Csomóponti potenciál módszer

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2020. szeptember 8-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

A csomóponti potenciálok módszere az elektromos áramkörök kiszámításának formális módszere olyan lineáris algebrai egyenletrendszer felírásával , amelyben az áramkör csomópontjaiban lévő potenciálok ismeretlenek . A módszer alkalmazásának eredményeként az áramkör összes csomópontjában meghatározzák a potenciálokat, valamint szükség esetén az áramerősséget minden élben (elágazásban).

Bevezetés

Az elektrotechnikában és az elektronikában felmerülő problémák megoldásának gyakran szükséges lépése az elektromos áramkör kiszámítása . Ez a kifejezés azt a folyamatot jelenti, amely során teljes körű információt szereznek az összes csomópontban lévő feszültségekről és egy adott elektromos áramkör minden szélén lévő áramról. Egy lineáris áramkör kiszámításához elegendő felírni a szükséges számú egyenletet, amelyek a Kirchhoff-szabályokon és az Ohm-törvényen alapulnak , majd megoldják a kapott egyenletrendszert.

A gyakorlatban azonban csak nagyon egyszerű áramkörök esetén lehetséges egyenletrendszert egyszerűen kapcsolási rajzból felírni. Ha az áramkör több mint egy tucat elemből áll, vagy sok egymással összefüggő kontúrt (szakaszokat, például hidakat ) tartalmaz, akkor már speciális technikák szükségesek az egyenletrendszer áramkörét meghatározó rekordhoz. Ezek a technikák magukban foglalják a csomóponti potenciálok módszerét és a hurokáramok módszerét .

A csomóponti potenciálok módszere nem vezet semmi újat Kirchhoff szabályaihoz és Ohm törvényéhez. Ez a módszer csak formalizálja használatukat, hogy bármilyen, tetszőlegesen összetett áramkörre alkalmazhatók legyenek, és alkalmasak számítógépes számításokkal történő számításra. Más szóval, a módszer választ ad arra a kérdésre, hogy „ hogyan lehet a törvényeket felhasználni ennek az áramkörnek a kiszámításához? ".

Elméleti alapok

Ha egy Y csomópontokból és P élekből álló áramkörben a kapcsolatok összes jellemzője ismert ( R impedanciák , az EMF források nagysága és a J áram ), akkor minden élben kiszámítható az I i áram , ill. a φ i potenciálok minden csomópontban. Mivel az elektromos potenciál tetszőleges állandó tagig van definiálva, az egyik csomópontban (nevezzük alapcsomópontnak) a potenciál nullával egyenlő, a többi csomópont potenciálja pedig az alapcsomóponthoz viszonyítva határozható meg. . Így az áramkör kiszámításakor Y + P -1 ismeretlen változóink vannak: Y -1 csomóponti potenciálok és P áramok a bordákban.

Nem mindegyik változó független. Például egy áramköri szakasz Ohm-törvénye alapján a kapcsolatokban lévő áramokat teljes mértékben a csomópontokban lévő potenciálok határozzák meg:

I_{i}={\frac {\varphi _{A}-\varphi _{B}+E_{i}}{R_{i}}}+J_{i}.

Másrészt a bordákban lévő áramok egyértelműen meghatározzák a potenciáleloszlást a csomópontokban az alapcsomóponthoz képest:

\varphi _{B}=\varphi _{A}+E_{i}+(J_{i}-I_{i})R_{i}.

Így a független változók minimális száma a láncegyenletekben vagy a láncszemek száma, vagy a csomópontok száma mínusz 1, attól függően, hogy melyik a kisebb.

Az áramkörök kiszámításakor leggyakrabban olyan egyenleteket használnak, amelyeket Kirchhoff szabályai alapján írnak fel. A rendszer az 1. Kirchhoff-szabály szerinti Y -1 egyenletekből (az alap egy kivételével minden csomópontra) és a 2. Kirchhoff-szabály szerinti K egyenletekből áll minden független áramkörre. A Kirchhoff-szabályok szerint összeállított egyenletek független változói a kapcsolati áramok. Mivel a síkgráf Euler-képlete szerint a csomópontok, élek és független kontúrok számát a reláció kapcsolja össze.

