Összeg (matematika)

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. december 24-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

Sum ( lat. summa - összesen, összesen) a matematikában - a mennyiségek összeadási műveletének ( számok , függvények , vektorok , mátrixok stb. ) alkalmazásának eredménye, vagy több összeadási (összeadási) művelet egymás utáni végrehajtásának eredménye. Minden esetben közösek a kommutativitás , asszociativitás , valamint a disztributivitás tulajdonságai a szorzás (ha a vizsgált mennyiségekre szorzás definiálva van), vagyis az összefüggések teljesülése tekintetében:

a+b=b+a,

a+(b+c)=(a+b)+c,

(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c,

c\cdot (a+b)=c\cdot a+c\cdot b,

A halmazelméletben a halmazok összege (vagy uniója) olyan halmaz, amelynek elemei a kombinált halmazok összes elemei, ismétlés nélkül.

Összeadás (az összeg keresése) is meghatározható bonyolultabb algebrai struktúrákra ( csoportok összege , lineáris terek összege , ideálok összege és egyéb példák). A kategóriaelméletben az objektumok összegének fogalma van meghatározva.

A természetes számok összege

A halmaz tartalmazzon részhalmazt alkotó elemeket és részhalmazt alkotó elemeket ( , a és b természetes számok). Ekkor a számtani összeg azoknak az elemeknek a száma lesz , amelyek a két eredeti részhalmaz diszjunktív uniójával kapott részhalmazt alkotják $\mathbb {N}$ $a$ $A$ $b$ $B$ $A\subset \mathbb {N} ,B\subset \mathbb {N}$ $a+b$ $c$ $C\subset \mathbb {N}$ $C=A\sqcup B.$

Algebrai összeg

Az összeget matematikailag a nagy görög Σ (szigma) betűvel jelöljük .

\sum _{i\mathop {=} m}^{n}a_{i}=a_{m}+a_{m+1}+a_{m+2}+\cdots +a_{n- 1}+a_{n}

ahol: i – összegzési index; a i egy változó, amely a sorozat minden tagját jelöli; m az összegzés alsó határa, n az összegzés felső határa. Az összegző szimbólum alatti "i = m" jelölés azt jelenti, hogy az i index kezdeti (kezdő) értéke m -nek felel meg . Ebből a jelölésből az következik, hogy az i index a kifejezés minden tagjában 1-gyel növekszik , és akkor áll meg, ha i = n . [egy]

A programozásban ez az eljárás megfelel a for ciklusnak .

Rögzítési példák

\sum _{i\mathop {=} 1}^{100}i=1+2+3+4+{...}+99+100

\sum _{i\mathop {=} 3}^{6}i^{2}=3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}=86

A határok kihagyhatók a bejegyzésből, ha a szövegkörnyezetből egyértelműek:

\sum a_{i}^{2}=\sum _{i\mathop {=} 1}^{n}a_{i}^{2}.

Az iterátor lehet egy kifejezés is – ekkor a változó zárójelben van formázva " " függvényként. Például az összes természetes szám összege egy bizonyos tartományban: $f()$ $f(k)$ $k$

\sum _{0\leq k<100}f(k).

A halmaz elemeinek összege : $f(x)$ $x$ $S$

\sum _{x\mathop {\in } S}f(x).

Az összes pozitív szám összege , amelyek osztói egy számnak : $\mu (d)$ $d$ $n$

\sum _{d|n}\;\mu (d).

Az iteratív összegző jel alatt több index is használható, például:

\sum _{i,j}=\sum _{i}\sum _{j},

sőt több indexből álló halmaz redukálható úgynevezett többindex formájában .

Végtelen mennyiség

A matematikai elemzésben a sorozat fogalmát definiáljuk - végtelen számú tag összegét.

Példák egymást követő összegekre

1. Egy aritmetikai progresszió összege :

\sum _{{i=0}}^{n}(a_{0}+b\cdot i)=(n+1){\frac {a_{0}+a_{n}}{2}}

2. Egy geometriai progresszió összege :

\sum _{{i=0}}^{n}a_{0}\cdot b^{i}=a_{0}\cdot {\frac {1-b^{{n+1}}}{1 -b}}

3. $\sum \limits _{{k=1}}^{n}k^{3}=\left[{\frac {n(n+1)}{2}}\right]^{2}=\left (\sum \limits _{{k=1}}^{n}k\jobbra)^{2}$

négy. $\sum _{{i=0}}^{n}{\left({\frac {1}{p}}\right)}^{i}={\frac {p}{p-1}}\ left(1-{\frac {1}{p^{{n+1))))\right),\quad p\neq 1,n\geq 0$

Bizonyíték

\sum _{{i=0}}^{n}{\left({\frac {1}{p}}\right)}^{i}=\sum _{{i=0}}^{n }{1\cdot {{\frac {1}{p^{i))))}=1\cdot {\frac {1-{\left({\frac {1}{p))\right)} ^{{n+1}}}{1-{\frac {1}{p}}}}={\frac {{\frac {p^{{n+1}}-1}{p^{{ n+1}}}}}{{\frac {p-1}{p}}}}={\frac {p^{{n+1}}-1}{p^{n}(p-1 )}}={\frac {p}{p-1}}\left(1-{\frac {1}{p^{{n+1}}}}\right)

