak tekintjük: A csomópontra irányított áramok algebrai összege megegyezik a csomópontból irányított áramok összegével.

\sum \limits _{{j=1}}^{n}I_{j}=0.

Más szóval, mennyi áram folyik be a csomópontba, annyi áramlik ki belőle. Ez a szabály a töltés megmaradásának alaptörvényéből következik .

A számításnál azonban figyelembe kell venni, hogy ez a szabály csak elhanyagolható csomóponti kapacitás esetén alkalmazható. Ellenkező esetben az első szabály megsérthető, ami különösen nagyfrekvenciás áramoknál észrevehető.

Második szabály

A második Kirchhoff-szabály (Kirchhoff feszültségszabály) kimondja, hogy a zárt áramkör rezisztív elemein a feszültségek algebrai összege megegyezik az ebben az áramkörben szereplő EMF algebrai összegével. Ha az áramkörben nincsenek EMF-források (idealizált feszültséggenerátorok), akkor a teljes feszültségesés nulla:

állandó feszültségekhez

\sum _{{k=1}}^{n}E_{k}=\sum _{{k=1}}^{m}U_{k}=\sum _{{k=1}}^{ m}R_{k}I_{k};

változó feszültségekhez

\sum _{{k=1}}^{n}e_{k}=\sum _{{k=1}}^{m}u_{k}=\sum _{{k=1}}^{ m}R_{k}i_{k}+\sum _{{k=1}}^{m}u_{{L\,k}}+\sum _{{k=1}}^{m}u_ {{C\,k}}.

Ez a szabály a Maxwell-féle 3. egyenletből következik, egy stacionárius mágneses tér esetében.

Más szóval, amikor az áramkört teljesen kiiktatják, a potenciál megváltozik, és visszatér eredeti értékére. A második szabály speciális esete egy áramkörből álló áramkörre az Ohm-törvény erre az áramkörre. A hurok feszültségegyenletének elkészítésekor meg kell választani a hurok megkerülésének pozitív irányát. Ebben az esetben az ág feszültségesése pozitívnak tekinthető, ha ennek az ágnak a megkerülési iránya egybeesik az ágáram korábban kiválasztott irányával, és negatívnak - egyébként (lásd alább).

A Kirchhoff-szabályok érvényesek a lineáris és nemlineáris linearizált áramkörökre az áramok és feszültségek időbeli változásának bármilyen jellegére.

Az áramok és feszültségek számítására szolgáló egyenletek összeállításának jellemzői

Ha az áramkör csomópontokat tartalmaz, akkor azt az áramegyenletek írják le . Ez a szabály más fizikai jelenségekre is alkalmazható (például folyadék- vagy gázvezeték-rendszer szivattyúkkal), ahol teljesül a közeg részecskéinek és a részecskék áramlásának megmaradásának törvénye. $p$ $p-1$

Ha az áramkörben vannak ágak, amelyek közül az ágak áramforrásokat tartalmaznak mennyiségben , akkor azt a feszültségegyenletek írják le. $m$ $m_i$ $m-m_{i}-(p-1)$

A Kirchhoff-szabályok, amelyeket egy áramkör csomópontjaira vagy áramköreire írtak, egy teljes lineáris egyenletrendszert adnak, amely lehetővé teszi az összes áram és feszültség megtalálását. $p-1$ $m-(p-1)$
Mielőtt felírná az egyenleteket, önkényesen ki kell választania:
- pozitív áramirányokat az ágakban, és jelölje meg a diagramon, miközben nem szükséges biztosítani, hogy a csomópontban az áramok iránya egyszerre legyen bejövő és kimenő, az egyenletrendszer végső megoldása továbbra is a helyes előjeleket adja. a csomóponti áramok;
- a kontúrok megkerülésének pozitív irányai a második törvény szerinti egyenletek összeállításához, az egységesség kedvéért ajánlatos a pozitív megkerülési irányokat minden kontúrra azonosan megválasztani (például: óramutató járásával megegyező irányba).
Ha az áram iránya megegyezik a hurok bypass irányával (amit tetszőlegesen választottunk), akkor a feszültségesést pozitívnak tekintjük, ellenkező esetben negatívnak.
Amikor a második Kirchhoff-szabály szerint lineárisan független egyenleteket írnak fel, arra törekszenek, hogy minden olyan új kontúrhoz, amelyre az egyenletet összeállítják, legalább egy olyan új ág legyen, amely nem szerepel az előző kontúrokban, amelyekre a másodiknak megfelelően már felírták az egyenleteket. törvény ( elégséges, de nem szükséges feltétel ).
Az elektromos áramkörök összetett, nem síkbeli grafikonjaiban az ember nehezen látja a független áramköröket és csomópontokat, minden független áramkör (csomópont) egy egyenletrendszer összeállításakor további 1 lineáris egyenletet generál a lineáris egyenletrendszerben, amely meghatározza a probléma. A független kontúrok számának megszámlálását és kifejezett jelzését egy adott gráfban a gráfelmélet fejleszti .

