Kerület

Kerület ( más görög περίμετρον - kör , másik görög περιμετρέο - körbe mérem ) - az ábra szegélyének teljes hossza (leggyakrabban a síkon). A mennyiségek mérete megegyezik a hosszával .

Néha a kerületet egy geometriai alakzat határának nevezik .

A kerület számítása jelentős gyakorlati jelentőséggel bír. Például egy kert vagy telek körüli kerítés hosszának kiszámításához. A kerék kerülete (körmérete) határozza meg, hogy egy teljes fordulattal mekkora utat tesz meg. Ugyanígy az orsóra tekercselt cérna hossza szorosan összefügg az orsó kerületével.

Képletek

ábra	képlet	változók
kör	$2\pi r=\pi d$	ahol a kör sugara és a az átmérője . $r$ $d$
háromszög	$a+b+c$	ahol , és a háromszög oldalainak hossza. $a$ $b$ $c$
négyzet / rombusz	$4a$	hol van az oldalhossz. $a$
téglalap	$2(l+w)$	ahol a hossza (az alap), és a szélessége. $l$ $w$
egyenlő oldalú sokszög	$n\times a$	ahol az oldalak száma és az oldalak hossza. $n$ $a$
szabályos sokszög	$2nb\sin \left({\frac {\pi }{n}}\right)$	ahol az oldalak száma, és a sokszög középpontja és a sokszög egyik csúcsa közötti távolság . $n$ $b$
közös sokszög	${\displaystyle a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots +a_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i))$	ahol az n - gon th (1, 2, 3 ... n ) oldalának hossza . $a_{{i}}$ $én$

Sokszögek

A sokszögek a kerületek meghatározásának fő alakjai, nemcsak azért, mert ezek a legegyszerűbb alakzatok, hanem azért is, mert sok alakzat kerületét úgy számítják ki, hogy közelítik őket sokszögsorozattal . Az első ismert matematikus, aki ezt a megközelítést alkalmazta, Arkhimédész volt , aki a kör kerületét a körülötte lévő szabályos sokszögek leírásával közelítette meg .

Egy sokszög kerülete egyenlő az oldalai hosszának összegével. Különösen a szélességű és hosszúságú téglalap kerülete . $w$ $\ell$ $2w+2\ell$

Az egyenlő oldalú sokszög olyan sokszög, amelynek oldalhossza egyenlő (például a rombusz egy egyenlő oldalú sokszög, amelynek 4 oldala van). Egy egyenlő oldalú sokszög kerületének kiszámításához szorozza meg az oldalak számát az oldal teljes hosszával.

Egy szabályos sokszög kerülete kiszámítható az oldalak számából és a sugarából , azaz a középpont és a csúcsok közötti távolságból. Egy oldal hossza trigonometriával számítható ki . Ha R a sokszög sugara és n az oldalak száma, akkor a kerülete az

2nR\sin \left({\frac {180^{\circ }}{n}}\jobbra).

Egy kör kerülete

A kör kerülete arányos az átmérőjével (és sugarával ). Vagyis van olyan π állandó , hogy ha P a kör kerülete, D pedig az átmérője, akkor:

P=\pi \cdot {D}.

A kör r sugarára a képlet a következő lesz

{P}={2}\pi \cdot {r}.

A kör kerületének kiszámításához elegendő a sugár vagy átmérő és a π szám ismerete. A probléma az, hogy a π nem racionális (nem fejezhető ki két egész szám törtrészeként ), és még csak nem is algebrai (nem gyökere egyetlen racionális együtthatós polinomegyenletnek sem). Ezért a π pontos közelítése fontos a számításokhoz. A π előjeleinek megtalálása számos területen releváns, mint például a számítás és az algoritmuselmélet .

A kerület értelmesítése

A kerület és a terület a geometriai alakzatok két fő mérete, gyakran azok[ mennyit? ] zavart[ ki? ] . Gyakran azt is figyelembe veszik[ ki? ] hogy ezen mennyiségek egyikének növekedése a másik mennyiségének növekedéséhez vezet. Valójában egy figura méretének növekedése (vagy csökkenése) a területének, valamint a kerületének növekedéséhez (vagy csökkenéséhez) vezet. Így például, ha egy tereptérképet rajzol 1/10 000 léptékben, akkor a tényleges kerületi méreteket egyszerűen 10 000-rel megszorozva számíthatjuk ki. A tényleges terület az ábra területének kétszerese 10 000 lesz . a térképen.

Az ábrák területe és kerülete között azonban nincs összefüggés. . Például egy 0,001 szélességű és 1000 hosszúságú téglalap kerülete valamivel nagyobb, 2000, míg egy 0,5 szélességű és 2 hosszúságú téglalap kerülete 5. Mindkét alakzat területe 1.

Proklosz (5. század) azt írta, hogy a görög parasztok kerületek alapján osztották fel a szántóföldeket [1] , azonban a szántóföldről származó termés a területtel arányos, nem a kerülettel, és sok naiv paraszt kapott nagy kerületű szántókat, hanem egy kis terület.

Ha eltávolítja az ábra egy részét, a területe csökken, de a kerülete nem csökkenhet. Nagyon szabálytalan alakzatok esetén egyesek összetéveszthetik a kerületet a domború hajótesttel . A domború hajótest vizuálisan az ábra köré feszített rugalmas szalagként ábrázolható. A bal oldali ábrán minden figurának egy domború teste van ( hatszög ).

Izoperimetriás probléma

Az izoperimetriás probléma az, hogy az adott kerületű ábrák között megtaláljuk a legnagyobb területű ábrát. A megoldás intuitív módon egy kör . Ezért különösen a húslevesben lévő zsírcseppek kör alakúak.

A probléma egyszerűnek tűnik, de a szigorú matematikai bizonyítás nehéz. Az izoperimetriás feladatot néha leegyszerűsítik - keresni egy négyszöget , háromszöget vagy más határozott alakzatot, amelynek területe a legnagyobb az adott kerületűek közül. Az izoperimetriai feladat megoldása négyszögekre négyzet , háromszögeknél szabályos háromszög . Általánosságban elmondható, hogy egy n oldalú sokszögnek van egy adott kerületére a maximális területe, ha szabályos , ami közelebb van a körhöz a szabálytalan sokszögekhez képest.

Változatok és általánosítások

A fél kerület a kerület fele. Főleg a háromszöggeometriában használják .

Lásd még

Jegyzetek

↑ Heath, 1981 , p. 206.

Irodalom

T.Heath . A görög matematika története. - Dover Publications, 1981. - Vol. 2. - ISBN 0-486-24074-6 .

Linkek

Weisstein, Eric W. Perimeter (angol) a Wolfram MathWorld webhelyén .
Weisstein, Eric W. Semiperimeter (angol) a Wolfram MathWorld webhelyén .