Y-P+K=1,

vagy

P=Y+K-1,

akkor a Kirchhoff-szabályok szerint összeállított egyenletek száma megegyezik a változók számával, és a rendszer megoldható. A Kirchhoff-rendszerben szereplő egyenletek száma azonban felesleges. Az egyenletek számának csökkentésének egyik módszere a csomóponti potenciálok módszere. Az egyenletrendszer változói Y -1 csomóponti potenciálok. Az egyenletek minden csomópontra meg vannak írva, kivéve az alapegységet. A rendszerben nincsenek kontúrok egyenletei.

A potenciál egyenlete csomóban

Tekintsünk egy láncrészletet, amely egy csomópontból és a vele szomszédos linkekből áll (1. ábra). Az 1. Kirchhoff-szabály szerint a csomópontban lévő áramok összege nulla:

\sum _{i=1}^{n}I_{i}=0.

A kapcsolat áramát az áramköri szakasz Ohm-törvénye alapján határozzák meg:

I_{i}={\frac {\varphi _{i}-\varphi +E_{i}}{R_{i}}}+J_{i}

ahol:

\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\varphi _{i}-\varphi +E_{i}}{R_{i}}}+J_{i}\ jobb)=0;

\varphi \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{R_{i))}-\sum _{i=1}^{n}{\frac {\varphi _ {i}}{R_{i}}}=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {E_{i}}{R_{i}}}+J_{i}\jobb ).

Az élek átmenő vezetőképességének jelölése

{\displaystyle Y_{i}={\frac {1}{R_{i))))

megkapjuk a csomópont végső egyenletét:

\varphi \sum _{i=1}^{n}Y_{i}-\sum _{i=1}^{n}\varphi _{i}Y_{i}=\sum _{i =1}^{n}(E_{i}Y_{i}+J_{i}).

Az utolsó egyenletet abból a feltételezésből kaptuk, hogy az összes áramforrás és az EMF a vizsgált csomópont felé irányul. Ha bármely forrás az ellenkező irányba irányul, akkor annak EMF-jét vagy áramát ellenkező előjellel kell venni.

Miután felírtuk az utolsó egyenletet a lánc minden csomópontjára, kivéve az alappontot, megkapjuk a csomóponti potenciálok egyenletrendszerét.

Gyakorlati alkalmazás

Egyenletrendszer felállítása

A számítás megkezdése előtt kiválasztjuk az egyik csomópontot (alapcsomópont), amelynek potenciálját 0-nak tekintjük. Ezután a csomópontokat megszámozzuk, majd összeállítjuk az egyenletrendszert .

Az egyenleteket minden csomóponthoz összeállítják, kivéve az alap csomópontot. Az egyenlőségjeltől balra ez van írva:

a vizsgált csomópont potenciálja, megszorozva a vele szomszédos élek vezetőképességének összegével (az áramforrásokat tartalmazó élek vezetőképességét nullának tekintjük, és nem vesszük figyelembe);
mínusz az adott csomóponttal szomszédos csomópontok potenciálja, megszorozva az adott csomóponttal összekötő élek vezetőképességével. Ha egy csomópont ehhez a csomóponthoz egy áramforrást tartalmazó élen keresztül kapcsolódik, akkor ez a csomópont nem kerül figyelembevételre.

Az egyenlőségjeltől jobbra ez van írva:

a csomóponttal szomszédos összes áramforrás összege ;
az adott csomóponttal szomszédos összes EMF szorzatának és a megfelelő kapcsolat vezetőképességének összege.

Ha a forrás a vizsgált csomópont felé irányul, akkor "+" jellel írják, egyébként - "-" jellel. Ne felejtsük el, hogy a sorosan kapcsolt ideális áramforrású kapcsolat vezetőképessége 0.