Példa

Csomópontok száma: 3.

$p-1=2$

Elágazások száma (zárt körökben): 4. Áramforrást tartalmazó ágak száma: 0.

$m-m_{i}-(p-1)=2$

Az áramkörök száma: 2.

Az ábrán látható áramkörre az első szabálynak megfelelően a következő összefüggések állnak fenn:

{\begin{cases}I_{1}-I_{2}-I_{6}=0\\I_{2}-I_{4}-I_{3}=0\end{cases))

Vegye figyelembe, hogy minden csomóponthoz pozitív irányt kell választani, például itt a csomópontba befolyó áramokat pozitívnak, a kifolyó áramokat negatívnak tekintjük.

A kapott lineáris algebrai egyenletrendszer megoldása lehetővé teszi a csomópontok és ágak összes áramának meghatározását, az áramkör-elemzésnek ezt a megközelítését általában hurokáramok módszerének nevezik .

A második szabály szerint a következő összefüggések érvényesek:

{\begin{cases}U_{2}+U_{4}-U_{6}=0\\U_{3}+U_{5}-U_{4}=0\end{cases))

Az így kapott egyenletrendszerek teljes mértékben leírják a vizsgált áramkört, megoldásaik pedig meghatározzák az ágak összes áramát és feszültségét. Az áramkörelemzésnek ezt a megközelítését általában csomóponti potenciálok módszerének nevezik .

Az elektrotechnika fontosságáról

A Kirchhoff-szabályok alkalmazott jellegűek, és lehetővé teszik más módszerekkel és módszerekkel ( az ekvivalens generátor módszerrel , szuperpozíciós elvvel , potenciáldiagram készítésének módszerével) együtt, illetve azokkal kombinálva az elektrotechnikai problémák megoldását. Kirchhoff szabályait széles körben alkalmazzák az egyenletek megfogalmazásának egyszerűsége és a standard lineáris algebrai módszerekkel ( Cramer - módszer, Gauss -módszer stb.) történő megoldási lehetőség miatt.

Jelentés a matematikában

Kirchhoff első szabálya mátrix formában is megfogalmazható. Nevezetesen, legyen az elektromos áramkör csomópontokból. Készítsünk egy mátrixot , ahol for a számokkal összekötő csomópontok vezetőképessége és (ha nincsenek összekötve, akkor gondolatban egy nulla vezetőképességű ággal is összekapcsolható). Ugyanakkor . Legyen egy potenciál, amelyet a csomópontok halmazán definiált függvénynek tekintünk (vagy ami ugyanaz, a -dimenziós térbeli vektornak ). Ekkor a vezetőképesség definíciója szerint van , hol van az áram az ágban, amely csúcsból csúcsba megy . Ezért az első Kirchhoff-szabály a -edik csomópontra felírható , vagy , vagy a mátrix átlós elemeinek definíciója alapján, mint . Az egyenlőség bal oldalán könnyen megtudható a mátrix és az oszlopvektor szorzatának koordinátája . $n$ $A=\{a_{ij}\}_{i,j=1}^{n}$ $a_{{ij}}$ $i \neq j$ $én$ $j$ $a_{jj}=\sum _{i=1,~i\neq j}^{n}(-a_{ij})$ $\varphi$ $\mathbf {u} =(\varphi _{1},\varphi _{2},\dots ,\varphi _{n})$ $n$ $\mathbb {R} ^{n}$ $I_{ij}=a_{ij}(\varphi _{i}-\varphi _{j})$ $I_{ij}$ $én$ $j$ $j$ $\sum _{i=1,~i\neq j}^{n}I_{ij}=\sum _{i=1,~i\neq j}^{n}a_{ij}(\ varphi _{i}-\varphi _{j})=0$ $\sum _{i=1,~i\neq j}^{n}a_{ij}\varphi _{i}+\left(\sum _{i=1,~i\neq j}^ {n}(-a_{ij})\right)\varphi _{j}=\sum _{i=1,~i\neq j}^{n}a_{ij}\varphi _{i}+a_ {jj}\varphi _{j}=0$ $\sum _{i=1}^{n}a_{ij}\varphi _{i}=0$ $A$ $\mathbf {u}$

Tehát Kirchhoff első szabálya mátrix formájában a következő:

${\begin{Vmatrix}a_{11}&a_{21}&\pontok &a_{n1}\\a_{12}&a_{22}&\pontok &a_{n2}\\...&... &...&...\\a_{1n}&a_{2n}&\pontok &a_{nn}\end{Vmátrix}}{\begin{Vmatrix}\varphi _{1}\\\varphi _{2 }\\...\\\varphi _{n}\end{Vmatrix}}=0\Leftrightarrow A^{T}\mathbf {u} =\mathbf {0}$ .