5. $\sum _{{i=0}}^{n}ip^{i}={\frac {np^{{n+2}}-(n+1)p^{{n+1}}+p }{(p-1)^{2}}},\quad p\neq 1$

Bizonyíték

\sum _{{i=0}}^{n}ip^{i}=\sum _{{i=1}}^{n}ip^{i}=p\cdot \sum _{{i= 1}}^{n}ip^{{i-1}}=p\cdot \sum _{{i=0}}^{{n-1}}(i+1)p^{i}=p \cdot \left(\sum _{{i=0}}^{{n-1}}{ip^{i}}+\sum _{{i=0}}^{{n-1}}p ^{i}\right)=p\cdot \sum _{{i=0}}^{n}ip^{i}-p\cdot np^{n}+p\cdot {\frac {1-p ^{n}}{1-p}}\Jobbra

\Jobbra (1-p)\sum _{{i=0}}^{n}ip^{i}={\frac {-np^{{n+1}}(1-p)+pp^{ {n+1}}}{1-p}}\Rightarrow \sum _{{i=0}}^{n}ip^{i}={\frac {np^{{n+2}}-( n+1)p^{{n+1}}+p}{(1-p)^{2}}}

6. $\sum _{{i=0}}^{n}p^{i}=(p-1)\sum _{{i=0}}^{{n-1}}((ni)p^{ i})+n+1,\quad p\neq 1$

Bizonyíték

(p-1)\sum _{{i=0}}^{{n-1}}((ni)p^{i})+n+1=(p-1)\sum _{{i= 0}}^{n}((ni)p^{i})+n+1=(p-1)\left(n\cdot \sum _{{i=0}}^{n}p^{ i}-\sum _{{i=0}}^{n}ip^{i}\jobbra)+n+1=

=(p-1)\left(n\cdot {\frac {1-p^{{n+1}}}{1-p}}-{\frac {np^{{n+2}}-( n+1)p^{{n+1}}+p}{(1-p)^{2}}}\jobbra)+n+1=

={\frac {np^{{n+2}}-np-np^{{n+1}}+n-np^{{n+2}}+np^{{n+1}}+p ^{{n+1}}-p+pn-n+p-1}{p-1}}=

={\frac {p^{{n+1}}-1}{p-1}}=\sum _{{i=0}}^{n}p^{i}

Például, amikor kiderül, hogy , és ez a következő formájú egyenlőségek sorozata:

p=10

\sum _{{i=0}}^{n}10^{i}=9\cdot \sum _{{i=0}}^{{n-1}}((ni)10^{i} )+n+1

1=9\cdot 0+1,\quad 11=9\cdot 1+2,\quad 111=9\cdot 12+3,\quad 1111=9\cdot 123+4,\quad 11111=9\cdot 1234 +5

Meghatározatlan összeg

A határozatlan összeg felett egy olyan függvény , amelyet jelöl , hogy . $a_{i}$ $én$ $f(i)$ $\sum _{{i}}^{{}}a_{i}$ $\minden i: f(i+1) - f(i) = a_{i}$

A "diszkrét" Newton-Leibniz képlet

Ha "származék" található , akkor . $a_{i}=f(i+1)-f(i)$ $\sum_{i=a}^b a_i = f(b+1)-f(a)$

Etimológia

A latin summa szó fordítása "fő pont", "lényeg", "teljes". A 15. századtól kezdik a szót a mai értelemben használni, és megjelenik az „összefoglalni” ige is (1489).

Ez a szó számos modern nyelven behatolt: oroszul sum , angolul sum , franciául somme .

Az összeg jelölésére szolgáló speciális szimbólumot ( Σ ) Leonhard Euler vezette be először 1755-ben, Lagrange támogatta , de sokáig az S jel versengett ezzel a jellel. Az összeg Σ jelölését végül már a 18. század Fourier és Jacobi által [2] .

Kódolás

A Unicode -nak az U+2211 összeg szimbóluma van ∑ n-ary summation (HTML ∑ • ∑).

Lásd még

Jegyzetek

↑ Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren. 2. fejezet: Összegek // Konkrét matematika: Számítástudományi Alapítvány (2. kiadás ) . - Addison-Wesley Professional , 1994. - ISBN 978-0201558029 . (nem elérhető link)
↑ Alexandrova N. V. Matematikai kifejezések, fogalmak, jelöléstörténet: Szótár-kézikönyv . - 3. kiadás - Szentpétervár. : LKI, 2008. - S. 175 . — 248 p. - ISBN 978-5-382-00839-4 .

Irodalom

Fikhtengol'ts G. M. A differenciál- és integrálszámítás menete. - 7. - M. : Nauka, 1969. - T. 1. - 608 p. — 100.000 példány.

Szótárak és enciklopédiák	Nagy orosz Britannica (online)
Bibliográfiai katalógusokban	GND : 4193845-8