Példa egyenletrendszerre

A diagramon négy csomópont található (2. ábra). Feltételezzük, hogy a 0 csomópont potenciálja nulla (φ 0 = 0). Felírjuk az 1., 2. és 3. csomópont egyenleteit:

${\begin{cases}\varphi _{1}(Y_{1}+Y_{4}+Y_{6})+\varphi _{2}(-Y_{1})+\varphi _{ 3}(-Y_{6})=E_{6}Y_{6}-E_{4}Y_{4}\\\varphi _{1}(-Y_{1})+\varphi _{2}( Y_{1}+Y_{2}+Y_{3})+\varphi _{3}(-Y_{3})=0\\\varphi _{1}(-Y_{6})+\varphi _ {2}(-Y_{3})+\varphi _{3}(Y_{3}+Y_{5}+Y_{6})=J_{5}-E_{6}Y_{6}\end{ esetek}},$

ahol az élek vezetőképessége egyenlő:

Y_{1}={\frac {1}{R_{1}}};\quad Y_{2}={\frac {1}{R_{2}}};\quad Y_{3}= {\frac {1}{R_{3}}};

Y_{4}={\frac {1}{R_{4}}};\quad Y_{5}={\frac {1}{R_{5}}};\quad Y_{6}= {\frac {1}{R_{6}}}.

Formális megközelítés

Mátrix formában a csomóponti potenciálok módszerének egyenletrendszere így néz ki [1] :

\mathbf {AYA^{t}U_{0}=-A(J+YE)}

ahol

${\mathbf A}$ egy ( q - 1) × p méretű kapcsolódási mátrix ( q a csomópontok száma, p az élek száma), amelyben az i -edik sor az i csomópontnak , a j -edik oszlop pedig a a j él és az A ij elem egyenlő:

0, ha a j él nem kapcsolódik az i csomóponthoz ;
1, ha az él elhagyja a csomópontot;
−1, ha az él belép a csomópontba.

A „be” és „kifelé” kifejezések azt jelentik, hogy minden élnek van egy iránya, amely általában az adott élben folyó áram irányához kapcsolódik;

$\mathbf Y$ a vezetőképességek p × p diagonális mátrixa , amelyben az Y ii átlós elem egyenlő az i- edik él vezetőképességével, és az átlón kívüli elemek nullával;

${\displaystyle \mathbf {A} ^{t))$ a kapcsolatok transzponált mátrixa;

$\mathbf {U} _{0}$ A ( q - 1) × 1 méretű csomóponti potenciálok mátrixoszlopa . A potenciálokat egy előre kiválasztott csomóponthoz viszonyítva mérjük, amelynek potenciálját nullának tekintjük. A nulla csomópont nem szerepel az ebben a szakaszban felsorolt mátrixok egyikében sem;

$\mathbf {J}$ az áramforrások p × 1 oszlopmátrixa , ahol minden elem egyenlő a megfelelő forrás áramával, és ez az érték nulla, ha ezen az élen nincs áramforrás; pozitív, ha a forrásáram iránya egybeesik a peremben lévő áram irányával; és egyébként negatív;

$\mathbf {E}$ a p × 1 méretű EMF-források oszlopmátrixa , ahol minden elem egyenlő a megfelelő forrás EMF-jével, és ez az érték nulla, ha ezen az élen nincs EMF-forrás; pozitív, ha a forrás EMF iránya egybeesik a borda áramának irányával; és egyébként negatív.

Példa egyenletrendszerre

ábra sémájához. 2 mátrix így néz ki:

$\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}1&0&0&1&0&-1\\-1&1&1&0&0&0\\0&0&-1&0&-1&1\end{pmatrix));\quad \mathbf {U} _{0}={\ kezdődik{pmatrix}\varphi _{1}\\\varphi _{2}\\\varphi _{3}\end{pmatrix}}$

$\mathbf {A} ^{t}={\begin{pmatrix}1&-1&0\\0&1&0\\0&1&-1\\1&0&0\\0&0&-1\\-1&0&1\\\end{pmátrix)) ;\quad \mathbf {Y} ={\kezdet 0&0&0&0&0&Y_{6}\\\end{pmatrix));\quad \mathbf {J} ={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\J_{5}\\0\end{pmátrix ));\quad \mathbf {E} ={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\E_{4}\\0\\E_{6}\end{pmatrix}}$