Ebben a formában általánosítható vezető felületekre. Íves felületen a vezetőképesség nemcsak a ponttól, hanem az iránytól is függ. Más szóval, a vezetőképesség a felület érintővektorainak függvénye. Ha azt feltételezzük, hogy érintőtereken jól közelít egy pozitív-definit másodfokú forma, akkor Riemann-metrikáról beszélhetünk (ami különbözik a felületen mért távolságtól, mint egy geometriai alaktól, amely figyelembe veszi elektromosságának nemizotrópiáját. tulajdonságok). A felület minden pontja csomópontként szolgálhat, ezért a potenciál többé nem vektor, hanem függvény lesz a felületen. A vezetőképesség mátrixának analógja a metrikus vezetőképesség Laplace-Beltrami operátora lesz, amely a sima függvények terére hat. Kirchhoff első felületre vonatkozó szabálya pontosan ugyanezt mondja: . Más szavakkal, a potenciál egy harmonikus függvény . $g$ $u$ ${\displaystyle \Delta _{g))$ $\Delta _{g}u=0$

Ebben a tekintetben egy tetszőleges súlyozott gráfhoz társított mátrixot , kivéve a szomszédsági mátrixszal egyenlő átlót , néha diszkrét laplaciánusnak nevezik . A felharmonikus függvényekre vonatkozó tételek analógjai, például a harmonikus függvény létezése egy olyan tartományban, amelynek határa adott értékekhez a határon, és amelyet valamilyen kernellel való konvolúcióval kapunk, diszkrét harmonikus függvényeknél is előfordulnak. Ellenkezőleg, egy vezető felület közelíthető egy ellenállásrács segítségével, és ezen a rácson lévő diszkrét harmonikus függvények közelítik a megfelelő felület harmonikus függvényeit. A Gershgorin integrátor ezen a körülményen alapul , egy analóg számítógép, amelyet a Laplace-egyenlet megoldására használtak a XX. század 30-as és 70-es éveiben. $A$

Vezető felület esetén a potenciálkülönbség helyett érdemes 1-es alakról beszélni . A vezetőképességi metrika segítségével hozzárendelt vektormező az elektromos áram ezen a felületen. Kirchhoff első szabálya szerint ez az 1-forma is harmonikus (vagyis a differenciálformákon definiált Hodge Laplacian magjában található). Ez támpontot ad arra, hogyan kell helyesen megfogalmazni a Kirchhoff-törvényt arra az esetre, amikor a mező nem potenciális: nevezetesen a vektormezőnek tekintett áramból a vezetőképesség által kapott 1-es alakot, amelyet Riemann-metrikának tekintünk, meg kell adni. harmonikus. A felületen minden topológiailag nem triviális kontúr körüli elektromotoros erő ismeretében lehetőség nyílik az egyes pontokban az áram erősségének és irányának visszaállítására, ráadásul egyedi módon. Konkrétan, az összes lehetséges áramtér dimenziója megegyezik a topológiailag nem triviális kontúrok terének dimenziójával. Ez a tény volt az egyik oka a Poincaré kettősség felfedezésének ; az a tény, hogy az elektromotoros erők egyedileg határozzák meg az áramerősséget (harmonikus 1-forma) , a Hodge-elmélet sajátos esete az 1-formákra (Hodge-elmélet kimondja, hogy a Riemann-féle sokaságon minden de Rham-kohomológiai osztályt egy harmonikus forma képvisel, és csak egyet). $du$ $\mathrm {grad} _{g}(u)$

Kirchhoff sugárzási törvénye

Kirchhoff sugárzási törvénye kimondja, hogy bármely test emissziós tényezőjének és abszorpciós képességének aránya az egyensúlyi sugárzáshoz adott hőmérsékleten minden testre azonos frekvencián, és nem függ alakjától, kémiai összetételétől stb.

Kirchhoff törvénye a kémiában

A Kirchhoff-törvény kimondja, hogy a kémiai reakció hőhatásának hőmérsékleti együtthatója megegyezik a rendszer hőkapacitásának változásával a reakció során.

Jegyzetek

↑ Kirchhoff-szabályok - cikk a Nagy Szovjet Enciklopédiából .
↑ Gustav Robert Kirchhoff . Ueber den Durchgang eines elektrischen Stromes durch eine Ebene, insbesondere durch eine kreisförmige . - 1845. - S. 497-514 .

Irodalom

Matveev A. N. Elektromosság és mágnesesség: tankönyv. - M . : Felsőiskola, 1983. - 463 p.
Kalasnyikov S. G. Villamosság: tankönyv. - M. : Fizmatlit, 2003. - 625 p.
Bessonov L. A. Az elektrotechnika elméleti alapjai. Elektromos áramkörök. — 11. kiadás. - M .: Gardariki, 2007.
Gerasimov V. G., Kuznetsov E. V., Nikolaeva O. V. Elektrotechnika és elektronika. Könyv. 1. Elektromos és mágneses áramkörök. - M. : Energoatomizdat, 1996. - 288 p. — ISBN 5-283-05005-X .