A mátrixokat a mátrixegyenletnek megfelelően megszorozzuk:

$\mathbf {AY} ={\begin{pmatrix}Y_{1}&0&0&Y_{4}&0&-Y_{6}\\-Y_{1}&Y_{2}&Y_{3}&0&0&0\\0&0&-Y_ {3}&0&-Y_{5}&Y_{6}\end{pmatrix}};$

$\mathbf {AYA^{t)) ={\begin{pmatrix}Y_{1}+Y_{4}+Y_{6}&-Y_{1}&-Y_{6}\\-Y_{ 1}&Y_{1}+Y_{2}+Y_{3}&-Y_{3}\\-Y_{6}&-Y_{3}&Y_{3}+Y_{5}+Y_{6}\ end{pmátrix}};$

$\mathbf {AYA^{t}U_{0}}={\begin{pmatrix}(Y_{1}+Y_{4}+Y_{6})\cdot \varphi _{1}-Y_{ 1}\cdot \varphi _{2}-Y_{6}\cdot \varphi _{3}\\-Y_{1}\cdot \varphi _{1}+(Y_{1}+Y_{2}+ Y_{3})\cdot \varphi _{2}-Y_{3}\cdot \varphi _{3}\\-Y_{6}\cdot \varphi _{1}-Y_{3}\cdot \varphi _{2}+(Y_{3}+Y_{5}+Y_{6})\cdot \varphi _{3}\end{pmatrix}};$

$\mathbf {J+YE} ={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\Y_{4}E_{4}\\J_{5}\\Y_{6}E_{6} \end{pmatrix));\quad \mathbf {-A(J+YE)} ={\begin{pmatrix}-Y_{4}E_{4}+Y_{6}E_{6}\\0\\ J_{5}-Y_{6}E_{6}\end{pmatrix}}$

A mátrixjelölést kibővítve a következő egyenletrendszert kapjuk:

${\begin{cases}(Y_{1}+Y_{4}+Y_{6})\cdot \varphi _{1}-Y_{1}\cdot \varphi _{2}-Y_{6 }\cdot \varphi _{3}=-E_{4}Y_{4}+E_{6}Y_{6}\\-Y_{1}\cdot \varphi _{1}+(Y_{1}+ Y_{2}+Y_{3})\cdot \varphi _{2}-Y_{3}\cdot \varphi _{3}=0\\-Y_{6}\cdot \varphi _{1}-Y_ {3}\cdot \varphi _{2}+(Y_{3}+Y_{5}+Y_{6})\cdot \varphi _{3}=J_{5}-E_{6}Y_{6} \end{cases}}$

Korlátozások

A csomóponti potenciál módszert alkalmazzuk az ekvivalens áramkörre , így ugyanazok a korlátozások vonatkoznak, mint az ekvivalens áramkörök alkalmazhatóságára. Ha kezdetben egy valós áramkört adunk meg, akkor ehhez egyenértékű áramkört kell készíteni, és további számításokat kell végezni vele. Így az áramkör, amelyre a csomóponti potenciál módszert alkalmazzák, nem tartalmaz valós értéket[ pontosítani ] elemek ( tranzisztorok , diódák , lámpák , galvánelemek , passzív elemek parazita paraméterekkel stb.).

Jegyzetek

↑ Neiman L. R., Demirchyan K. S. Az elektrotechnika elméleti alapjai: 2 kötetben Tankönyv egyetemek számára. I. kötet – 3. kiadás, átdolgozott. és további - L .: Energoizdat. Leningrád. osztály, 1981. - 536 p., ill.

Lásd még

Elektromos áramkörök számítási módszerei
Kirchhoff szabályainak közvetlen alkalmazása hurokáramok csomóponti potenciálok két csomópont koaguláció Cauera egyenértékű generátor szuperpozíciós átfedések komplex amplitúdók szakaszok áramköri meghatározók klasszikus operátor